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Ejemplos de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Lineales Completos con Coeficientes Constantes
EJEMPLO 1:
En este ejemplo la matriz de coeficientes tiene autovalores complejos Sea un ecosistema, en el que conviven tres poblaciones, regido por el siguiente sistema de ecuaciones:
y′ 1 = 2y 1 + 2y 2 − 3 y 3 − 6 e−t y′ 2 = 2y 1 − y 3 − 3 e−t y′ 3 = 3y 1 + y 2 − 3 y 3 + 3e−t Suponiendo que en el instante inicial sabemos que y 1 (0) = 97, y 2 (0) = 62, y 3 (0) = 78, calcular la soluci´on del sistema con condiciones iniciales.
En primer lugar identificamos los elementos del sistema ~Y ′^ = AY~ + F~ , esto es, la matriz de coeficientes A y el vector de t´erminos independientes F~.
A =
F~ =
(^) e−t
Ahora, calculamos los autovalores de A y sus autovectores para intentar obtener la soluci´on general del sistema homog´eneo:
|A − λI| = 0 ⇒
2 − λ 2 − 3 2 −λ − 1 3 1 − 3 − λ
∣∣ =^ −λ^3 −^ λ^2 + 2 =^ −^ (λ^ −^ 1)^
(λ (^2) + 2λ + 2) (^) = 0
Por lo tanto, los autovalores de A son: λ 1 = 1, λ 2 = −1 + i, λ 3 = − 1 − i Calculamos los autovectores de cada uno de dichos autovalores:
Para λ 1 = 1 ⇒ (A − I) ~u 1 = ~ 0 ⇒
⇒ ~u 1 =
α α α
Tomamos como autovector de λ 1 = 1 el vector ~u 1 =
, por lo que una soluci´on del sistema
homog´eneo ser´a:
~Y(1) = eλ 1 t~u 1 =
(^) et
Para λ 2 = −1+i ⇒ (A − (−1 + i)I) ~u 2 = ~ 0 ⇒
3 − i 2 − 3 2 1 − i − 1 3 1 − 2 − i
−i 1 −1 + i 1 i − 1 − i 3 1 − 2 − i
1 i − 1 − i 3 1 − 2 − i 0 0 0
1 i − 1 − i 0 1 − 3 i 1 + 2i 0 0 0
1 0 − 12 − 12 i 0 1 − 12 + 12 i 0 0 0
(^) ⇒ ~u 2 =
(1 + i) α (1 − i) α 2 α
Tomamos como autovector de λ 2 = −1 + i el vector ~u 2 =
1 + i 1 − i 2
Como λ 3 = − 1 − i es el complejo conjugado de λ 2 = −1 + i = λ 3 , los autovectores de λ 3 ser´an complejos
conjugados de los de λ 2 , por lo que: ~u 3 =
(1 − i) α (1 + i) α 2 α
(^) = ~u 2
As´ı tomamos como autovector de λ 3 el vector ~u 3 =
1 − i 1 + i 2
(^) = ~u 2
Adem´as de esto, sabemos que, al tener la matriz A dos autovalores complejos conjugados, la parte real y la parte imaginaria de la soluci´on que construir´ıamos con uno de ellos, son soluciones linealmente independientes del sistema homog´eneo. Por lo tanto, construiremos la soluci´on ~u 2 eλ^2 t^ y tomaremos su parte real y su parte imaginaria como soluciones lineamente independientes que nos permitir´an construir la soluci´on general del sistema homog´eneo.
La soluci´on general del sistema homog´eneo ser´a:
Y^ ~H = C 1 et
(^) + C 2 Re
e(−1+i)t
1 + i 1 − i 2
(^) + C 3 Img
e(−1+i)t
1 + i 1 − i 2
Como e(−1+i)t
1 + i 1 − i 2
(^) = e−teit
1 + i 1 − i 2
(^) = e−t^ (cos t + i sin t)
(^) + i
= e−t
cos t − sin t cos t + sin t 2 cos t
(^) + i
cos t + sin t − cos t + sin t 2 sin t
(^) tendremos que:
Y^ ~H = C 1 et
(^) + C 2 e−t
cos t − sin t cos t + sin t 2 cos t
(^) + C 3 e−t
cos t + sin t − cos t + sin t 2 sin t
et^ e−t^ (cos t − sin t) e−t^ (cos t + sin t) et^ e−t^ (cos t + sin t) e−t^ (− cos t + sin t) et^2 e−t^ cos t 2 e−t^ sin t
C 1
C 2
C 3
Ahora vamos a tantear una soluci´on particular para el sistema completo y con ella, junto con la soluci´on general del sistema homog´eneo que acabamos de obtener, calcularemos la soluci´on general del sistema com- pleto.
