Departamento de Matemática Aplicada (Biomatemática)
Seminario de Matemáticas
SEMINARIO 2
MODELO 1 (desarrollo en clase)
Considerar los siguientes supuestos sobre los efectivos de una población
y
(
t
)
, para
t= 2
y
t= 4
,
midiendo el tiempo en horas:
(
a
)
y
(
2
)
=5
4y0
(
b
)
y
(
2
)
=5
2y0
(
c
)
y
(
2
)
=5
2y0
y
(
4
)
=5
2y0y
(
4
)
=5y0y
(
4
)
=25
4y0
1.1 Analizar cada supuesto con la hipótesis de que la población pudiera evolucionar, bien siguiendo
una ley de Malthus, bien siguiendo una ley Logística o de Verhulst.
1.2 Cuando sea viable el modelo logístico, calcular los parámetros r y K así como las coordenadas del
punto de inflexión de la curva
y
(
t
)
de efectivos. Tómese
y0=10
y calcúlense los efectivos al cabo
de 1 hora y la tasa de crecimiento instantánea.
1.3 Cuando sea viable el modelo de Malthus, calcular el parámetro
k
. Tómese
y0=10
y calcúlense
los efectivos al cabo de 1 hora y la tasa de crecimiento instantánea en ese instante. Compara los
efectivos obtenidos en la primera hora en éste y en el modelo del apartado anterior y representar con
cierto detalle y en una sola gráfica ambas curvas de efectivos.
MODELO 2 (trabajo en grupo)
En un medio en el que viven 9999 individuos sanos, se introduce un infecto-contagioso que propaga una
infección por contacto directo, siendo la tasa específica de contagio =0,01; de modo que si representamos
por
x
(
t
)
a los enfermos y por
y
(
t
)
a los que son susceptibles de enfermar, se tiene:
dx
(
t
)
dt =0,01 x
(
t
)
y
(
t
)
[1]
2.1 Si la población se mantiene aislada y no hay ningún individuo inmunizado contra la infección,
expresar
y
(
t
)
en función de
x
(
t
)
y resolver la ecuación diferencial [1] para calcular la función de
efectivos
x
(
t
)
, ¿tiene tope?, calcularlo.
2.2 Si el tiempo se mide en años, calcular el instante en que el crecimiento de la enfermedad es máximo
y expresarlo en días. ¿Cuántos individuos están enfermos en ese momento?
2.3 Calcular la tasa instantánea de crecimiento
k
(
t
)
de la población de enfermos y el instante en que
k
(
t
)
=50
.
2.4 El modelo que define el crecimiento de otra población
z
(
t
)
, es el siguiente:
z'
(
t
)
−102z
(
t
)
=−1
102
[
z
(
t
)
]
2; z
(
0
)
=1, t
en años
Hallar la función de efectivos de la población,
z
(
t
)
.
2.5 ¿Existe alguna analogía entre este último modelo y el definido en [1]?. Razónese la respuesta e
indíquese en qué puntos coinciden las gráficas de las funciones
x
(
t
)
y
z
(
t
)
. Dibujar,
aproximadamente, tales gráficas en un mismo diagrama cartesiano.