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Estad´ıstica. Grado en Ciencias Ambientales
Problemas: Variables aleatorias.
Problema 1 Sea la variable aleatoria cuya distribuci´on de probabilidad es la que aparece en la tabla adjunta: a) Completa la tabla. b) ¿Es una variable aleatoria continua o discreta? c) ¿Cu´al es la media?
Variable 0 1 2 Probabilidad 0.2? 0.
Problema 2 Se lanzan dos dados, uno rojo y uno azul. Halla la distribuci´on de probabilidad de las variables aleatorias: a) Suma de las puntuaciones. b) Puntuaci´on del rojo menos puntuaci´on del azul. c) M´aximo de las puntuaciones.
Problema 3 Utilizando la distribuci´on de probabilidad del apartado a) del ejercicio anterior, calcula: a) La probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea mayor que 9. b) La probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea mayor o igual que 9. c) La probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea menor o igual que 10. d) La probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea mayor que 3 y menor que 7.
Problema 4 Se lanza una moneda al aire cuatro veces y se considera la variable aleatoria n´umero de caras. a) Halla su distribuci´on de probabilidad. b) Halla su media e interpr´etala. c) Halla su varianza y desviaci´on t´ıpica.
Problema 5 La concentraci´on de cierta sustancia en un suelo nunca supera las 2 ppm ni debe ser mucho m´as peque˜na que dicha cantidad. Dicha variable aleatoria se supone por tanto con valores entre 0 y 2 y con funci´on de densidad f (x) = x/2. a) Calcula la probabilidad de que la concentraci´on sea mayor que 1.8. b) Calcula la probabilidad de que la concentraci´on est´e entre 0. y 1.5. c) Calcula la probabilidad de que la concentraci´on sea menor que 1.2. d) Halla la media. e) Halla la varianza y desviaci´on t´ıpica.
Problema 6 Una determinada caracter´ıstica gen´etica (flores de color azul) se presenta en el 30 % de las plantas de cierta especie. Tomando al azar 6 plantas a) ¿Cu´al es la probabilidad de que tres tengan flores azules? b) ¿y de que al menos cuatro de ellas tengan flores azules? c) ¿y de que cuatro de ellas no tengan flores azules?
Problema 7 Una cepa de enterobacterias, que puede producir trastornos digestivos leves, est´a presente en el 10 % de los quesos producidos artesanalmente en una zona. Analizando una muestra de 200 quesos, a) ¿Cu´al ser´ıa probabilidad de que hubiese catorce quesos infectados? b) ¿y la probabilidad de que hubiese m´as de cuatro quesos infectados? c) ¿y la de que haya m´as de cuatro pero menos de diez quesos infectados?
Problema 8 Si dos de cada cinco individuos de una especie animal es hembra, a) ¿Cu´al es la probabilidad de que de siete individuos cinco sean hembras? b) ¿Cu´al ser´a la probabilidad de que de siete individuos dos sean machos? c) ¿Cu´antos machos esperaremos por t´ermino medio? d) ¿Como se relacionan las variables que miden el n´umero de hembras y el n´umero de machos entre los siete elegidos? ¿Y las probabilidades relacionadas con ellas?
Problema 9 Un test de respuestas m´ultiples contiene veinte preguntas, cada una con cuatro respuestas posibles y s´olo una v´alida. Supongamos que un estudiante no ha estudiado nada y responde a todas las preguntas al azar. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que responda a 5 preguntas correctamente? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que responda a menos de 3 preguntas correctamente? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que responda a m´as de 2 preguntas correctamente? d) ¿Cu´al es el n´umero medio esperado de preguntas correctas que contendr´a el examen de este alumno?
Problema 10 Un investigador de insectos comienza una excursi´on con el prop´osito de aumentar su colecci´on entomol´ogica. En base a experiencias anteriores, se sabe que uno de cada 20 insec- tos que captura pertenecen al grupo que est´a estudiando. Si en una hora consigue capturar 25 ejemplares: a)¿Cu´al es el n´umero medio de insectos de inter´es que captura por hora? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos dos de los 25 sean interesantes para el estudio? c)¿Cu´al es la probabilidad de que no haya ninguno interesante en una hora? d)¿Y de que lo sean todos?
Problema 11 Supongamos que la probabilidad de que un paciente con tumor cerebral tenga un tumor maligno de 1/3, si consideramos tres pacientes con tumor cerebral escogidos al azar: a) Calcular las probabilidades de que ninguno, uno, dos ´o los tres pacientes tengan un tumor maligno. b) Calcular la media y moda de la distribuci´on de la variable n´umero de pacientes con tumor cerebral maligno que generan los tres pacientes indicados. c) La variable aleatoria n´umero de pacientes con tumor maligno entre tres pacientes con tumor cerebral ¿tiene asimetr´ıa positiva o negativa y por qu´e?
