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EJERCICIOS FASORES
EJERCICIO 1.- Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del circuito serie,
suponiendo que contiene dos elementos. La tensión y corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente.
i(t)= 8 sen( 2.000t+ 5 )
v (t)= 50 sen( 2.000t- 25 )
RESOLUCIÓN:
Al estar dadas la tensión y corriente con sus respectivas fases, el origen de tiempos está perfectamente determinado.
Hay que hacer notar que ambas funciones tienen la misma frecuencia.
Los fasores correspondientes a cada una de las ondas son:
- 25 ( V )
V = ∠ °
5 ( A )
I = ∠ °
Aplicando la definición de impedancia se tiene:
Z = ∠ ° Ω
que corresponde a una resistencia y un condensador conectados en serie, cuyos valores vienen dados por:
= 160 F
3,125x2.
R=5,4 C=
6
Ω μ
En la figura se muestra el diagrama fasorial y el diagrama de impedancias. Del diagrama fasorial se comprueba que el
circuito es capacitivo ya que la tensión está retrasada respecto de la corriente.
El origen de tiempos puede ser cambiado. Si se toma como origen de tiempos un punto cero de la corriente, el
diagrama fasorial será el mostrado en primer lugar en la figura siguiente. Si se toma como origen de tiempos la
tensión el diagrama fasorial será el segundo de los representados.
Pero en ambos casos, el desfase tensión - corriente es el mismo ya que está impuesto por el argumento de la carga.
EJERCICIO 2.- Un circuito serie de tres elementos contiene una bobina de una autoinducción L = 0,02 henrios. La
tensión aplicada y la corriente resultante se muestran en el diagrama fasorial de la figura. Sabiendo que ω = 500 rad/s,
determinar los otros dos elementos del circuito.
RESOLUCIÓN:
La impedancia del circuito compuesto por los tres elementos será:
=31,61 71,50 = 10 +j 30 ( )
Z = ∠ ° Ω
por tanto, el circuito está formado por una resistencia de:
R= 10 Ω
y una reactancia inductiva total de:
X L
Como uno de los elementos es una bobina de L = 0,02 henrios, siendo su reactancia de: =0,02x 500 = 10 Ω X L 1
el tercer elemento será una bobina cuya reactancia vendrá dada por:
X
L 2
a la que le corresponde un coeficiente de autoinducción L 2 dado por:
=0,04H
L L
X
2 2 L 2
ω
EJERCICIO 3.- Un circuito serie se compone de una resistencia R = 8 ω y un condensador con una capacidad C = 30
μF. ¿ A qué frecuencia la corriente adelanta un ángulo de 30º respecto de la tensión ?.
(t)= 100 sen( t- 30 ) v
(t)= 35 sen( t+ 45 ) v
2
1
ω
ω
Tomar como sentido de la suma, en primer lugar el sentido positivo de v 1 (t) y en segundo lugar el de v 2 (t).
RESOLUCIÓN:
Los fasores correspondientes a las tensiones de los generadores serán:
- 30 ( V )
V
(t)= 100 sen( t- 30 ) v
45 ( V )
V
(t)= 35 sen( t+ 45 ) v
2 2
1 1
ω
ω
Tomando el sentido de v 1 (t) para el cálculo de la suma se tiene:
V
V
V
V
V
V
T 1 2 T 1 2
(t)=68,6 2 sen( t+129,61 ) vT
ω °
(t)= 97 sen( t+ 130 )( V ) vT
ω °
- 30 =68,6 129,61 ( V )
V T
Tomando el sentido de v 2 (t) para el cálculo de la
suma se tiene:
V
V
V
V
V
V
T 2 1 T 2 1 ′ ′
(t)= 97 sen( t- 50 )( V ) vT
′
ω
45 =68,6 -50,38 ( V )
V T
El diagrama fasorial correspondiente a las soluciones es el mostrado en la figura.
EJERCICIO 6.- (Método de los tres voltímetros) Para determinar las constantes r y L de una impedancia (bobina real),
se conecta ésta en serie con una resistencia de 25 Ω (resistencia calibrada), y al conjunto se le aplica una fuente de
tensión de 1 20 V, 60 Hz. Se miden las tensiones en bornas de la resistencia y de la impedancia, obteniéndose los
valores:
V R = 70,8 V y V Z = 86 V.
