teoria, Apuntes de Álgebra

¡Descarga teoria y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Àlgebra lineal computacional

Pep Mulet

Índex

2 Resolució numèrica d’EDP el

2.1 Equacions el

2.2 Equacions el

Tema 1

Introducció

1.1 Notació

Els escalars es representaran habitualment per lletres gregues minúscules: α, β, γ, · · ·. Interpretarem

els vectors com a vectors columna quan no s’especifique el contrari i els representarem habitualment per

lletres romanes minúscules: x, y, a, b, · · ·. Les matrius les representarem per lletres romanes majúscules:

A, B, X, · · ·. El conjunt de les matrius m × n el representem per mat(m, n).

L’element (i, j) d’una matriu A es representa per Aij o A(i, j) o aij , si hem especificat prèviament

que A = (aij ). De manera similar, l’element i d’un vector v es representa per vi o v(i).

La notació que utilitzarem per referir-nos a les files, les columnes i les submatrius d’una matriu és

de tipus matlab : per exemple

• A(i, :) ≡ fila i-èsima de A.
• A(:, i) ≡ columna i-èsima de A.

1.2 Operacions amb vectors i matrius

1.2.1 Producte com a combinació lineal

La multiplicació d’una matriu per un vector s’efectua habitualment mitjançant:

(A ∗ x)(i) = A(i, :) ∗ x =

∑^ n

k=

A(i, k) ∗ x(k), i = 1,... , m,

on A és m × n i x és n × 1. La següent igualtat sol resultar molt útil:

A ∗ x = x(1) ∗ A(:, 1) + x(2) ∗ A(:, 2) + · · · + x(n) ∗ A(:, n),

és a dir,

el producte d’una matriu per un vector es calcula com la combinació lineal de les columnes

de la matriu amb les components del vector com coeficients.

1.2. OPERACIONS AMB VECTORS I MATRIUS 4

Formalment, aquesta igualtat es pot provar com segueix:

A ∗ x = x(1) ∗ A(:, 1) + x(2) ∗ A(:, 2) + · · · + x(n) ∗ A(:, n) ⇔

(A ∗ x)(i) = (x(1) ∗ A(:, 1) + x(2) ∗ A(:, 2) + · · · + x(n) ∗ A(:, n))(i) i = 1,... , m ⇔

(A ∗ x)(i) = x(1) ∗ A(i, 1) + x(2) ∗ A(i, 2) + · · · + x(n) ∗ A(i, n) i = 1,... , m

La multiplicació de dues matrius A m × l i B l × n s’efectua habitualment de la manera següent:

(A ∗ B)(i, j) = A(i, :) ∗ B(:, j) =

∑^ l

k=

A(i, k) ∗ B(k, j), i = 1,... , m, j = 1,... , n.

Les igualtats següents descriuen com calcular les files i columnes del producte de les dues matrius

(A ∗ B)(:, j) = A ∗ B(:, j) =

l ∑

k=

A(:, k) ∗ B(k, j), j = 1,... , n.

(A ∗ B)(i, :) = A(i, :) ∗ B =

l ∑

k=

A(i, k) ∗ B(k, :), i = 1,... , m,

és a dir,

• les columnes del producte es calculen com a combinació lineal de les columnes de la

matriu de l’esquerra , agafant com a coeficients els elements de la columna correspo-

nent de la matriu de la dreta.

• les files del producte es calculen com a combinació lineal de les files de la matriu de

la dreta , agafant com a coeficients els elements de la fila corresponent de la matriu de

l’esquerra.

Exemple 1.1. Considerem les matrius

A =

B =

 A ∗ B =

Calculem la primera columna de A ∗ B com a combinació lineal de les columnes de A:

Calculem la primera fila de A ∗ B com a combinació lineal de les files de B:

[

]

[

]

[

]

[

]

1.3. MATRIUS PER BLOCS 6

on Bij és una matriu mi × nj , on m 1 + m 2 = m, n 1 + n 2 = n, es verifica

A + B =

[

A 11 + B 11 A 12 + B 12

A 21 + B 21 A 22 + B 22

]

Si B és una matriu n × l amb una partició de dimensions compatibles pel producte per A, és a dir,

B =

[

B 11 B 12

B 21 B 22

]

on Bij és una matriu ni × lj , on n 1 + n 2 =, l 1 + l 2 = l, es verifica

A ∗ B =

[

A 11 ∗ B 11 + A 12 ∗ B 21 A 11 ∗ B 12 + A 12 ∗ B 22

A 21 ∗ B 11 + A 22 ∗ B 21 A 21 ∗ B 12 + A 22 ∗ B 22

]

Resumint:

Les operacions amb matrius per blocs s’efectuen com si els blocs foren escalars, amb la

precaució que cal assegurar que les operacions resultants entre els blocs es puguen efectuar

i que el producte matricial no és commutatiu.

