Estadistica, variable aleatoria, Apuntes de Estadística

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3. Variables aleatorias

Estad´ıstica

Ingenier´ıa Inform´atica

Curso 2009-

Contenidos

1 Variables aleatorias y su distribuci´on

(^2) Transformaci´on de variables aleatorias

3 Medidas caracter´ısticas de una variable aleatoria

Esperanza

Momentos de una variable aleatoria. Varianza

Otras medidas caracter´ısticas

Ejemplo 1:

Experimento aleatorio: “lanzar un dado”.

v.a. m´as natural X : asignar a cada cara del dado su valor num´erico ⇒

X toma seis valores, del 1 al 6, con probabilidad

P(X = a) =

, a = 1, ..., 6

v.a. (no tan natural) Y : asignar el valor 1 a las caras que son

m´ultiplos de tres y el valor 0 a las que no lo son,

Y =

1, con probabilidad p =

1

3

0, con probabilidad p =

2

3

Ejemplo 2:

Vamos a realizar un experimento aleatorio que consiste en

“seleccionar una persona al azar”. Para cada persona observamos el

n´umero de hermanos que tiene y su peso.

Podemos usar las v.a.’s:

• X para el n´umero de hermanos, cuyos valores ser´an n´umeros enteros a

partir de cero,

• Y para el peso; con rango de valores todos los posibles entre los l´ımites

naturales; entre dos valores posibles de Y se podr´ıan obtener infinitos

valores intermedios (si utiliz´aramos aparatos con suficiente precisi´on).

Estos infinitos valores en el rango de la variable es lo que diferencia a las

variables continuas (Y ) de las discretas (X ).

¿C´omo asignamos una probabilidad P a los valores del rango de una v.a.?

(¿c´omo hereda la variable X la funci´on de probabilidad P del espacio Ω?)

Dado A ⊂ R, la probabilidad de A viene dada por

P(A) = P(X ∈ A) = P(s ∈ Ω : X (s) ∈ A)

La funci´on de

masa (v.a. discreta)

densidad (v.a. continua)

caracteriza P (inducida por P)

¿qu´e significa? que conocida la funci´on de masa/densidad de X podemos

calcular la probabilidad de cualquier subconjunto A ⊂ R

¿por qu´e usarlas? porque son m´as f´aciles de calcular y de manipular

Funci´on de masa (v.a.discreta)

Es una funci´on que representa la probabilidad de que X tome cada uno de

los posibles valores (discretos) x i

, i = 1, ..., n, ...:

p : R → [0, 1]

xi → p(xi ) = P(X = xi ) =

= P(s ∈ Ω : X (s) = x i

Propiedades:

1. 0 ≤ p(x) ≤ 1 , ∀x ∈ R

i

p(x i

3. Dado A ⊂ R, P(X ∈ A) =

x i

∈A

p(x i

Como consecuencia:

P(a ≤ X ≤ b) =

b

a

f (x)dx

P(X = a) =

{a}

f (x)dx =

a

a

f (x)dx = 0

la probabilidad de que una v.a. continua X tome un valor a es cero

P(X ≤ a) = P(X < a)

P(X ≥ a) = P(X > a)

Funci´on de distribuci´on

Otra funci´on F que caracteriza la funci´on de probabilidad P de una v.a.

X :

F (x) = P(−∞, x] = P(s ∈ Ω : X (s) ≤ x), ∀x ∈ R

Propiedades:

1. l´ım

x→−∞

F (x) = 0

2. l´ım

x→∞

F (x) = 1

3. x 1

< x 2

⇒ F (x 1

) ≤ F (x 2

) (mon´otona no decreciente)

4. F (x

) = l´ım

h→ 0

F (x + h) = F (x) (continua por la derecha)

Funci´on de distribuci´on de una v.a.discreta

F (x) =

x i

≤x

P(X = x i

x i

≤x

p(x i

es una funci´on continua a trozos (funci´on en escalera)

Funci´on de distribuci´on de una v.a.continua

F (x) =

x

−∞

f (t)dt

F es continua: no tiene saltos (todos los conjuntos formados por un

solo punto tienen probabilidad cero)

Calculamos f (x) a partir de F (x) derivando: f (x) =

dF (x)

dx

Ejemplo 1:

Experimento aleatorio: lanzar cuatro veces una moneda equilibrada.

