Variable aleatoria, Apuntes de Estadística Empresarial

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VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA

Frecuentemente, cuando realizamos un experimento aleatorio nos interesa, más que el resultado del experimento, una característica de interés asociada a los resultados.

Experimento 1: Lanzamiento de dos dados. “Característica de interés” = Suma de ambos dados

Experimento 2: Lanzar una moneda cinco veces. “Característica de interés” = Nº de veces que ha salido cara

Estas “Características de interés” son variables que dependen del resultado obtenido al efectuar el experimento aleatorio. Por tanto, pueden entenderse como funciones que asignan a cada posible resultado del experimento un número real.

TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS

DISCRETAS

Variables aleatorias que toman valores numéricos aislados y puntuales.

 Llamadas de teléfono que recibimos en nuestro móvil cada día.

 Aciertos en un examen tipo test.

 Coches que atraviesan una calle cada 5 minutos.

CONTINUAS

Variables aleatorias que toman todos los valores posibles dentro de un intervalo.

 Estatura de un individuo.

 Temperatura de un individuo.

 Tiempo de duración de una bombilla.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Las variables discretas quedan determinadas cuando conocemos los posibles valores que toma y la probabilidad que toma cada uno de sus valores.

FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD

La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función que asigna a cada valor posible de esta

variable aleatoria una probabilidad.

Si la variable aleatoria X toma los valores x 1 , x 2 ,... , xn y conocemos los valores pi = P[X = xi] con i= 1,…,n, la función de masa de probabilidad de la v.a discreta X viene dada por:

X x 1 x 2 x 3 ··· xn

pi = P[X = xi] p 1 p 2 p 3 ··· pn

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

EJEMPLO

Experimento Aleatorio: Lanzamiento de dos dados.

Variable Aleatoria: Suma de las puntuaciones de ambos dados.

X= Suma de las puntuaciones de ambos dados

Resultados posibles del experimento según las puntuaciones obtenidas con los dados. Cada uno de estos 36 casos son equiprobables. (^) 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

Rango de X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Prob. Pi

X 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P    2   361   1 , 1 

P    3   362    2 , 1  , 1 , 2 

36

Prob(X  k)  #(Suman k)

La función de masa de probabilidad de la v.a discreta

X= Suma de las puntuaciones de ambos dados

viene dada en la siguiente tabla:

EJEMPLO

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y CÁLCULO DE

PROBABILIDADES

La Función de Distribución permite calcular la probabilidad de los sucesos más usuales asociados a una variable. De forma general:

1. P(X ≤ a)=F(a)
2. P(X > a)= 1-F(a)
3. P(a<X≤b)= F(b)-F(a). “Esta propiedad me permite calcular fácilmente la probabilidad de que la variable tome valores en un intervalo”.

Cuidado con las desigualdades en las variables discretas. Probabilísticamente NO es lo mismo ‘≤’ que ‘<‘ y ‘≥’ que ‘>’

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

EJEMPLO

Experimento Aleatorio: Lanzamiento de dos dados.

La función de distribución de la v.a discreta

X= Suma de las puntuaciones de ambos dados

viene dada en la siguiente tabla:

F(xi)

X 1/36 3/36 6/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10/

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

MEDIA Y VARIANZA

El valor esperado, esperanza o media de una variable aleatoria discreta se define como:

La varianza de una variable aleatoria discreta se define como:

 (^)    

n

i 1

E(X) xi pi

2 2

n

i 1

i

2 i

n

i 1

i

2 Var(X)  (^)  (x i   ) p   x p      

En estas expresiones se ha sustituido la frecuencia relativa,

que se usaba en el caso de los parámetros muestrales

correspondientes, por la probabilidad.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

EJEMPLO

Experimento Aleatorio: Lanzamiento de dos dados.

Variable Aleatoria: X= Suma de las puntuaciones de ambos dados

Prob. Pi

X 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7 puntos 36

1 ... 12· 36

2 3· 36

1 E(X) x p 2·

n

i 1

 (^)  i i      

  2 2 2 2 2 2 7 5 , 83 36

Var ( X ) (^2)    puntos 

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Dada una prueba de Bernoulli, la v.a X que toma el valor 1 si se presenta éxito y el valor 0 si se presenta fracaso, diremos que se distribuye según una distribución de Bernoulli:

X 0 1 E(X) = p

P(X) 1-p p Var(X) = p(1-p)

p : probabilidad de obtener éxito en el experimento 1-p : probabilidad de obtener fracaso en el experimento.

X  Be ( p )

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

EJEMPLO

Si un proceso de fabricación produce un 2% de elementos defectuosos y llamamos éxito el resultado de obtener un producto correcto, entonces la v.a:

X= Observar si el producto es correcto

sigue una distribución de Bernoulli, es decir, X ^ Be (^ p ^0.^98 )

X 0 1

P(X) 0.02 0.

E(X) = p= 0.

Var(X)=p(1-p)=0.98·0.02=0.

pk^ (1 p) n k k

n P(X k)    

  

  

E(X) = n p

Var(X)=n p(1-p)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La función de probabilidad de la distribución Binomial viene dada por:

n : número de veces que se realiza el experimento. p : probabilidad de éxito en cada prueba. 1-p : probabilidad de fracaso en cada prueba. k : Nºde éxitos al que queremos calcular la probabilidad.

La media y la varianza de la distribución Binomial son:

¡Atención! → Rango de k: 0, 1,…,n

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

EJEMPLO

En un proceso de fabricación industrial se producen un 12% de piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que de un lote de 20 piezas resulten defectuosas al menos 3?

Definimos la variable : X=”Nº de piezas defectuosas en un lote de 20” X  B ( 20 ; 0. 12 )

          

   

   

 0. 12  2  0. 88 ^18 0. 27403 2

20 [ 2 ]

1. 12 1 0. 88 19 0. 21153 1

20 [ 1 ]

1. 12 0 0. 88 20 0. 07756 0

20 [ 0 ]

3 1 3 1 0 1 2

^  

  

  

  

  

  

  

  

  

           

P X

P X

P X

P X P X P X P X P X 0.