Tema 2

Resolució numèrica d’EDP el

líptiques

2.1 Equacions el

llíptiques 1D

2.1.1 Equació del calor unidimensional

Mitjans homogenis i termes font

Si u(x, t) denota la temperatura (a determinar) en el punt x d’un cert mitjà homogeni unidimensional en

l’instant t, l’equació del calor unidimensional és:

∂u(x, t)

∂t

= κ

2 u(x, t)

∂x^2

• f (x, t), (2.1)

on se suposa que x ∈ (a, b), t ∈ (0, t 1 ) (t 1 potser +∞) i es prescriuen:

condicions de frontera: u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0, t 1 ) (per simplicitat, hem considerat condicions

de frontera Dirichlet homogènees , encara que podríem haver-ne agafat altres)

condicions inicials: u(x, 0) = u 0 (x), x ∈ (a, b), on u 0 és una funció donada que verifica també les

condicions de frontera: u 0 (a) = u 0 (b) = 0.

El coeficient κ > 0 s’anomena difusivitat termal del mitjà (amb unitats m

2 /s). La funció (coneguda)

f (x, t) modela una font de calor que pot variar tant en l’espai com en el temps, amb unitats K/s (és

a dir, si, per simplicar, f val 2 en un determinat punt x al llarg d’un temps ∆t segons, es produeix un

increment de temperatura de 2∆t graus Kelvin en el punt x).

Aquesta equació és una equació en derivades parcials (EDP) lineal parabòlica prototípica que des-

criu el procés de transferència (per difusió) de temperatura de parts calentes a les més gelades d’una

distribució inicial de temperatura u 0 (x), on se suposa que les “parets” del recinte (els punts a, b) actuen

com a “refredants” instantanis i el mitjà és homogeni (el coeficient de difusivitat termal és constant).

Difusivitat variable

Quan el coeficient de difusivitat termal κ(x) és variable (però conegut), l’equació del calor pren la forma:

∂u(x, t)

∂t

∂x

κ(x)

∂u(x, t)

∂x

• f (x, t), (2.2)

2.1. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 1D 9

on se suposa que es verifiquen les condicions de frontera u(a) = u(b) = 0.

Cal adonar-se’n que (2.3) és un cas particular de (2.4).

Nota 2.2. Per simplificar la notació, denotarem les derivades parcials amb subíndex. Així, per exemple,

l’equació (2.4) quedaria:

− (κ(x)ux(x))x = f (x),

2.1.3 Discretització per diferències finites

En casos favorables (una dimensió, coeficients constants i condicions de frontera periòdiques, per exem-

ple) es pot trobar la solució exacta de (2.3). Però, en general, no existeixen fòrmules tancades per a la

solució de (2.4), per la qual cosa cal emprar mètodes numèrics per a la seua aproximació.

El primer pas en la discretització d’una EDP consisteix en “discretitzar” les possible funcions solució,

és a dir, en seleccionar una quantitat finita d’informació a partir de la qual es puga aproximar la solució

buscada. En el cas de les equacions el

líptiques anteriors substituïm la funció u per valors ui (i =

0 ,... , n + 1), aproximació de u(a + ih), (h = (b − a)/(n + 1)). Els punts xi = a + ih, (i = 0,... , n + 1)

formen una malla equiespaiada per a l’interval [a, b], amb n punts al seu interior i x 0 = a, xn+1 = b. Cal

adonar-se’n que, en aquest cas, les condicions de frontera prescriuen els valors u 0 = un+1 = 0.

El segon pas en aquest procés de discretització és veure quines condicions (equacions) sobre els

valors u(a + ih) (i = 1,... , n) es dedueixen de l’EDP en qüestió i les condicions de frontera. Aques-

tes equacions que “aproximen” l’EDP original se solen obtenir substituint les derivades parcials per

aproximacions numèriques basades en diferències finites (d’ací el nom d’aquestes discretitzacions per

diferències finites ). Les fòrmules de diferenciació numèrica que emprarem seran:

u

′ (x) =

u(x + h) − u(x)

h

• O(h) (2.5)

u

′ (x) =

u(x) − u(x − h)

h

• O(h) (2.6)

u

′′ (x) =

u(x + h) − 2 u(x) + u(x − h)

h^2

• O(h

2 ) (2.7)

Les dues primeres aproximacions es diuen de primer ordre perquè l’error és O(h); l’última es diu de

segon ordre perquè l’error és O(h

2 ).