Como F~ =
(^) e−t, vemos que una soluci´on particular del sistema completo ser´a de la forma:
Y^ ~P = ~ae−t^ ⇒ Y~ (^) P′ = −~ae−t Sustituyendo en el sistema completo tendremos que:
−~ae−t^ = A~ae−t^ + fe~−t^ con f~ =
Por lo tanto (A + I) ~a = − f~ ⇒
(^) ⇒ ~a =
EJEMPLO 2:
En este ejemplo el coeficiente del factor exponencial de F~ coincide con uno de los autovalores de la matriz A
Sea un ecosistema en el que conviven tres poblaciones regido por el siguiente sistema de ecuaciones:
y′ 1 = 2y 1 − y 2 − y 3 + e−t y′ 2 = −y 1 + y 3 − 3 e−t y′ 3 = 3y 1 − y 2 − 2 y 3 + 3e−t Suponiendo que en el instante inicial tengamos las siguientes condiciones iniciales y 1 (0) = 100 , y 2 (0) = 51, y 3 (0) = 75, calcular la soluci´on del sistema con condiciones iniciales.
Identificamos los elementos del sistema Y~ ′^ = A~Y + F~ : la matriz de coeficientes A y el vector de t´erminos independientes F~.
A =
F~ =
(^) e−t
Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales Y~ ′^ = AY~ + F~ debemos, en primer lugar, resolver el sistema homog´eneo asociado, Y~ (^) H′ = AY~H , para lo cual hay que obtenerlos autovalores λi de la matriz A y los correspondientes autovectores ~ui, lo que permitir´a construir soluciones del sistema homog´eneo de la forma ~Y(i) = eλi^ t~ui.
Calculamos los autovalores de A: |A − λI| = 0 ⇒
2 − λ − 1 − 1 − 1 −λ 1 3 − 1 − 2 − λ
∣∣ =^ λ−^ λ^3 = 0^ ⇒^ λ^1 = 0, λ^2 =
1 , λ 3 = − 1
Ahora calculamos los autovectores asociados a cada autovalor para obtener tres soluciones linealmente independientes del sistema homog´eneo de ecuaciones diferenciales, tal y como se explic´o anteriormente.
Para λ 1 = 0 tendremos que: (A−λ 1 I)~u 1 = A~u 1 = ~ 0 ⇒
(^) ⇒ ~u 1 =
α α α
Tomamos ~u 1 =
, por lo que una soluci´on del sistema homog´eneo ser´a:
Y^ ~(1) = ~u 1 eλ^1 t^ =
Para λ 2 = 1 obtenemos los autovectores: (A − I) ~u 2 = ~ 0 ⇒
(^) ⇒ ~u 2 =
α 0 α
Tomamos como autovector ~u 2 =
, as´ı que otra soluci´on del sistema homog´eneo linealmente
independiente de la anterior es:
~Y(2) = ~u 2 eλ^2 t^ =
(^) et
Por ´ ultimo, para λ 3 = −1 obtenemos sus correspondientes autovectores: (A + I) ~u 3 = ~ 0 ⇒
(^) ⇒ ~u 3 =
α −α
Tomamos ~u 3 =
, obteniendo como soluci´on del sistema homog´eneo linealmente independiente
de las dos anteriores: ~Y(3) = ~u 3 eλ^3 t^ =
(^) e−t
Por lo tanto la soluci´on general del sistema homog´eneo ser´a:
Y^ ~H = C 1 Y~(1) + C 2 Y~(2) + C 3 ~Y(3) =
1 et^0 1 0 e−t 1 et^ −e−t
C 1
C 2
C 3
Una vez resuelto el sistema homog´eneo tanteamos una soluci´on particular del sistema completo, con el fin de construir la soluci´on general del sistema completo como suma de la soluci´on general del homog´eneo m´as la particular del completo.
Para tantear la soluci´on particular del sistema completo tenemos que analizar la forma del vector F~ de
t´erminos independientes. Como F~ =
(^) e−t, y el coeficiente del exponente del factor exponencial
de F~ coincide con un autovalor (λ 3 = −1), tendremos que la soluci´on particular del sistema completo que buscamos ser´a de la forma: Y~P =^ ( ~a + ~bt^ ) e−t
por lo que, Y^ ~ (^) P′ =
~b − ~a − ~bt
e−t Sustituyendo en el sistema completo tendremos que: (~ b − ~a − ~bt
e−t^ = A
~a + ~bt
e−t^ + f e~−t
con f~ =
Por lo tanto − ~b = A~b ~b − ~a = A~a + f~
(A + I)~b = ~ 0 (A + I) ~a = ~b − f~
De la primera ecuaci´on podemos ver que ~b es un autovector de la matriz A con autovalor λ = −1, por
lo tanto ~b =
α −α
Sustituyendo esta expresi´on en la segunda ecuaci´on, tendremos que:
EJEMPLO 3:
En este ejemplo la matriz de coeficientes tiene autovalores multiples y el vector de t´erminos inde- pendientes incluye funciones trigonom´etricas.