Espacio muestral:

Ω = {CCCC , CCC +, CC + C , C + CC , +CCC , CC + +, C + C +, C +

+C , +CC +, +C +C , ++CC , +++C , ++C +, +C ++, C +++, ++++}

X v.a. que expresa el n´umero de cruces obtenidas; toma el valor 0 cuando

el resultado es {CCCC }, el valor 1 si ocurre el suceso {CCC +, CC + C ,

C + CC , +CCC }, el valor 2 si aparece {CC + +, C + C +, C + +C ,

+CC +, +C + C , + + CC }, el valor 3 para los resultados {+ + +C ,

• • C +, +C + +, C + ++}, y el valor 4 si sale {+ + ++}.

P(xi ) =

1

16

x i

4

16

x i

6

16

xi = 2

4

16

x i

1

16

xi = 4

F (x) =

0 x < 0

1

16

0 ≤ x < 1

5

16

1 ≤ x < 2

11

16

2 ≤ x < 3

15

16

3 ≤ x < 4

16

16

= 1 x ≥ 4

Ejemplo 2:

Sea X una variable aleatoria continua, caracterizada por la siguiente

funci´on de densidad:

f (x) =

k(x

2

• 1. si 0 < x < 3

0 en el resto

Para que sea funci´on de densidad, la integral en R debe ser 1:

R

f (x)dx =

3

0

k(x

2

• 1)dx =

k

x

3

• kx

3

0

= k

3

• 3k =

= 9 k + 3k = 12k ⇒ k =

Funci´on de distribuci´on:

F (x) =

0 , x < 0

∫ x

0

k(t

2

• 1)dt, 0 ≤ x ≤ 3

1 , x > 3

0 , x < 0

x

3

• 3x

, 0 ≤ x ≤ 3

1 , x > 3

Transformaci´on de variables aleatorias

Transformaci´on de variables aleatorias

Dadas una variable aleatoria X y una funci´on real de variable real

g : R → R queremos estudiar la distribuci´on de la variable aleatoria

transformada por g de X , Y = g (X )

Basta con calcular la funci´on de distribuci´on de Y (P est´a caracterizada

por F )

F Y

(y ) = P Y

(Y ≤ y ) = P Y

(g (X ) ≤ y ) = P X

(X ∈ A y

),

donde A y

= {x : g (x) ≤ y } (en muchos casos es sencillo de calcular)

Transformaci´on de variables aleatorias

Ejemplo:

Dadas la variable aleatoria continua X , con funci´on de densidad

f X

(x) = 2x, 0 < x < 1 , y la funci´on continua g (x) = 3x + 1, calcular

la funci´on de densidad de la variable aleatoria continua Y = g (X ).

Como x = g

− 1 (y ) =

y − 1

y

dx

dy

, ser´a:

f Y

(y ) =

1

3

f X

y − 1

3

2 y − 2

9

(1 < y < 4)

Transformaci´on de variables aleatorias

Ejemplo (cont.):

Alternativamente, podemos calcular f Y

de la siguiente manera:

Funci´on de distribuci´on de Y :

F

Y

(y ) = P(Y ≤ y ) = P(g (X ) ≤ y ) = P

X ≤ g

− 1 (y )

= F

X

g

− 1 (y )

∫ y − 1

3

0

2 tdt = t

2

y − 1

3

0

(y − 1)

2

y derivamos F Y

para obtener la funci´on de densidad:

fY (y ) =

2(y − 1)

2 y − 2