¿ Cuáles son los valores de los parámetros, r y L, de la impedancia en cuestión ?. El esquema del montaje del método
de los tres voltímetros es el indicado en la siguiente figura.
RESOLUCIÓN:
a) En primer lugar se ha de fijar el origen de tiempos, ya que no está definido por que sólo se proporcionan los valores
Tomando el origen de referencia indicado, la corriente que circula por la impedancia estará retrasada un cierto ángulo,
desconocido, respecto de la tensión de referencia, ya que por tratarse de un circuito serie con una resistencia y una
inductancia tendrá un carácter netamente inductivo.
La tensión, supuesta existente entre los extremos de la parte resistiva de la impedancia V r , estará en fase con la
corriente. Por el contrario, la tensión supuesta existente entre los extremos de la parte inductiva de la impedancia V L
estará desfasada 90º en adelanto respecto de la corriente. Para estos dos últimos fasores se verificará que su suma
V r
- V L , será igual a la tensión entre los extremos de la impedancia V Z .
La tensión entre los extremos de la resistencia, R , estará en fase con la corriente del circuito.
Por último, la suma de las tensiones correspondientes a la resistencia y a la impedancia V R
tensión total V T .
Teniendo en cuenta que son conocidos los valores eficaces de las tensiones, se puede obtener, a partir del diagrama
fasorial, las fases de las tensiones y en particular el desfase entre la tensión entre los extremos de la impedancia V Z y
la corriente que circula por la misma,.
Así se tiene que:
2 x 86 x 120
2 2 2
cosα α
2 x 120 x70,
2 2 2
cosγ γ
β=α+ γ=80,59 °
y, por tanto:
= 86 0 V
V Z
=2,83A=> I=2,83 -80,59 A
R
V
I =
R
I
V
Z =
Z
Z = 5 +j 30 Ω=> R= 5 Ω ;L= 80 mH
c) Tomando como origen de referencia la tensión total suministrada al circuito V T se obtiene el diagrama fasorial
representado en la figura adjunta.
El razonamiento que se sigue para su construcción es similar al indicado en el apartado anterior. Se parte del fasor V T
que se sitúa en el origen de tiempos. La corriente estará desfasada un cierto ángulo desconocido respecto de dicha
tensión, pero por tratarse de un circuito inductivo ya que sólo está formado por dos resistencias y una inductancia, el
desfase será en retraso. Situado el fasor corriente, se representa el fasor V R
, tensión entre los extremos de la
resistencia, que estará en fase con dicha corriente. Por último, la tensión entre los extremos de la impedancia vendrá
dado por la composición vectorial: V T
= V R
.
Otra forma de situar el fasor V Z
, es representar sus fasores constitutivos, es decir, r
que estará en fase con la corriente
y V L
que estará adelantado 90º respecto de la corriente. La suma de ambos proporcionará V Z
.
El desfase tensión entre los extremos de la impedancia, V Z
, y la corriente se obtiene del diagrama fasorial haciendo:
2 x 86 x70,
2 2 2
cos β β
∠ 80,59°Ω=>Z= 5 +j 30 Ω
Z=
R = 5 Ω ; L= 80 mH
EJERCICIO 7.- (Método de los tres amperímetros) Hallar los valores de r y X L en el circuito de la figura sabiendo que:
el valor eficaz de la corriente total es de 29,9 A, el valor eficaz de la corriente que circula por la resistencia pura de 15
Ω es de 8 A, y el valor eficaz de la corriente por la rama paralelo r-L es de 22,3 A.
