Departamento de Matemática Aplicada (Biomatemática)
Seminario de Matemáticas
SEMINARIO 3
MODELO 1 (desarrollo en clase)
El número de células que componen un tumor es, inicialmente,
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. El crecimiento de dicho tumor puede
responder a una de las dos leyes siguientes:
I:y'
(
t
)
=r y
(
t
)
[
1−1
Ky
(
t
)
]
(
Logística o Verhulst
)
II :y'
(
t
)
=r e−at y
(
t
) (
de Gompertz
)
siendo
y
(
t
)
el número de células para t medido en días; r=0,2 (la misma en ambos modelos);
K=22×107
y a=0,02 una constante que retrasa el crecimiento en el segundo modelo.
1.1 Calcular la expresión de
y
(
t
)
que mide los efectivos del tumor de acuerdo con la ley de
crecimiento definida por el modelo I siendo el instante inicial
t0=0
1.2 Comprobar que también existe un tope poblacional para el modelo II, cuyo valor numérico coincide
con el de la ecuación logística
1.3 Se sabe que para este tipo de tumores el crecimiento es máximo cuando t=50 días. Calcular en los
dos modelos dicho instante. Calcular también en cada caso
y
(
50
)
y establecer cuál de los dos
modelos, y por qué, describe el comportamiento previsto.
MODELO 2 (trabajo en grupo)
Se pretende describir el crecimiento en longitud de los peces de una determinada especie, en un
piscifactoría, mediante uno de los dos modelos de crecimiento acotado siguientes:
I:y'
(
t
)
=k
(
L−y
(
t
)
)
(
Modelo de Von Bertalanffy
)
II :y'
(
t
)
=ry
(
t
)
(
1−1
Ky
(
t
)
)
(
Modelo de Verhulst
)
cuyos parámetros y valores iniciales son, respectivamente: k=r=0,02, L=K=80 cm.,
y0=y
(
0
)
=1
cm. (t en
unidades convenientes de tiempo. Calcúlense:
2.1 Las expresiones de la función de longitud,
y
(
t
)
, en ambos modelos
2.2 El instante, en cada caso, en que se duplica el tamaño inicial
2.3 ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir, en cada caso, para que el tamaño pase de 78 a 79 cm.
2.4 ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir, en cada caso, para que el tamaño pase de 79 a 80 cm.?
2.5 Teniendo en cuenta que los estudios realizados en la piscifactoría indican que el rendimiento
óptimo se alcanza para t=200, razonar acerca de cuál de los dos modelos se ajusta mejor a la
descripción del crecimiento en longitud de sus individuos