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ejercicios capitulo 2, Ejercicios de Psicología

Universidad Autónoma de Madrid (UAM)Psicología
Prof. Ricardo Olmos

Asignatura: analisis de datos II, Profesor: Ricardo Olmos, Carrera: Psicología, Universidad: UAM

Tipo: Ejercicios

2014/2015

Subido el 25/11/2015

corderito13
corderito13 🇪🇸

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EJERCICIOS CAPÍTULO 2.
CONTRASTE SOBRE UNA PROPORCIÓN.
¿Qué tipo de preguntas (hipótesis) podemos contrastar con estas variables dicotómicas?
• ¿Es el porcentaje de depresivos en la población igual a un 15%? H0: π = 0,15; H1: π ≠
0,15.
• Sospechamos que la proporción de psicópatas ha aumentado y ya es más de 2% de la
población: H0: π ≤ 0,02; H1: π > 0,02.
• Creemos que la intención de voto es menor en estas elecciones generales que en las
pasadas, donde fue de un 55%: H0: π ≥ 0,55; H1: π < 0,55.
1. Hipótesis
a. Contraste bilateral: ;
b. Contraste unilateral derecho: ;
c. Constaste unilateral izquierdo: ;
2. Supuestos: De la población se extrae una muestra aleatoria de n observaciones con
probabilidad de éxito constante en cada extracción.
3. Estadísticos del contraste
3.1. n1 = “número de éxitos en los n ensayos”
P1 = “proporción de éxitos en los n ensayos”
3.2.
4. Distribuciones muestrales
n1 y P1 se distribuyen según el modelo binomial con parámetros n y π.
Z se distribuyen según el modelo N(0,1) a medida que n aumenta
Con n ≥ 20 la aproximación a la normal es ya muy buena
5. Reglas de decisión
a. Contraste bilateral
a.1. Se rechaza H0 si n1 o P1 o toman un valor tan alejado de su valor esperado bajo H0
que la probabilidad de obtener un valor tan alejado como ese o más es menor que α/2.
a.2. Se rechaza H0 si Z ≤ Zα/2 o si Z ≥ Z1 – α/2
b. Contraste unilateral derecho
b.1. Se rechaza H0 si n1 o P1 o toman un valor tan grande que la probabilidad de obtener
un valor igual o mayor es menor que α.
b.2. Se rechaza H0 si Z ≥ Z1 – α
c. Contraste unilateral izquierdo
c.1. Se rechaza H0 si n1 o P1 o toman un valor tan pequeño que la probabilidad de
obtener un valor igual o más pequeño es menor que α.
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EJERCICIOS CAPÍTULO 2.

CONTRASTE SOBRE UNA PROPORCIÓN.

¿Qué tipo de preguntas (hipótesis) podemos contrastar con estas variables dicotómicas?

  • ¿Es el porcentaje de depresivos en la población igual a un 15%? H (^) 0 : π = 0,15; H (^) 1 : π ≠ 0,15.
  • Sospechamos que la proporción de psicópatas ha aumentado y ya es más de 2% de la población: H (^) 0 : π ≤ 0,02; H (^) 1 : π > 0,02.
  • Creemos que la intención de voto es menor en estas elecciones generales que en las pasadas, donde fue de un 55%: H (^) 0 : π ≥ 0,55; H (^) 1 : π < 0,55.
  1. Hipótesis a. Contraste bilateral: ; b. Contraste unilateral derecho: ; c. Constaste unilateral izquierdo: ;
  2. Supuestos : De la población se extrae una muestra aleatoria de n observaciones con probabilidad de éxito constante en cada extracción.
  3. Estadísticos del contraste 3.1. n 1 = “número de éxitos en los n ensayos” P 1 = “proporción de éxitos en los n ensayos” 3.2.
  4. Distribuciones muestrales n 1 y P (^) 1 se distribuyen según el modelo binomial con parámetros n y π. Z se distribuyen según el modelo N (0,1) a medida que n aumenta Con n ≥ 20 la aproximación a la normal es ya muy buena
  5. Reglas de decisión a. Contraste bilateral a.1. Se rechaza H (^) 0 si n 1 o P 1 o toman un valor tan alejado de su valor esperado bajo H (^) 0 que la probabilidad de obtener un valor tan alejado como ese o más es menor que α/2. a.2. Se rechaza H (^) 0 si Z ≤ Z α/2 o si Z ≥ Z 1 – α/ b. Contraste unilateral derecho b.1. Se rechaza H (^) 0 si n (^) 1 o P (^) 1 o toman un valor tan grande que la probabilidad de obtener un valor igual o mayor es menor que α. b.2. Se rechaza H (^) 0 si Z ≥ Z 1 – α c. Contraste unilateral izquierdo c.1. Se rechaza H (^) 0 si n 1 o P 1 o toman un valor tan pequeño que la probabilidad de obtener un valor igual o más pequeño es menor que α.

c.2. Se rechaza H (^) 0 si Z ≤ Z α EJERCICIO: La sintomatología del 30% de los pacientes neuróticos remite espontáneamente. Queremos averiguar si la terapia que usamos nosotros es eficaz: hay que demostrar que es capaz de recuperar una proporción mayor de ese 0,30. De 20 pacientes se recuperaron 9 en los tres primeros meses. ¿Puede afirmarse que el número de recuperaciones que se obtienen con esa terapia es mayor que el esperable por simple recuperación espontánea? (α = 0,05). Con nuestra terapia se han recuperado n (^) 1 = 9 pacientes, de un total de n = 20. Esto supone P (^) 1 = 9/20 = 0,45. Con estos datos, ¿podemos afirmar que la proporción de recuperaciones es mayor de 0,30?