Sea un ecosistema en el que conviven tres poblaciones regido por el siguiente sistema de ecuaciones:
y′ 1 = − 3 y 1 + 2y 2 + y 3 y′ 2 = − 3 y 1 + 2y 2 + y 3 y′ 3 = y 1 − y 2 − y 3 − 6 sin t Suponiendo que en el instante inicial tengamos las siguientes condiciones iniciales y 1 (0) = 93 , y 2 (0) = 63, y 3 (0) = 78, calcular la soluci´on del sistema con condiciones iniciales.
Tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma Y~ ′^ = AY~ + F~ con
A =
F~ =
(^) sin t
En primer lugar buscamos la soluci´on general del sistema homog´eneo Y~ (^) H′ = AY~H , para lo cual obtenemos los autovalores de A.
A ⇒ |A − λI| = 0 ⇒
− 3 − λ 2 1 − 3 2 − λ 1 1 − 1 − 1 − λ
∣∣ =^ −λ^3 −^2 λ^2 −^ λ^ =^ −λ^ (λ^ + 1)
Los autovalores de A son: λ 1 = 0 y λ 2 = −1 doble
Calculamos ahora soluciones del sistema homog´eneo asociadas a los autovalores.
Para λ 1 = 0 obtenemos los autovectores (A − λ 1 I)~u 1 = A~u 1 = ~ 0 ⇒
(^) ⇒ ~u 1 =
−α − 2 α α
Tomando ~u 1 =
, una soluci´on del sistema homog´eneo es:
~Y(1) = ~u 1 eλ^1 t^ =
Para el autovalor doble λ 2 = −1 buscamos los autovectores: (A + I) ~u 2 = ~ 0 ⇒
⇒ ~u 2 =
α α 0
Para^ λ^2 =^ −1 s´olo podemos encontrar un autovector linealmente independiente, por ejemplo,^ ~u^2 =
, por lo que una soluci´on del sistema homog´eneo linealmente independiente de la obtenida anteri-
ormente es:
Y^ ~(2) = ~u 2 eλ^2 t^ =
(^) e−t
Para completar una base de soluciones del sistema homog´eneo tendremos que encontrar un vector ~u 3 asociado a autovalor λ 2 = −1, que cumpla que (A + I)^2 ~u 3 = ~0, pero (A + I)~u 3 6 = ~0. De este modo podemos construir una soluci´on del sistema homog´eneo de la forma: ~Y(3) = eAt~u 3 = eλ 2 te(A−λ 2 I)t~u 3
Expresando e(A−λ^2 I)t^ en funci´on de su desarrollo de Taylor tendremos que:
Y^ ~(3) = eλ^2 t
[
I + (A − λ 2 I)t +^12 (A − λ 2 I)^2 t^2 + · · ·
]
~u 3 = eλ^2 t^ [I + (A − λ 2 I)t] ~u 3
Por lo tanto, resolvemos el sistema ( A + I)^2 ~u 3 = ~0 para obtener ~u 3 :
2 ~u 3 = ~ 0 ⇒
(^) ~u 3 = ~ 0 ⇒
~u 3 =
α α β
Como tiene que cumplirse que (A − λ 2 I)~u 3 = (A + I)~u 3 6 = ~0 tomamos ~u 3 =
, por lo que la
tercera soluci´on linealmente independiente del sistema homog´eneo es:
Y^ ~(3) = eλ^2 t^ [I + (A − λ 2 I)t] ~u 3 e−t^ (I + (A + I) t)
(^) = e−t
1 − 2 t 2 t t − 3 t 1 + 3t t t −t 1
(^) = e−t
t t 1
La soluci´on general del sistema homog´eneo es una combinaci´on lineal de las soluciones que hemos obtenido anteriormente:
Y^ ~H = C 1 Y~(1)+C 2 Y~(2)+C 3 Y~(3) = C 1
+C 2 e−t
+C 3 e−t
t t 1
1 e−t^ te−t 2 e−t^ te−t − 1 0 e−t
C 1
C 2
C 3
Para resolver el sistema completo de ecuaciones diferenciales tendremos que tantear previamente una soluci´on particular de dicho sistema, de este modo, podremos construir la soluci´on general del sistema completo como la suma de la soluci´on particular obtenida y la soluci´on general del sistema homog´eneo.
La forma de obtener una soluci´on particular del sistema completo es fijarnos en la forma del vector de
t´erminos independientes. Como F~ =
(^) sin t = f~ sin t con f~ =
(^) y vemos que incluye la
funci´on trinom´etrica sin t, tantearemos una soluci´on particular del sistema completo que tenga tanto sin t como cos t, por lo que propondremos: Y~P = ~a sin t + ~b cos t
Y~ (t) =
1 e−t^ te−t 2 e−t^ te−t − 1 0 e−t
3 cos t 3 cos t 3 cos t − 3 sin t
y 1 (t) = 120e−t^ + 45te−t^ − 30 + 3 cos t y 2 (t) = 120e−t^ + 45te−t^ − 60 + 3 cos t y 3 (t) = 45e−t^ + 30 + 3 cos t − 3 sin t
