Soluciones de Matemáticas II: Tema 1 - Espacio Euclidiano n-dimensional, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Soluciones de Matemáticas II: Tema 1 - Espacio Euclidiano n-dimensional y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Matemàtiques II

Solucions llista de problemes Tema 1: L’Espai Euclidià

n-dimensional

1. Recordem la definició de norma euclidiana : Donat

x ∈ R n , definim la norma

euclidiana de

x = (x 1 , ...., xn) com ||

x || =

x 2 1 +^ ...^ +^ x

2 n ∈^ [ 0,^ +∞).

(a) ||

v || = ||(1, 2)|| =

12 + 2^2 =

(b) ||

v || = ||(3, 4)|| =

32 + 4^2 =

(c) ||

v || = ||(− 1 , 2) =

(−1)^2 + 2^2 =

(d) ||

v || = ||(− 1 , 0 , 3)|| =

(−1)^2 + 0^2 + 3^2 =

(e) ||

v || = ||(− 2 , − 1 , −3)|| =

(−2)^2 + (−1)^2 + (−3)^2 =

(f) ||

v || = ||(0, 0 , −3)|| =

02 + 0^2 + (−3)^2 =

(g) ||

v || = ||(1, 2 , − 1 , 4)|| =

12 + 2^2 + (− 12 ) + 4^2 =

(h) ||

v || = ||(3, 0 , − 2 , 8)||=

32 + 0^2 + (−2)^2 + 8^2 =

(i) ||

v || = ||(− 1 , 6 , − 2 , 4)|| =

(−1)^2 + 6^2 + (−2)^2 + 4^2 =

2. Definició de distància euclidiana: donats dos punts P, Q ∈ R n , definim la dis-

tància euclidiana de R n entre P i Q com:

d(P, Q) =

(P 1 − Q 1 )^2 + .... + (Pn − Qn)^2 =‖

P − Q ‖∈ [ 0, +∞).

Per tant:

(a) d(3, 1) =

(3 − 1)^2 =

(b) d((1, 2), (1, −2)) =

(1 − 1)^2 + (2 − (−2))^2 =

(c) d((1, 2), (− 2 , 3)) =

(1 − (−2))^2 + (2 − 3)^2 =

32 + 1^2 =

(d) d((0, 1), (− 1 , −2)) =

(0 − (−1))^2 + (1 − (−2))^2 =

(e) d((3, 2), (− 3 , −2)) =

(3 − (−3))^2 + (2 − (−2))^2 =

62 + 4^2 =

(f) d((1, 1), (6, 3)) =

(1 − 6)^2 + (1 − 3)^2 =

(g) d((1, 0 , 3), (− 1 , − 1 , 2)) =

(1 − (−1))^2 + (0 − (−1))^2 + (3 − 2)^2 =

22 + 1^2 + 1^2 =

(h) d((1, 1 , −1), (1, 0 , 3)) =

(1 − 1)^2 + (1 − 0)^2 + (− 1 − 3)^2 =

02 + 1^2 + (− 42 ) =

5. a) L’interval [0, 1] ⊂ R.

És tancat ja que tots els punts de la frontera pertanyen a A (∂A ⊂ A) o

també perquè el seu complementari A c és obert. El conjunt és fitat perquè

és pot fer un "cercle" (− 1 , 2) que contingui el conjunt, [0, 1] ⊂ (− 1 , 2).

És tancat i fitat per tant és compacte.

b) Els eixos de coordenades a R^2.

A =

(x, y) ∈ R^2 | x = 0

(x, y) ∈ R^2 | y = 0

, el conjunt és tancat ja

que (∂A = A) i no és fitat (no és possible fer un cercle que contingui tot el

conjunt). Per tant, no és compacte.

c) A = {(x, y) ∈ R | x + y ≤ 1 }.

El conjunt és tancat pero no fitat i per tant no compacte. És un semiplà.

d) A = {(x, y) ∈ R^2 | x − y ≤ 0 } ∪ {(x, y) ∈ R^2 | x ≤ 0 }.

El conjunt és tancat però no fitat, el conjunt no és compacte.

g) A = {(x, y) ∈ R | y ≤ x + 1 , x ≤ 1 , y ≥ −x − 1 }.

És un conjunt tancat, fitat y per tant compacte.

h) A = {(x, y) ∈ R^2 | − 1 ≤ y ≤ 1 , − 1 ≤ x ≤ 1 }.

És un conjunt tancat, fitat y per tant compacte.

i) A = {(x, y) ∈ R | x

• y = 4}.

Conjunt tancat, fitat i compacte.

j) A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 > 1 }.

Conjunt obert, no fitat (i no compacte, només són compactes els tancats i

fitats).

m) A = {(x, y) ∈ R | y − x

0 , x < 1 , y < 1 }.

Conjunt obert i no fitat.

n) A = {(x, y) ∈ R^2 | y − ex^ ≥ 0 , x ≥ 0 , y + x^2 − 2 ≤ 0 }.

Tancat, fitat i compacte.

o) A = {(x, y) ∈ R | x ≤ 2 , y + 2 − x ≥ 0 , y − ln x ≤ 0 }.

Tancat, fitat i compacte.

6. Un conjunt C ⊂ R n és convex si per a tota parella de punts x, y ∈ C, del conjunt,

el segment que els uneix xy := {z ∈ R n |z = λx + (1 − λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1 },

també està inclòs en el conjunt.

Segons la teoria, tot hiperplà es un conjunt convex. En aquest cas el conjunt { A = (x, y, z) ∈ R^3 |x + y + z = 1

és un hiperplà de R^3 y per tant és un con-

junt convex.

7. a) A = {(x, y) ∈ R | x + y ≤ 1 }. Conjunt convex.

b) A = {(x, y) ∈ R^2 | x ≥ y^2 }. Conjunt convex.

c) A = {(x, y) ∈ R^2 | y ≥ e^2 x}. Conjunt convex.

d) A = {(x, y) ∈ R | x − y ≤ 2 }. Conjunt convex.

e) A = {(x, y) ∈ R^2 | y ≥ x^4 + 2x^2 − x − 3 }. Conjunt convex.

f) A = {(x, y) ∈ R^2 | y ≤ sin(x)}. Conjunt no convex.

i) A = {(x, y) ∈ R | (y

• 1)x ≥ 1 , y ≥ x }. Conjunt convex.

j) A = {(x, y) ∈ R 2 | x ≤ −y 6 − 3 x 2

• 12, y ≥ 4 }. Conjunt buit (∅), i per

tant convex.

8. Si A i B són subconjunts de Rn, la seva suma es defineix com: A + B = {z ∈

Rn^ | z = a + b, a ∈ A, b ∈ B}, per tant si A i B son conjunts convexos, la seva

suma formarà un conjunt convex.

Demostraciò

A + B convex⇔ per qualsevols z, w ∈ A + B ⇒ zw ⊂ A + B,

z ∈ A + B ⇐⇒ z = m + n, m ∈ A, n ∈ B

w ∈ A + B ⇐⇒ w = a + b, a ∈ A, b ∈ B

zw = λz + (1 − λ)w = λ(m + n) + (1 − λ)(a + b)

λ(m + n) + (1 − λ)(a + b)

? ∈ A + B

−→ zw = λm + (1 − λ)a ︸ ︷︷ ︸ A

• λn + (1 − λ)b ︸ ︷︷ ︸ B

→ zw ⊂ A + B