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Relación de Ejercicios 5
Temas 5
Variable Aleatoria
- La demanda diaria de cierto producto viene dada por la distribución de probabilidad siguiente:
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,15 0,10 0,
a) Obtener la función de distribución.
b) Hallar el valor de X para el que P ( X>x ) = 0,55.
c) Obtener la esperanza de esta variable aleatoria.
d) Calcular la probabilidad de que un cierto día la demanda sea igual a 5 si se sabe que en ese día ha sido
al menos igual a 2.
- Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es la siguiente:
x
x F x e x
−
^
−^
En este caso, obtenga las siguientes probabilidades:
a) P X ( −2) b) P X ( −1) c) P ( X = 0) d) P ( X >0) e) P ( X ≤1) f) P ( 1− X 1)
g) P ( X =2) h) P ( X >2) i) P (2< X <3) j) P (2≤ X ≤3) k) P (2≤ X <3)
- Una empresa fabrica clips y los empaqueta en cajas. El número de clips de cada caja es un valor aleatorio
cuyos valores y probabilidades son los que se indican a continuación:
Nº de clips ( X ) 48 49 50 51 52
Probabilidad 0,1 0,2 0,4 0,2 0,
El coste de fabricar una caja de clips, expresado en euros, es C = 0, 2 +0,01 X ,donde X es número de
clips en la caja. El ingreso por la venta de una caja, independientemente del número de clips que
contenga, es 1 euro. Si el beneficio se define como la diferencia entre el ingreso y el coste, hallar la
media y la varianza del beneficio por caja sabiendo que
2 E X [ ] =2501, 2.
- Una persona dispone de un efectivo de 100.000 € y quiere invertirlos. Esta persona duda entre las
siguiente opciones: 1º) Participar en una promoción inmobiliaria de la que sabe que tendrá una
rentabilidad del 20% con una probabilidad del 0,4 frente a ganar 10.000 € con una probabilidad del 0,6.
2º) Participar en un negocio de alto riesgo en el que obtendrá un beneficio de 200.000 € si le sale bien el
negocio o perderlo todo si fracasa. Para tomar una decisión, nuestro inversor acude a un asesor al que le
pregunta:
a) ¿Qué probabilidad de éxito debe existir como mínimo en el segundo caso para que éste sea más
rentable?
b) ¿Cuáles son las diferentes variancias de las dos opciones si la probabilidad de éxito en el segundo
caso fuera de 0,4?
- Sea la siguiente función de densidad:
k f x x x
Calcule:
a) El valor de k para que efectivamente sea una función de densidad.
b) La función de distribución.
c) P (3 X 5).
d) La esperanza de la variable, así como el coeficiente de variación.
e) El valor de a tal que P X ( a ) =0'
- Si las variables aleatorias X e Y son continuas y su función de densidad conjunta viene dada por
2 f x y , = 6 x y , con 0< x <1; 0< y <1, obtenga:
a) E[ X ] y E[ Y ].
b) Estudiar la dependencia entre X e Y. En caso de ser independientes, ¿cuáles serían los efectos sobre las
función de densidad conjunta y sobre las condicionales?
c) La esperanza condicionada E [ Y / X ], así como el coeficiente de correlación lineal entre ambas
variables. Interprételo.
d) Hallar E [ X / y = 0,4] y E [ Y / x = 0,1].
e) Calcular Var X ( − Y ).
- Suponga que la calificación de un alumno en los exámenes de selectividad (variable X ) es un número
entre 0 y 1 y que su nota media en bachillerato (variable Y ) es también un número entre 0 y 1. Admitamos
que estas variables aleatorias tienen la siguiente función de densidad conjunta:
f x y = x + y para 0 x 1 ; 0 y 1 , y 0 en resto
A partir de esta información:
a) Compruebe que la función de densidad anterior realmente lo es.
b) Obtenga las marginales de X e Y.
c) ¿Son estas variables independientes?
d) Obtenga la esperanza y la variancia de Y.
e) Determine P ( X> 0,7) y P ( X> 0,7 /y= 0,7).
- Si X e Y son dos variables aleatorias continuas con función de densidad dada por f ( x , y ) para cualquier
valor real de X e Y , responda a las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué condiciones debe cumplir f ( x , y ) para ser una función de densidad?
b) ¿Cómo se definen las funciones de densidad marginales de X e Y?
c) Defina la esperanza de X y su varianza.
d) Defina la función generatriz de momentos de Y.
e) Establezca para estas variables la condición de independencia.
f) Defina la función de densidad condicional de Y para X = x
g) Defina la E [ Y / x ].
- La rentabilidad de un negocio depende de dos variables aleatorias X e Y que representan la rentabilidad de
las ventas y la rentabilidad del capital, respectivamente. La distribución conjunta de estas dos variables
tiene función de densidad f ( x , y ) dada por:
4 (1 ) 0 1; 0 1 ( , ) (^3)
0 en el resto.
x y x y f x y
+^ ^ ^ ^ =
Relación de Ejercicios 5
Temas 5
Variable Aleatoria
Soluciones de algunos apartados
1. a)
x F ( x )
b) x =
c) 2,
d) 0,
2. a) 0 b) 1 c) 0 d) 1 e) 0,632 f) 0,632 g) 0
h) 0,1353 i) 0,085548 j) 0,085548 k) 0,
3. E [Beneficio] = 0,3€; Var (Beneficio) = 0’00012€
2
4. a) 0,
b) Var ( X 1 )=24·
6
2
; Var ( X 2 )=2,16·
10
2
a) k =8/
b)
x
F x x
x
x
^
^
c) 0’
d) 2’38; 0’
e) a =4’
a.
b. X e Y son independientes.
f ( , x y ) = f X ( X ) f Y ( Y ) f ( X / Y ) = f X ( X ) f Y ( / X ) = fY ( Y )
c.
[ / ]
E Y X = XY = 0
d.
e.
b)
f X x x x
f Y y = + y y
c) No son independientes
d) E [ Y ]=3/5; Var ( Y )=11/
f) 0,384; 0,
a) k^2
b) CV A = 0, 6379 CVB =0, 7776
c) 0% en el país A, 9,37% en el país B.
8. Véase notas de clase.
a) f ( x , y ) cumple las condiciones para ser función de densidad.
b)
[ ] [ ]
E X = E Y =
c) P X ( = 0,5; Y = 0,5) = 0
d)
0 en el resto
x x
f x y
e) Son independientes.
a)
0 en el resto
X
x
f x
−^ ^
0 en el resto
Y
y
f y
−^ ^
b)
0 en el resto
xy x y x y
f y x
^ +^ −^ −^ ^ ^ −^ ^
c) No son independientes.
d)
3
[ / ] 1 1
x x
E Y X = − − x
e) XY = 0
a) c = 4
b)
0 en el resto
X
x x
f x
^
0 en el resto
Y
y y
f y
−^ ^
c)
[ / ] 0 1 [ / ] 0 1
E Y X = x E X Y = y