L’equació discretitzada s’obté a partir d’aquestes equacions “aproximades”, substituint els valors

u(a + ih) pels ui (a determinar) i l’aproximació per igualtat.

Exemple 2.3. Trobarem una discretització (no és única) en diferències finites de l’equació de Poisson

−uxx = f (x), x ∈ (0, 1), (2.8)

amb les condicions de frontera anteriors.

2.1. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 1D 10

Fixada la malla computacional xi = ih, i = 0,... , n + 1, h = 1/(n + 1), aproximem la derivada

uxx(xi), xi ∈ (0, 1), és a dir, 1 ≤ i ≤ n, per la fòrmula (2.7) en funció dels valors u(xj ):

uxx(xi) ≈

u(xi + h) − 2 u(xi) + u(xi − h)

h^2

u(xi+1) − 2 u(xi) + u(xi− 1 )

h

2

La substitució d’aquesta fòrmula en (2.8) (per a x = xi) dóna:

−u(xi+1) + 2u(xi) − u(xi− 1 )

h^2

≈ f (xi),

doncs la discretització en diferències finites de l’equació de Poisson queda:

−ui+1 + 2ui − ui− 1

h^2

= f (xi), i = 1,... , n, (2.9)

on ui ≈ u(xi). Cal adonar-se’n que en aquest sistema lineal de n equacions amb les n incògnites

u 1 ,... , un, apareixen, a més, u 0 (sols en la primera) i un+1 (sols en l’última). Aquestes expressions,

com a aproximacions de la solució u de (2.8) en x 0 = 0 i xn+1 = 1, prenen el valor 0, doncs, per

simplificar la notació, cal considerar que no hi apareixen (en el cas general en què les condicions de

frontera no foren homogènees, caldria passar els valors de u 0 i un+1 al segon membre).

La forma matricial de (2.9) és:

h

2

u 1

un

f (x 1 )

f (xn)

La matriu ∆n d’aquest sistema s’anomena laplaciana unidimensional. Cal adonar-se’n de la simetria

d’aquesta matriu i de la disposició dels elements no zero en les diagonals -1,0,1.

Exemple 2.4. Trobarem ara una discretització de l’equació

− (κ(x)ux(x))x = f (x), (2.11)

amb la mateixa malla computacional i notació anteriors.

Per raons que aclarirem després, l’aproximació no la farem desenvolupant la derivada exterior (la

que afecta a κ(x)ux(x)), és a dir, no utilitzarem la fòrmula anterior i similars per aproximar

(κ(x)ux(x)) x

= κx(x)ux(x) + κ(x)uxx(x),

2.2. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 2D 12

Siga x ∈ R

n i calculem

x

T Ax = x

T (B

T KB + E)x = x

T B

T KBx + x

T Ex = (Bx)

T K(Bx) + κ 0 x

2

Si denotem y = Bx, aquesta darrera equació queda:

x

T Ax = y

T Ky + κ 0 x

2 1 =

n ∑

i=

κiy

2 i +^ κ^0 x

2

Com que κi > 0 , es dedueix aleshores que

1. x

T Ax ≥ 0 , ∀x.

2. x

T Ax = 0 si i sols si yi = 0, i = 1,... , n i x 1 = 0 si i sols si x 1 = · · · = xn i x 1 = 0 si i sols si

x 1 = · · · = xn = 0

la qual cosa conclueix la demostració.

Corol · lari 2.6. La matriu de (2.10) és una matriu definida positiva.

2.2 Equacions el

. llíptiques 2D

2.2.1 Equació del calor bidimensional

Mitjans homogenis i termes font

Si u(x, y, t) denota la temperatura (a determinar) en el punt (x, y) d’un cert mitjà homogeni bidimensi-

onal en l’instant t, l’equació del calor bidimensional és:

∂u(x, y, t)

∂t

= κ

2 u(x, y, t)

∂x^2

• κ

2 u(x, y, t)

∂y^2

• f (x, y, t), (2.14)

on se suposa que (x, y) ∈ Ω = (a, b) × (c, d), t ∈ (0, t 1 ) (t 1 potser +∞) i es prescriuen:

condicions de frontera: u(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω × (0, t 1 ).

condicions inicials: u(x, y, 0) = u 0 (x, y), (x, y) ∈ Ω, on u 0 és una funció donada que verifica també

les condicions de frontera: u 0 (x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω.

