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calculo multivariado unidad 4 semestre 8
Tipo: Ejercicios
1 / 33
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4 ) Haciendo uso de GeoGebra grafique la región de integración, luego cambie el orden de
integración y evalúe la integral. ¿Es útil hacer el cambio de orden?
a)
Cambiar de orden la integración:
𝟑
𝟎
𝟐
𝒙
𝟑
𝟎
𝟐
𝒙
𝟑
𝟎
𝒙
𝟐
𝟎
𝒙
𝟑
𝟐
𝒙
𝟑
𝟎
𝒙
𝟐 𝒙
𝟑
𝟐
𝒙
𝟑
𝟎
𝒙𝒆
𝒙
𝟐
𝟑
𝒙𝒆
𝒙
𝟐
𝟑
𝟑
𝟎
𝒙𝒆
𝒙
𝟐
𝟑
𝟑
𝟎
𝒆
𝟗
−𝟏
𝟔
𝒆
𝟗
−𝟏
𝟔
b)
Cambiar de orden la integración:
𝟏
𝟎
𝒙
𝒚
𝒚
𝟎
𝒙
𝒚
𝒚
𝟎
𝒖
𝒚
𝟎
𝒖
𝒚
𝟎
𝒖
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒆−𝟏
𝟐
c)
𝟏
√ 𝟏+𝒖
𝟐
𝟐
𝟏
√ 𝟏+𝒖
𝟐
𝟐
𝟐
Se cambia la integral:
𝝅
𝟐
𝟐
𝟏
𝟎
Se aplica integración por sustitución trigonométrica:
𝟐
𝝅
𝟒
𝟎
𝟏+𝐜𝐨 𝐬
( 𝟐𝒗
)
𝟐
𝝅
𝟒
𝟎
respectivo gráfico con ayuda de GeoGebra.
a) Encuentre el volumen del sólido que está debajo del plano 4x + 6y — 2 z + 15 = 0 y
arriba del rectángulo
Primero, se despeja z:
4x + 6y — 2 z + 15 = 0
2 z = 4x + 6y + 15
z = 2x + 3y +
15
2
Integral para calcular el volumen:
𝑅
15
2
1
− 1
2
− 1
15
2
1
− 1
2
− 1
3
2
2
15
2
− 1
1
2
− 1
3
2
− (− 2 x −
3
2
15
2
2
− 1
21
2
2
− 1
2
21
2
x]
− 1
2
21
2
25
2
58
2
25
2
33
2
b) Determine el volumen del sólido que está debajo del paraboloide hiperbólico 𝑧 =
2
2
Integral para calcular el volumen:
𝑅
2
2
2
− 1
1
− 1
2
2
2
− 1
1
− 1
3
1
3
2
− 1
1
1
− 1
8
3
1
3
1
− 1
19
3
1
− 1
19
3
− 1
1
1
− 1
19
3
19
3
19
3
19
3
38
3
La integral usada será
𝑅
2
18 −𝑟
2
𝑟
∞
0
2 𝜋
0
2
𝑟
18 −𝑟
∞ 2
0
2 𝜋
0
2
2
∞
0
2 𝜋
0
1
4
2
2
2
0
∞
2 𝜋
0
Esta integral podría divergir, ya que el término
1
4
2
2
2
crece sin límite cuando 𝑟 tiende a
infinito.
c) Dentro de la esfera x
2
2
2
= 16 y fuera del cilindro x + y = 4
con coordenadas polares sería:
x = r cosθ
y = r sinθ
La ecuación sería:
2
2
2
2
2
2
2
La integral usada será
𝑅
√ 16 −𝑟
2
√ 16 −𝑟
2
4
0
2 𝜋
0
2
2
4
0
2 𝜋
0
2
4
0
2 𝜋
0
1
3
2
3 / 2
0
4
2 𝜋
0
1
3
2 𝜋
0
2 𝜋
0
𝟎
𝟎
7 ) Evalúe la integral iterada
a)
𝒚−𝒛
𝟐
𝒚−𝒛
𝒚−𝒛
𝒚−𝒛
𝟎 𝟎
Simplificar
Se aplica regla de suma:
𝟐
( 𝒛
𝟐
𝒙
𝟐
−
𝒛𝒙
𝟒
𝟒
𝟖𝒙
𝟐
𝟎 𝟐 𝟑
𝟐
( 𝒛
𝟐
𝒙
𝟐
−
𝒛𝒙
𝟒
𝟎 𝟐
𝒖
− 𝒖𝒅𝒖 = 𝒆
𝒖
−
𝒖
𝟐
𝟐
Se simplifica
Se calculan limites:
𝟏− 𝒆
−𝟐𝒏𝒙𝒊
−𝟐𝒏
𝟐
𝒙
𝟐
𝒊
𝟐
−𝟐𝒏𝒙𝒊𝒆
−𝒏𝒙𝒊
𝒏
𝟐
𝒊
𝟐
