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Asignatura: Estadística Avanzada, Profesor: Sergio Martínez Puertas, Carrera: Finanzas y Contabilidad, Universidad: UAL
Tipo: Apuntes
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Grados en ADE, FYCO, MARKETING Y ECONOM´IA
Dpto. de Estad´ıstica y Matem´atica Aplicada Universidad de Almer´ıa
1.- Distribuci ´on conjunta y distribuciones marginales 2.- Esperanza, varianza y covarianza. 3.- Independencia. 4.- Reproductividad. 5.- Teorema Central del L´ımite.
Detallaremos el caso bidimensional y explicaremos c ´omo extenderlo al caso multidimensional.
Objetivos. Representar varias variables conjuntamente. Intercambiar distintas representaciones (conjunta - marginal) Reconocer independencia entre v.a. Identificar y resolver problemas donde aparecen repeticiones de la misma v.a.
Sea un experimento que involucra dos v.a. X e Y , cada una de las cuales tiene una distribuci ´on discreta. Si ambas tienen un n ´umero finito (o infinito numerable) de posibles valores, entonces existe un n ´umero finito (o infinito numerable) de posibles valores distintos para la v.a. conjunta Z = (X , Y ) y se dice que Z tiene una distribuci ´on bidimensional discreta.
La distribuci ´on de probabilidad conjunta , de una variable aleatoria bidimensional discreta Z = (X , Y ), con posibles valores de X = x 1 ,... , xn y posibles valores de Y = y 1 ,... , ym, la notaremos por P(Z = z) = P(z) = P(x , y ) = P(X = x , Y = y ), y es una funci ´on que asigna las probabilidades con que la variable aleatoria toma los posibles pares de valores (x , y ), de tal manera que las probabilidades verifiquen las dos condiciones siguientes: 0 ≤ P(xi , yj ) ≤ 1 i = 1 , 2 ,... , n , j = 1 , 2 ,... , m. ∑^ n i= 1
∑^ m j= 1
P(xi , yj ) = 1.
Sea un experimento que involucra dos v.a. X e Y , cada una de las cuales tiene una distribuci ´on continua, entonces se dice que la v.a. conjunta Z = (X , Y ) tiene una distribuci ´on bidimensional discreta.
La funci ´on de densidad conjunta , de una variable aleatoria bidimensional continua Z = (X , Y ), es una funci ´on f (x, y) que verifica las dos condiciones siguientes: f (x, y) ≥ 0 ∀x, y. ∫ (^) ∞
−∞
−∞
f (x, y)dxdy = 1.
y adem ´as, para cualquier conjunto A del espacio bidimensional,
A
f (x, y)dxdy
Ejemplo Sea f (x, y) una funci ´on de dos variables, X e Y.
f (x, y) =
x + y Si 0 ≤ x, y ≤ 1 0 En otro caso
Demostrar que es una funci ´on de densidad conjunta.
f (x, y) > 0 ∀x, y
0
1 0
(x + y)dy
dx = ∫ (^1)
0
xy + y^2 2
0
dx =
0
((x + 1 / 2 ) − 0 ) dx =
0
(x + 1 / 2 )dx =
x^2 2
0
La funci ´on de distribuci ´on conjunta de dos v.a. X e Y se define como la funci ´on F (x, y) tal que F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) ∀ x, y
Caso discreto: F (x, y) =
xi ≤x
yj ≤y
P(xi , yj ).
Caso continuo:
F (x, y) =
∫ (^) x
−∞
∫ (^) y
−∞
f (r , s)drds ,
en este caso concreto, adem ´as
f (x, y) = ∂^2 F (x, y) ∂x∂y
La funci ´on de densidad conjunta , de una variable aleatoria multidimensional continua Z = (X 1 ,... , Xn), es una funci ´on f (x 1 ,... , xn) que verifica las dos condiciones siguientes: f (x 1 ,... , xn) ≥ 0 ∀x 1 ,... , xn. ∫ (^) ∞
−∞
−∞
f (x 1 ,... , xn)dx 1 · · · dxn = 1.
Si X e Y son v.a. discretas con una distribuci ´on de probabilidad conjunta P(x , y ), entonces las distribuciones discretas de probabilidad marginales de X e Y son:
PX (x ) = PX (X = x ) =
∑^ m j= 1
P(x , yj )
PY (y ) = PY (Y = y ) =
∑^ n
i= 1
P(xi , y )
Si X e Y son v.a. continuas con una funci ´on de densidad conjunta f (x , y ), entonces las funciones de densidad marginales de X e Y son:
fX (x ) =
∫ (^) ∞
−∞
f (x , y )dy
fY (y ) =
∫ (^) ∞
−∞
f (x , y )dx
Ejemplo Sea f (x, y) una distribuci ´on conjunta de dos variables, X e Y.
f (x, y) =
x + y Si 0 ≤ x, y ≤ 1 0 En otro caso
Calcular las distribuciones marginales fX (x) y fY (y).
fX (x) =
0
(x + y)dy =
xy + y^2 2
0
= (x + 1 / 2 ) − 0 = x + 1 / 2.
fY (y) =
0
(x + y)dx =
x^2 2
0
= ( 1 / 2 + y) − 0 = y + 1 / 2.
Ejemplo Calcular las marginales de la siguiente distribuci ´on conjunta discreta.
X 0 1 Y
Ejemplo Calcular las marginales de la siguiente distribuci ´on conjunta discreta.
X PY 0 1 Y 0 0.^2 0.^3 0.^5 1 0. 4 0. 1 0. 5 PX 0. 6 0. 4 1
¿C ´omo obtener la funci ´on de distribuci ´on marginal?
FX (x) = P(X ≤ x)
Caso continuo: FX (x) =
∫ (^) x
−∞
fX (t)dt
Caso discreto: FX (x) =
xi ≤x
PX (xi )
FX (x) = lim y →∞ F (x, y)
Esperanza Sea (X ,Y ) una v.a. bidimensional, se define la esperanza de X + Y como : Si (X ,Y ) es discreta, con distribuci ´on de probabilidad conjunta pij = {P[X = xi , Y = yj ]}
E[X + Y ] =
∑
i
∑
j
(xi + yj )pij
Si (X ,Y ) es continua, con funci ´on de densidad conjunta f (x , y )
E[X + Y ] =
∫ (^) ∞
−∞
∫ (^) ∞
−∞
(x + y )f (x , y )dydx
Ejemplo Demostrar que E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ]
E [X + Y ] =
−∞
−∞
(x + y)f (x, y)dydx = ∫ (^) ∞
−∞
−∞
(xf (x, y) + yf (x, y))dydx = ∫ (^) ∞
−∞
−∞
xf (x, y)dydx +
−∞
−∞
yf (x, y))dxdy = ∫ (^) ∞
−∞
x
−∞
f (x, y)dy
dx +
−∞
y
−∞
yf (x, y)dx
dy = ∫ (^) ∞
−∞
xfX (x)dx +
−∞
yfY (y)dy = E [X ] + E [Y ]