Por tanto, el fasor corriente por la impedancia Z
valdrá:
=22,3 -21,17 A
I
Z
La tensión entre los extremos de la resistencia y de la impedancia desconocida viene dada por:
= 15 x 8 0 = 120 0 V I
V =R
R
La admitancia del elemento pasivo desconocido (impedancia) viene dada por:
=0,19 -21,17 =0,17-j0,07 S
V
I
Y =
Z
∠ °
G=0,17S => R=5,8 Ω
X
=0,07S=>
B L L
Otra forma de obtener el valor de r y de X L
es mediante la proyección del vector Z según la dirección del fasor y sobre
su perpendicular. Así se tiene que:
=20,79 0 A
I
I
r
r
cosβ ∠ °
=8,05 - 90 A
I
=22,3sen =8,05=> I L
L
β ∠ °
Como ambos elementos supuestos están en paralelo, su tensión será la misma e igual a , y por tanto:
I
V
R =
r
I
V
X
L
L
EJERCICIO 8.- En el diagrama fasorial de la figura, se
verifica:
circulaporelelementoconectadoentreAy B. I 1
V
V
=60V ;
V
AB AB BC
V
esperpendiculara I 2 AC
= 2 A
I 1
Se pide: (a) Dibujar el circuito que corresponde a este diagrama fasorial, explicando los razonamientos seguidos para
su obtención; (b) Hallar los valores de sus resistencias y reactancias.
RESOLUCIÓN:
El circuito resultante tiene que verificar las dos ecuaciones siguientes, obtenidas del diagrama fasorial:
I
I
I
V
V
V
AC AB BC T 1 2
La primera ecuación indica la presencia de una configuración de la forma:
La segunda ecuación muestra la existencia de dos ramas paralelas.
Así pues, las posibles configuraciones serán:
Esta configuración no es correcta, ya que el desfase entre la tensión V AB para el elemento conectado y la corriente I 2
que circula por el mismo es mayor de 90º.
Esta configuración tampoco es válida ya que por el elemento conectado entre A y B no circula la corriente I 1
, tal como
indica el enunciado.
Por tanto, la configuración correcta será la del siguiente esquema.
Puesto que I 2 adelanta 90º respecto de V AC la impedancia conectada entre A y C será un condensador puro.
Al estar I 1 retrasada un ángulo respecto de V AC , la rama comprendida entre A y C tendrá un carácter inductivo, es
decir estará formada por una resistencia en serie con una bobina. Como la corriente I 1 está en fase con la tensión V AB ,
el elemento conectado entre A y B será una resistencia, y como dicha corriente está desfasada 90º en retraso
respecto de la tensión V BC el elemento conectado entre B y C será una bobina. Por tanto, el circuito correspondiente al
diagrama fasorial será el adjunto.
de autoinducción y capacidades de los elementos pasivos conectados.
3.- Diagrama fasorial del circuito si el generador suministra la corriente a una frecuencia dada por:
f = 1 / 2π √ LC.
RESOLUCIÓN:
Del diagrama fasorial se puede establecer que: I = I 1
- I 2 , es decir, hay una ramificación de la corriente y por tanto
existen dos ramas en paralelo.
Como se verifica que: V AC = V AB
- V BC , significa que existen dos elementos conectados en serie.
La corriente I 1 no puede circular por el elemento conectado entre A y B ya que el desfase entre la citada corriente y la
tensión V AB es mayor de 90º.
Como la corriente I 1 sólo puede circular por el elemento situado ente A y C, la configuración del circuito será el de la
forma indicada en la figura adjunta.
Teniendo en cuenta el diagrama fasorial, se deduce que:
=> Resistenci a
I
U
Z
1
AC
AC
=> Bobina
I
U
Z
2
AB
AB
=> Condensado r
I
U
Z
2
BC
BC
Por tanto, el esquema del circuito será el indicado.
El valor de sus componentes se obtienen de la forma siguiente:
= 63 L= 200 mH X
=j 63
Z
L
AB
R= 10
Z AC
= 73 C=43,6 F
X
=-j 73
7,3x
Z
C
BC
Ω μ
La impedancia equivalente al conjunto serie bobina-condensador tiene un valor dado por:
2 f C
)=j 2 f L- X
X
=j( Z AB L C
π
π
para la frecuencia indicada se verifica que:
C
LC
LC
L
=j Z
LC
f = ABC
π
0 => Cortocircu ito Z ABC
con lo que el diagrama fasorial se reduce al mostrado en la figura.
