Antiderivadas: Función y Propiedades, Ejercicios de Cálculo

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ANTIDERIVADA

Gómez Coronado Rafael

Ortiz Chimenty Yileniz

Visbal Cristian

Lic. Medardo Antonio Pacheco

Corp.Universitaria Minuto De Dios

Administarcion De Empresas

Barranquilla

ANTIDERIVADAS

Una función F es una antiderivada de la función f si

F ′ ( x ) = f ( x )

Para todo x en el dominio de f.

Considere la función f ( x ) = 2 x. Conociendo la regla de la potencia de diferenciación, concluimos

que

F ( x ) = x

2

Es una antiderivada de f ya que F ′( x ) = 2 x. ¿Hay otras antiderivadas de f?

Si Como la derivada de cualquier constante C es cero,

F ( x ) = x

2

+ C

También es una antiderivada de f ( x ) = 2 x. Por lo tanto, F ( x ) = x

2

• 5 y F ( x ) = x

2

− √2 también

son antiderivadas de f ( x ) = 2 x.

¿Hay otras antiderivadas de f ( x ) = 2 x que no sean de la forma x

2

• C para alguna constante C?

La respuesta es no. Por el Corolario 2 del Teorema del valor medio, sabemos que si F y G son

funciones diferenciables tales que F ′ ( x ) = G ′ ( x ), entonces F (x) − G ( x ) = C para alguna

constante C. Este hecho lleva al siguiente teorema importante.

Forma general de una Antiderivada

Sea F una antiderivada de f en un intervalo I entonces para cada constante C la función F(x)+C

también es una antiderivada de f sobre I; si G es una antiderivada de f sobre I hay una constante

C para la cual G(x)=F(x)+C sobre I.

En otras palabras la forma más general de la antiderivada sobre f sobre I es F(X)+C

Integrales Definidas

Ahora damos la notación formal utilizada para representar las antiderivadas y examinamos

algunas de sus propiedades. Estas propiedades nos permiten encontrar antiderivadas de funciones

más complicadas. Dada una función f , usamos la notación f ′( x ) o df/dx para denotar la derivada

de f. Ahora presentamos la notación para antiderivad a s. Si F es una antiderivada de f , decimos

que F ( x ) + C es la antiderivada más general de f y escribimos

El símbolo ∫ se llama signo integral, y ∫ f ( x ) dx se llama integral indefinida de f.

Para algunas funciones, la evaluación de integrales indefinidas se sigue directamente de las

propiedades de los derivados. Por ejemplo, para n ≠ −1,

que viene directamente de

Este hecho se conoce como la regla de la potencia para integrales.

Para n ≠ −

De la definición de integral indefinida de f , sabemos que

si y sólo si F es una antiderivada de f. Por lo tanto, al afirmar que

Es importante verificar si esta afirmación es correcta mostrando que F ′ ( x ) = f ( x ).

Tabla de integrales para algunas funciones comunes

La evaluación de integrales indefinidas para algunas otras funciones también es un cálculo

sencillo. La siguiente tabla enumera las integrales indefinidas para varias funciones comunes

Propiedades algebraicas de las integrales indefinidas

En la Tabla 4.13, enumeramos las integrales indefinidas para muchas funciones elementales.

Ahora volvamos nuestra atención a evaluar integrales indefinidas para funciones más

complicadas. Por ejemplo, considere encontrar una antiderivada de una suma f + g. En general,

si F y G son antiderivadas de cualquier función f y g , respectivamente, entonces

Caso de Antiderivadas en la Administración

• la Función de costos C(X): Se define como la producción de una mercancía genera costos que

dependen de las unidades producidas en una compañía en este caso (x).

La derivada de costos se llama costo marginal C(x) e indica cuanto varían los costos ante la

variación en una unidad adicional producida. En una función de costos la constante de

integración son los costos fijos

Ejemplo:

En una compañía que se encarga de producir (x) mesas (artículos) se deberá calcular el costo

marginal después de producir x artículos está dado por C (x)=5+0.06x.

Si al producir 20 artículos los costos ascienden a 85 dólares se deberá encontrar:

a) la función de costos

b) determinar los costos cuando se producen 30 artículos (mesas)

Solución:

Se utiliza la siguiente ecuación de antiderivada

c ( x ) dx = C ( x )

5 + 0.06 xdx = 5 x +

x

2

¿

¿

+C

C(x)=5x+0. x

2

+c

Para conocer el valor de C utilizamos los valores dados cuando x =30 los costos =85 dólares y se

interpreta de la siguiente manera:

Si C(20)= → 85 = 5

2

+c

Entonces despejaremos C

85=100+12+C

85-100-12+C

3=C

Entonces la función de costos es C(x)=5+0. x

2

Cuando x=30 cuanto es C (30)

C (30)=5(30)+0.

2

C (30)=180 dólares es el costo cuando se producen 30 artículos

CONCLUSIÓN

Se puede concluir que la antiderivadas se pueden aplicar en la administración para definir costos

como lo realizamos en el ejemplo anterior y que será de vital importancia al trabajar en una

compañía de producción o de ventas para poder mantener la rentabilidad de la compañía y los

ingresos o sobrecostos que puedan incurrir a la hora de empezar a realizar una nueva producción.