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Ejercicios Resueltos Combinatoria
1. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios
disponibles?
- Importa el orden: Sí, una misma persona no puede ocupar dos lugares a la vez.
- Se incluyen todos los elementos: No, solo existen 4 sitios disponibles.
- Se repiten los elementos: No, las 10 personas son distintas.
Es una variación sin repetición de elementos: 𝑉𝑚,𝑛 =
𝑚! (𝑚−𝑛)!
2. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos
modos puede hacerse si:
1. los premios son diferentes.
2. los premios son iguales.
Hay dos supuestos posibles:
A) Si un mismo alumno No puede recibir más de un premio:
Caso1: Los premios son diferentes
- El orden Importa: Sí, al ser premios diferentes, con distinto valor, entonces será importante el orden.
No es lo mismo ganar el premio al primer lugar que el premio al segundo o tercer lugar.
- Se incluyen a todos los elementos: No, solo habrá premio para tres alumnos.
- Se repiten los elementos: No, todos los alumnos son distintas personas.
Es una variación sin repetición: 𝑉𝑚,𝑛 =
𝑚! (𝑚−𝑛)!
Caso 2: Los premios son iguales.
- Los premios son iguales, por lo tanto, no importa el orden.
- Se repiten los elementos: No.
Es una combinación sin repetición: 𝐶𝑚,𝑛 =
𝑚! (𝑚−𝑛)!𝑛!
B) Un mismo alumno Si puede recibir más de un premio, los alumnos se pueden repetir.
Caso 1: Los premios son diferentes, es decir no es lo mismo ganar el primer premio que el segundo o
tercero.
- El orden importa: Sí
- Se repiten los elementos: Sí, un mismo alumno puede ganar más de un premio.
Es una variación con repetición: 𝑉𝑅𝑚,𝑛=𝑚𝑛
Caso 2: Los premios son iguales.
- El orden importa: No, todos los premios son iguales.
- Se repiten los elementos: Sí, un mismo alumno puede ganar más de un premio.
Es una combinación con repetición: 𝐶𝑚+(𝑛− 1 ),𝑛 = 𝐶𝑚,𝑛 =
𝑚! (𝑚−𝑛)!𝑛!
- Permiten repeticiones, e importa el orden (son números no es lo mismo el número 1224 que el 2214) VR9,4 = 94 = 6561 números posibles.
- No se permiten repeticiones, e importa el orden igual que en el apartado. Por tanto, se pueden formar: V =
9,4 =^9 ^8 ^7 ^6 =^3024 números. ( 9 − 4 )! 5!
- Fijamos el último dígito (El número 1 está en la última posición) y, como no puede haber repeticiones (nos quedan ocho números para tres posiciones), se obtiene un total de V8,3 = ( 8 − 3 )!
= 8 7 6 = 336 números.
3. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 1,2,... ,
1. Permitiendo repeticiones;
2. Sin repeticiones;
3. Si el último dígito ha de ser 1 y no se permiten repeticiones.
Considerando que el año tiene 365 días y que puede darse el caso de que varias personas cumplan en la misma fecha (se permiten repeticiones además importa el orden son fechas), el número de maneras distintas es: VR365,10 = 36510 Dado que de los cinco elementos tan sólo hay dos diferentes (rayas y puntos) que se repiten 3 y 2 veces, respectivamente, tenemos permutaciones con repetición (se repiten los elementos), obteniendo así un total de PR 3,2^ =
5 3! 2! 2 = = 10 letras. Suponiendo que las monedas son iguales:
- Dado que un mismo resultado individual (cara o cruz) puede obtenerse en varias monedas a la vez (repetición), y que las monedas no pueden distinguirse entre si (no importa el orden en la mesa se lee el resultado), existen CR2,4 = C 2 + 4 −1,4 = C5, (^5 −^4 )!^4!