  1. Hipótesis : Se trata, por lo tanto, un contraste unilateral derecho.
  2. Supuestos : muestra aleatoria de 20 observaciones con probabilidad constante 0,30 de pertenecer a la categoría recuperados.
  3. Estadísticos del contraste
  4. n 1 = 9 P 1 = 0,
  6. Distribuciones muestrales 4.1. n 1 y P (^) 1 se distribuyen según la binomial con parámetros n = 20 y π = 0,30. 4.2. Z se aproxima a N (0,1)
  7. Decisión
  8. Como P ( n 1 ≥ 9) = P ( P (^) 1 ≥ 0,45) = 1 – P ( n 1 ≤ 8)= 1 – 0,887 = 0,113 > α, mantenemos H (^) 0 y concluimos que no se puede afirmar que nuestra terapia ofrece resultados significativamente mejores que los que se producen por azar.
  9. Como P ( Z ≥ 1,46) = 1 – P ( Z ≤ 1,46)= 1 – 0,9279 = 0,0721 > α, mantenemos H (^) 0 y concluimos lo mismo. De forma equivalente, como Z = 1,46 es menor que Z (^) 0,95 = 1,65, nuestra Z cae en la zona de aceptación y por ello mantenemos H (^) 0.
  10. Nivel crítico En un contraste unilateral derecho el nivel crítico p es la probabilidad de obtener un estadístico del contraste como el que hemos obtenido o mayor.

  1. Supuestos Se selecciona una muestra aleatoria de 24 sujetos. Las probabilidades de pertenencia una de las tres categorías permanecen constantes durante el estudio. No hay frecuencias esperadas por debajo de 5.

  2. Estadístico del contraste

  3. Distribución muestral X^2 se distribuye según χ 2 con 3 – 1 = 2 grados de libertad

  4. Regla de decisión Rechazar H (^) 0 si el estadístico X^2 es mayor o igual que χ (^2) 2;0,95 = 5,99. Mantener H (^) 0 si el estadístico X^2 es menor que χ (^2) 2;0,95 = 5,99.

  5. Decisión Puesto que el estadístico X^2 toma un valor de 0,917, menor a 5,99, mantengo H (^) 0 y concluyo que la proporción de jóvenes en cada una de las tres categorías es compatible con lo afirmado en H (^) 0. Es decir, no hemos encontrado evidencias como para rechazar H (^) 0. EJERCICIO: En 1995 se estudió a la población española de jóvenes de 16 a 24 años y se conoció que la proporción a favor de la eutanasia era del 0,35; la de indiferente era de 0, y en contra de 0,40. En los últimos años se cree que los jóvenes actuales han cambiado en relación a esto, por lo que se quiere comprobar si las proporciones ya no son las mismas

  1. Hipótesis H (^) 0 : f ( n ) =[ π (^) a favor = 0,35; π indiferente = 0,25; π en contra = 0,40] H (^) 1 : f ( n ) ≠[ π a favor = 0,35; π indiferente = 0,25; π en contra = 0,40] Para poder mantener o rechazar H (^) 0 pedimos opinión a una muestra de 100 jóvenes. 50 se muestran a favor, 25 indiferentes y 25 en contra.
  2. Supuestos : Una muestra de 100 sujetos de entre 16-24 años se selecciona aleatoriamente y se les clasifica en 3 categorías exclusivas y exhaustivas: a favor , indiferente y en contra de la eutanasia. Las probabilidades teóricas afirmadas en H (^) 0 se mantiene constante durante el proceso: [0,35; 0,25 y 0,40]. No hay frecuencias esperadas inferiores a 5.
  3. Estadístico del contraste.

donde n (^) i se refiere a las frecuencias observadas y m (^) i a las frecuencias esperadas.