La funció (coneguda) f (x, y, t) modela una font de calor que pot variar tant en l’espai com en el

temps.

Amb la notació habitual per a les derivades parcials i amb ∆u = uxx + uyy, aquesta equació queda:

ut(x, y, t) = κ∆u(x, y, t) + f (x, y, t), (2.15)

2.2. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 2D 13

Difusivitat variable

Quan el coeficient de difusivitat termal és variable, l’equació del calor pren la forma:

∂u(x, y, t)

∂t

∂x

κ(x, y)

∂u(x, y, t)

∂x

∂y

κ(x, y)

∂u(x, y, t)

∂y

• f (x, y, t). (2.16)

Cal adonar-se’n que (2.14) és un cas particular de (2.16) quan κ(x, y) és constant.

2.2.2 Estat estacionari

De la mateixa manera que s’ha arribat a les equacions el

líptiques per als estats estacionaris de les diverses

equacions del calor unidimensionals, en el cas bidimensional obtindríem les equacions següents:

0 = κ

∂x

∂u(x, y)

∂x

• κ

∂y

∂u(x, y)

∂y

• f (x, y)

∂x

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂x

∂y

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂y

• f (x, y),

les quals donen:

∂x

∂u(x, y)

∂x

∂y

∂u(x, y)

∂y

f (x, y)

κ

∂x

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂x

∂y

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂y

= f (x, y). (2.18)

Aquestes equacions són EDP lineals el

líptiques, la primera amb coeficients constants ( equació de

Poisson bidimensional ) i la segona variables.

2.2.3 Discretització per diferències finites

Equació de Poisson bidimensional

El primer pas en la discretització per diferències finites de l’equació (2.17) consisteix en establir una

malla computacional sobre el domini Ω.

Agafem sobre [a, b] una malla equiespaiada amb m punts al seu interior (xi = a + ih, h = (b −

a)/(m+1), i = 0, · · · m+1) i sobre [c, d] una malla equiespaiada amb n punts al seu interior (yj = c+jk,

k = (d − c)/(n + 1), j = 0, · · · n + 1). La malla triada en Ω = [a, b] × [c, d] és producte cartesià de les

malles triades en [a, b] i [c, d]: (xi, yj), i = 0,... , m + 1, j = 0,... , n + 1, dels quals aquells amb índex

1 ≤ i ≤ m, i ≤ j ≤ n estan en l’interior (un total de mn) i la resta en la frontera ∂Ω.

El segon pas en la discretització consisteix en aproximar les derivades parcials que apareixen en

(2.17) per fòrmules de diferenciació numèrica. Per la pròpia definició de les derivades parcials, tenim

que

∂ ∂x

∂u(xi,yj ) ∂x

és la derivada segona de la funció x 7 → u(x, yj ), doncs es pot aproximar per:

∂x

∂u(xi, yj )

∂x

u(xi + h, yj ) − 2 u(xi, yj ) + u(xi − h, yj )

h^2

u(xi+1, yj ) − 2 u(xi, yj) + u(xi− 1 , yj )

h^2

2.2. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 2D 15

Difusivitat variable

De la mateixa manera que hem demostrat en el cas unidimensional que

(κ(x)ux(x)) x

(xi) ≈

h

2

(κ(xi)u(xi+1) − (κ(xi) + κ(xi− 1 ))u(xi) + κ(xi− 1 )u(xi− 1 ))

i per la definició de les derivades parcials, tenim que:

∂x

κ(x, y)

∂u

∂x

(xi, yj ) ≈

h^2

(κ(xi, yj)u(xi+1, yj )

− (κ(xi, yj ) + κ(xi− 1 , yj))u(xi, yj )

• κ(xi− 1 , yj)u(xi− 1 , yj))

∂y

κ(x, y)

∂u

∂y

(xi, yj ) ≈

h

2

(κ(xi, yj)u(xi, yj+1)

− (κ(xi, yj ) + κ(xi, yj− 1 ))u(xi, yj )

• κ(xi, yj− 1 )u(xi, yj− 1 )),

per la qual cosa la discretització de l’equació (2.18) queda:

h

2

(−κi,j ui+1,j − κi,j ui,j+

• (2κi,j + κi− 1 ,j + κi,j− 1 )ui,j

− κi− 1 ,j ui− 1 ,j − κi,j− 1 ui,j− 1 ) = f (xi, yj),

on κi,j = κ(xi, yj ) i ui,j ≈ u(xi, yj ), i = 1, · · · m, j = 1, · · · , n.