= 5 resultados posibles. Estos casos son: (^) E = CCCC, CCXX, CCCX, CXXX, XXXX
- Como las monedas se arrojan simultáneamente, sólo habrá un caso posible con 2 caras y 2 cruces. Suponiendo que las monedas son distintas:
4. En un grupo de 10 amigos, ¿cuántas distribuciones de sus fechas de cumpleaños
pueden darse al año?
5. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto Morse?
6. Cuando se arrojan simultáneamente 4 monedas,
1. ¿cuales son los resultados posibles que se pueden obtener?
2. ¿cuántos casos hay en que salgan 2 caras y 2 cruces?
Supongamos que los libros de cada materia son idénticos.
- Consideremos cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Nótese que entonces se tendría un total de 3 unidades, (tres clases de libros pero dentro de cada uno de ellos todos iguales) que pueden ordenarse de P 3 = 3! = 6 formas distintas.
- En este caso tendremos una unidad de matemáticas (todos tiene que estar juntos), además de 6 de física y 2 de química (idénticos en cada caso), Se tiene entonces un total de PR 1,6,2^ =
9 1! 6! 2! 1440 = = 252 ordenaciones posibles El orden en que elija las preguntas, que además no podrían repetirse, es irrelevante. Así, puede elegir las preguntas de C =
10,7 =^120 maneras. (^10 −^7 )!^7!^3 ^2 ^1 Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entre los 6 restantes para completar las 7 necesarias, resultando un total de C6,3 =
(^6 −^3 )!^ 3!^3 ^2 ^1 maneras.
8. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas
maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
9. Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes
habrá queimprimir si cada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino?
- Consideremos los cuatro libros de matemáticas como una unidad. Se tendría entonces una unidad correspondiente a matemáticas, 6 unidades diferentes de física y dos unidades diferentes de química. Por lo tanto, existen: P 9 = 9! = 362880 maneras de ordenar estas 9 unidades, y por cada una de ellas hay P 4 = 4! = 24 Ordenaciones posibles de los 4 libros de matemáticas, por lo que en total hay: Total = 362880 24 = 8.709.120 formas de colocar los libros.
Hay varias posibilidades:
- Si llegan los tres juntos, entonces sólo hay 1 posibilidad.
- Si llegan dos juntos, existen C3,2= ( 3 − 2 )! 2!
= 3 grupos de dos que llegan juntos, y P 2 = 2! = 2 ordenaciones distintas del grupo de dos y el otro atleta, por lo que existen Total = 3 2 = 6 posibilidades.
- Si llegan los tres por separado, existen P 3 = 3! = 6 posibilidades. Por lo tanto, pueden llegar a la meta de 13 maneras distintas.
- Dado que es necesario tener en cuenta el orden de las dos letras escogidas y que además éstas pueden repetirse, resulta que hay VR25,2 = 252 = 625 posibilidades para las letras. Se procede análogamente con el caso de los dígitos y se obtiene un total de VR10,3 = 103 = 1000 posibilidades para los dígitos. El total de historias clínicas que pueden hacerse es, por lo tanto, Total = 625 1000 = 625..
- Se procede de forma similar al caso anterior, con la única diferencia de que ahora las letras no pueden repetirse. Así, hay V25,2 = (^25 −^2 )!^
= 25 24 = 600 posibilidades para las
letras, y VR10,3 = 103 = 1000 posibilidades para los dígitos, resultando que hay Total = 600 1000 = 600.000 historias clínicas.
10. Tres atletas toman parte en una competición. ¿De cuántas maneras podrán
llegar a lameta? (Pueden llegar juntos)
11. En un hospital se utilizan cinco símbolos para clasificar las historias clínicas de sus
pacientes, de manera que los dos primeros son letras y los tres últimos son dígitos.
Suponiendo que hay 25 letras, ¿cuántas historias clínicas podrían hacerse si:
1. No hay restricciones sobre letras y números;
2. Las dos letras no pueden ser iguales.
Dado que las estaciones de origen y destino no pueden coincidir (no hay repetición), y además, dadas dos estaciones, es importante saber si corresponden al principio o al final del trayecto (importa el orden), hay un total de billetesdiferentes.