Categoría I Frecuencia esperada (m (^) i ) bajo H 0 Frecuencia observada ( n i ) A favor n (π 1 ) = 100(0,35) = 35 50 Indiferente n (π 2 ) = 100(0,25) = 25 25

En contra n (π 3 ) = 100(0,40) = 40 25

  1. Distribución muestral : X^2 se aproxima a χ 2 con I – 1 grados de libertad. Ver tabla D del volumen 1. Luego en el ejemplo, nuestro estadístico X^2 se aproxima a χ 2 con 3 – 1 = 2 grados de libertad.
  2. Zona crítica. Buscamos en la distribución χ 2 con 2 grados de libertad el valor a partir del cuál rechazamos H (^) 0. El centil 95 de la distribución χ 2 con 2 grados de libertad es 5,99. Por lo tanto, valores de nuestro estadístico X^2 ≥ χ (^2) 2;0,95 nos llevará a rechazar H (^) 0.
  3. Decisión. Como X^2 = 12,05 > χ (^2) 2;0,95 = 5,99 rechazamos H (^) 0 y concluimos que las proporciones poblacionales no son las afirmadas en H (^) 0. La opinión sobre la eutanasia en los jóvenes de hoy ha cambiado en relación a hace 20 años.
  4. Nivel crítico (valor p ). p = P( X^2 ≥ 12,05) < 0, CONTRASTE SOBRE UNA MEDIA (PRUEBA T PARA UNA MUESTRA) Ejercicio 9.4. Las puntuaciones del WAIS (Escala de Inteligencia para Adultos de Wechsler) se distribuyen normalmente con media 100. Un psicólogo ha construido una nueva prueba de inteligencia ( Y ) y desea saber si la media que se obtiene con ella se parece o no a la del WAIS. Para ello selecciona una muestra de 100 sujetos y, tras pasarles la prueba, obtiene una media de 105 y una desviación típica de 16. ¿Qué concluirá el psicólogo con un nivel de confianza de 0,95? Datos: n = 100. α = 0,05.

  1. Hipótesis H (^) 0 : μ = 100 H (^) 1 : μ ≠ 100

  2. Supuestos Muestra aleatoria de 100 sujetos. La distribución de Y es normal (si no se cumple el supuesto no hay problemas dado que n es suficientemente grande).

  3. Estadístico del contraste

  4. Distribución muestral T se distribuye según el modelo t con n-1 = 99 grados de libertad

  5. Regla de decisión Como el constraste es bilateral la distribución muestral de t (^) 99 se divide en dos zonas de rechazo (en el percentil 2,5 y 97,5). Esos valores son t 99;0,025 = -1,984 y t 99;0,975 = 1,984. Rechazo si T ≤ -1,984; o T ≥ 1,984.

  6. Decisión

Puesto que X^2 = 14 > 9,21 rechazo H (^) 0 y concluyo que el trastorno de tipo depresivo se relaciona con el hábitat. Ejercicio 9.6. Algunos datos recogidos durante los últimos años señalan que los trastornos de tipo depresivo ( D ) afectan al 32% de las personas en paro. Un investigador social sospecha que esta cifra es demasiado alta y decide obtener alguna evidencia sobre ello. Selecciona una muestra aleatoria de 300 sujetos en paro y encuentra que 63 de ellos muestran trastornos de tipo depresivo. Utilizando α = 0,01, ¿qué puede concluirse sobre la sospecha del investigador? Ejercicio 9.11. Con un método tradicional de enseñanza de las matemáticas, la población de estudiantes de primaria vienen promediando una media de 6,4. Un educador sospecha que su método es mejor y lo aplica a dos aulas de 25 estudiantes cada uno. Al final del curso los 50 estudiantes obtienen una calificación media de 6,8 y una varianza de 2. ¿Se puede concluir, con un nivel de confianza de 0,95, que el nuevo método de enseñanza ha mejorado la calificación media que se venía obteniendo? Ejercicio. Queremos averiguar si todas las caras de un dado tienen la misma probabilidad de salir. Para ello lanzamos el dado 120 veces obteniendo los siguientes resultados: Cara 1 2 3 4 5 6 ni 28 16 20 21 24 11 ¿Permiten estos datos afirmar que la proporción de caras del dado no se distribuye uniformemente? (α = 0,05) Ejercicio 9.18. Se ha utilizado el estadístico X^2 de Pearson para contrastar la H 0 : f ( n ) =[ π (^) 1 = 0,50; π (^) 2 = 0,25; π (^) 3 = 0,25]. En una muestra aleatoria se ha obtenido X^2 = 4,61. Sabiendo que P ( X^2 > 4,61) = 0,10: a. ¿Qué decisión debe tomarse sobre H (^) 0 con α = 0,05? b. ¿Por qué? c. ¿Qué puede concluirse? Ejercicio. Se sospecha que la media de errores ortográficos en una prueba ha aumentado en la población durante los últimos años. Se plantea la H 0 : μ ≤ 5 frente a H (^) 1 : μ > 5. Se extrae una muestra aleatoria de 40 niños de 4º de primaria que arrojan un estadístico T = 2,71. A continuación se muestran determinados valores t y sus probabilidades acumuladas.

¿A partir de qué valor rechazaremos H (^) 0 (α = 0,05)? ¿Qué decisión debemos tomar y qué concluimos? Cont. Calculamos la función de probabilidad acumulada para una determinada H (^) 1

Suponiendo H 1 cierta, ¿cuánto vale la potencia del contraste? ¿Y cuánto el error tipo II? Seguimos suponiendo H (^) 1 cierta, ¿cometeríamos un error si nuestro estadístico T hubiese sido = 1,39? ¿Qué tipo de error?