Problema 12 En cierta zona el 30 % de los insectos de una especie est´an infectados por un virus. Se toma una muestra aleatoria de 100 insectos, a) ¿Cu´al es el n´umero medio de insectos infectados que se espera en la muestra? b) ¿Cu´al ser´a la probabilidad de que haya menos de 20 infectados? c) ¿Cu´al ser´a la de que haya entre 25 y 35 insectos infectados? d) ¿Cu´al ser´a la de que haya menos de 30 infectados?
Problema 13 Un par´ametro ambiental con comportamiento c´ıclico medido aleatoriamente pre- senta una distribuci´on uniforme en el intervalo [20, 60] μ g/m^3 de aire. Legalmente la concentraci´on no deber´ıa superar los 44 μ g/m^3 a) Calcular la probabilidad de que una inspecci´on aleatoria de- tecte que se est´a superando el l´ımite legal. b) Calcular la concentraci´on promedio que se est´a presentando en la estaci´on de medida.
Problema 14 El tiempo medido en minutos que cierta persona invierte en ir de su casa a la estaci´on del tren es un fen´omeno aleatorio que obedece una distribuci´on uniforme continua en el intervalo 20 a 25 minutos. ¿Cu´al es la probabilidad de que alcance el tren que sale de la estaci´on a las 7.28 horas si deja su casa a las 7.05?
Problema 15 La longitud de las orejas de determinada raza canina est´a normalmente distribuida con media 6.4 cm. y desviaci´on t´ıpica 3.6 cm. ¿Qu´e proporci´on de la poblaci´on se esperar´ıa que tenga la longitud de las orejas: a) Mayor que 9 cm.? b) Mayor que 3.56 cm.? c) entre 5.8 y 7. cm.?
Problema 16 Los pesos de una poblaci´on de animales se distribuyen normalmente con media de 900 Kg y desviaci´on t´ıpica de 100 Kg. a) Determ´ınese el valor de peso que deja entre la media y ´el mismo el 44 % de la distribuci´on. b) Determ´ınese el valor de la variable que deja por encima de ´el, el 95 % de la distribuci´on. c) Determ´ınese el valor de la variable que deja por encima el 20 % de la poblaci´on.
Problema 24 Unos estudios muestran que los ejemplares de una cierta raza de liebres de alta monta˜na mueren antes de lo normal. Una de las causas de muerte identificadas son la baja cantidad de az´ucar en sangre. Se estima que el 40 % de los animales presenta este s´ıntomas. Se capturan en trampas 5 de estos animales. Suponiendo que la captura es un fen´omeno aleatorio y que las trampas son independientes entre s´ı.
a) ¿Cu´al es el n´umero medio de animales que esperamos que presenten baja cantidad de az´ucar en sangre, entre los cinco capturados?
b) ¿Cual es la probabilidad de que haya exactamente tres animales con baja cantidad de az´ucar en sangre?
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que haya m´as de tres animales con baja cantidad de az´ucar en sangre?
Problema 25 En una determinada poblaci´on de arenque Pomolobus aestivlis, la longitud de los peces sigue una distribuci´on normal. La media de la longitud de los peces de esa especie es 54. mm, y la varianza es 20.25mm.
a) Calcula la probabilidad de que un pez elegido al azar de esa poblaci´on mida m´as de 51mm de largo.
b) ¿Qu´e longitud es superada por el 30 % de la poblaci´on?
c) Elegimos al azar y de manera independiente 10 peces de esta poblaci´on, calcula la probabi- lidad de que ninguno de estos diez peces mida m´as de 51mm.
Problema 26 Se fumiga una plantaci´on de zanahorias con un producto t´oxico. Se sabe que la cantidad de producto que absorbe una zanahoria (medida en mg) sigue una distribuci´on normal de par´ametros μ = 4 y σ = 1,5. Se considera que una zanahoria est´a contaminada si ha absorbido m´as de 6 mg del producto t´oxico.
a) Calcula la probabilidad de que una zanahoria seleccionada al azar no haya sido contaminada en el proceso de fumigaci´on.
b) Determina qu´e cantidad de producto absorbido es superado por el 10 % de las zanahorias.
c) Si se seleccionan al azar 5 zanahorias, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos una de ellas no est´e contaminada?