2.2.4 Expressió matricial

Els valors ui,j (i = 1, · · · m, j = 1, · · · , n) que apareixen en la discretització bidimensional formen una

matriu U m × n. Cal adonar-se’n que aquesta disposició fa correspondre les línies horizontals de la

malla (j fix) a les columnes i les línies verticals de la malla (i fix) a les files.

En álgebra lineal per trobar l’expressió matricial d’un operador cal treballar amb vectors amb índex

naturals (suposarem que l’inici dels índex és 0, per simplificar algunes expressions posteriors). Doncs,

per exemple, per expressar matricialment les accions dels operadors (2.19) i (2.20), caldria veure quina

és l’expressió matricial de l’operador quan identifiquem la matriu U i la matriu resultant de l’operador

amb vectors.

Una manera d’identificar matrius amb vectors és l’isomorfisme (bijecció lineal)

J : mat(m, n) → R

mn (2.24)

tal que J(U)(i) = U(i%m, i/m), 0 ≤ i < mn, on i%m és el reste de la divisió entera i/m o, alternati-

vament,

J(U)(mj + i) = U(i, j), 0 ≤ j < n, 0 ≤ i < m. (2.25)

2.2. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 2D 16

Intuïtivament, J forma un vector per juxtaposició de les columnes de la matriu.

Trobar una expressió matricial-vectorial d’una aplicació lineal

M : mat(m, n) → mat(m, n),

consisteix doncs en calcular l’expressió matricial-vectorial de l’aplicació lineal

M^ ˜ = J ◦ M ◦ J−^1 : Rmn^ → Rmn. (2.26)

Producte de Kronecker

El producte de Kronecker d’una matriu A = (ai,j ) n × n amb una matriu B = (bi,j ) m × m

1 és una

matriu A ⊗ B mn × mn donada per blocs per

A ⊗ B =

a 0 , 0 B... a 0 ,n− 1 B

........................

an− 1 , 0 B... an− 1 ,n− 1 B

o, també,

(A ⊗ B)(mj + i, mp + q) = AjpBiq 0 ≤ j, p < n, 0 ≤ i, q < m, (2.27)

on usem (i usarem més endavant) el fet següent:

{k : 0 ≤ k < mn} = {m · k 1 + k 2 : 0 ≤ k 1 < n, 0 ≤ k 2 < m}.

L’actuació de A ⊗ B sobre un vector J(U), en la component mj + i, 0 ≤ j < n, 0 ≤ i < m, és:

((A ⊗ B)J(U))(mj + i) =

∑^ n

p=

∑^ m

q=

(A ⊗ B)(mj + i, mp + q)J(U)(mp + q)

∑^ n

p=

∑^ m

q=

AjpBiqUqp

∑^ n

p=

∑m

q=

BiqUqp

(A

T )pj

∑^ n

p=

(BU)ip)

(A

T )pj

= (BUA

T )ij = J(BUA

T )(mj + i),

doncs obtenim

(A ⊗ B)J(U) = J(BUA

T ) (2.28)

1 El producte de Kronecker es pot donar per a matrius no quadrades, però s’ha optat per mantenir les matrius quadrades

per no introduir més paràmetres

2.2. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 2D 18

Si ara i 1 = n · i 4 + i 3 , j 1 = n · j 4 + j 3 , 0 ≤ i 4 , j 4 < m, 0 ≤ i 3 , j 3 < n, aleshores

X(i 1 , j 1 ) = (A ⊗ B)(n · i 4 + i 3 , n · j 4 + j 3 ) = A(i 4 , j 4 )B(i 3 , j 3 ),

per la qual cosa

(X ⊗ C)(i, j) = A(i 4 , j 4 )B(i 3 , j 3 )C(i 2 , j 2 ), (2.29)

on la relació entre els diversos índex és:

i = p · i 1 + i 2 = p(n · i 4 + i 3 ) + i 2 = n · p · i 4 + p · i 3 + i 2

j = p · j 1 + j 2 = p(n · j 4 + j 3 ) + j 2 = n · p · j 4 + p · j 3 + j 2

0 ≤ i 2 , j 2 < p, 0 ≤ i 3 , j 3 < n, 0 ≤ i 4 , j 4 < m.

Per calcular el segon membre, escrivim i = n · p · i

′ 1 +^ i

′ 2 ,^ j^ =^ n^ ·^ p^ ·^ j

′ 1 +^ j

′ 2 ,^0 ≤^ i

′ 1 , j

′ 1 < m,

0 ≤ i

′ 2 , j

′ 2 < n^ ·^ p. La relació (2.27) dóna en aquest cas:

(A ⊗ Y )(n · p · i

′ 1 +^ i

′ 2 , n^ ·^ p^ ·^ j

′ 1 +^ j

′ 2 ) =^ A(i

′ 1 , j

′ 1 )Y^ (i

′ 2 , j

′ 2 )

Si ara i

′ 2 =^ p^ ·^ i

′ 4 +^ i

′ 3 ,^ j

′ 2 =^ p^ ·^ j

′ 4 +^ j

′ 3 ,^0 ≤^ i

′ 4 , j

′ 4 < n,^0 ≤^ i

′ 3 , j

′ 3 < p, aleshores

Y (i

′ 2 , j

′ 2 ) = (B^ ⊗^ C)(p^ ·^ i

′ 4 +^ i

′ 3 , p^ ·^ j

′ 4 +^ j

′ 3 ) =^ B(i

′ 4 , j

′ 4 )C(i

′ 3 , j

′ 3 )

per la qual cosa

(A ⊗ Y )(i, j) = A(i

′ 1 , j

′ 1 )B(i

′ 4 , j

′ 4 )C(i

′ 3 , j

′ 3 )^ (2.31)

on la relació entre els diversos índex és:

i = n · p · i

′ 1 +^ i

′ 2 =^ n^ ·^ p^ ·^ i

′ 1 +^ p^ ·^ i

′ 4 +^ i

′ 3

j = n · p · j

′ 1 +^ j

′ 2 =^ n^ ·^ p^ ·^ j

′ 1 +^ p^ ·^ j

′ 4 +^ j

′ 3

0 ≤ i

′ 1 , j

′ 1 < m,^0 ≤^ i

′ 4 , j

′ 4 < n,^0 ≤^ i

′ 3 , j

′ 3 < p

Comparant (2.30) i (2.32) deduïm:

′ 1 =^ ∗^4 ∗

′ 4 =^ ∗^3 ∗

′ 3 =^ ∗^2 ,

on ∗ representa i o j; d’ací, (2.29) i (2.31) es dedueix la igualtat buscada.

Per demostrar 3, siguen A, C matrius n × n, B, D matrius m × m. Com que les matrius a ambdós

membres són de la mateixa dimensió m · n, cal demostrar la igualtat entre els seus elements correspo-

2.2. EQUACIONS EL

LLÍPTIQUES 2D 19

nents.

(A ⊗ B)(C ⊗ D)

(m · i + j, m · p + q)

n ∑

k=

m ∑

l=

(A ⊗ B)(m · i + j, m · k + l)(C ⊗ D)

(m · k + l, m · p + q)

∑^ n

k=

∑^ m

l=

A(i, k)B(j, l)C(k, p)D(l, q)

∑^ n

k=

A(i, k)C(k, p)(

∑^ m

l=

B(j, l)D(l, q))

n ∑

k=

A(i, k)C(k, p)

m ∑

l=

B(j, l)D(l, q)

= (AC)(i, p) · (BD)(j, q)

= ((AC) ⊗ (BD))(m · i + j, m · p + q)

La resta de propietats es proposen com a exercici.

Forma matricial

Amb la notació de la secció (2.2.3), si U = (ui,j) és una matriu m × n la discretització de uxx aplicada

a aquesta matriu és:

h^2

(ui− 1 ,j − 2 ui,j + ui+1,j i = 1,... m, j = 1,... , n.

Per agilitzar la notació, cal interpretar aquesta expressió com que els termes up,q que corresponen a punts

(xp, yq) ∈ ∂Ω no apareixen. Alternativament, caldria escriure:

h^2

(− 2 u 1 ,j + u 2 ,j ) j = 1,... , n

h^2

(ui− 1 ,j − 2 ui,j + ui+1,j ) i = 2,... m − 1 , j = 1,... , n

h^2

(um− 1 ,j − 2 um,j ) j = 1,... , n.

En qualsevol cas, si denotem ∆m l’operador sobre vectors de R

m tal que w = ∆mv verifica:

w 1 =

h

2

(− 2 v 1 + v 2 )

wj =

h

2

(vi− 1 − 2 vi + vi+1) i = 2,... m − 1

wn =

h^2

(vm− 1 − 2 vm)