Ejercicios de Estadistica I, Ejercicios de Estadística

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COLECCIÓN DE EJERCICIOS

ESTADISTICA I

GRADO ECONOMIA

CURSO 2015-

Teoría de la probabilidad

PROBLEMA 1

Comprobar que, cualquiera que sea el suceso A, se verifica:

P (^) ( A ) =1-P(A)

Donde (^) A representa el suceso complementario del suceso A.

EJERCICIO 2

Comprobar que la probabilidad del suceso ø, suceso imposible, es igual a cero.

EJERCICIO 3

Sean P(A), P(B) y P(A (^) ∩ B), las probabilidades de los sucesos A, B y A (^) ∩ B, respectivamente. Determinar, en función de ellas:

1. P(A (^) ∩ B )

2. P ( A ∩ B )

EJERCICIO 4

Sean P(A), P(B) y P(A ∩ B), las probabilidades de los sucesos A, B y A ∩ B, respectivamente. Determinar, en función de ellas, la probabilidad del suceso A ∪ B.

EJERCICIO 5

Basándose en el resultado obtenido en el problema 4, determinar:

P ( A ∪ B ∪ C )

EJERCICIO 10

En un casino se ofrecen a los clientes varios juegos de dados. El cliente gana si:

1. Al lanzar dos dados obtiene suma cuatro.
2. Sí en tres tiradas consecutivas de un dado obtiene el primer impar en la tercera tirada.
3. Al lanzar dos dados aparecen resultados iguales.

¿En cuál de los tres juegos tiene el cliente mayor ventaja?

EJERCICIO 11

Una compañía está pensando en cambiar de planta. Preguntan a los trabajadores que están clasificados en tres categorías: azul, rojo y blanco, su opinión al respecto y se obtiene la siguiente tabla:

Azul (A) Rojo (R) Blanco (B) TOTAL

A favor (F) 0.12 0.

En contra (C) 0.28 0.

TOTAL 0.

a) Complete la tabla. b) Calcule P(FUR) y P(F/B). c) ¿Son F y B independientes?

EJERCICIO 12

En la Universidad X de determinada población, se pueden estudiar dos carreras, Económicas y Derecho. Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias de los estudiantes de COU de la ciudad, que ha dado los siguientes resultados: al 30% les gustaría estudiar únicamente Económicas, al 10% únicamente Derecho y al 20% ninguna de las dos. Elegido al azar un estudiante de esta ciudad, determinar razonadamente:

1. La probabilidad de que le guste estudiar ambas carreras.
2. La probabilidad de que, sabiendo que siente preferencia por Derecho, también le guste Económicas.

EJERCICIO 13

Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja:

1. Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción (extracciones con reemplazamiento).
2. Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta NO es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción (extracciones sin reemplazamiento).

EJERCICIO 14

Una empresa dedicada a la fabricación de automóviles, desea lanzar al mercado un nuevo modelo en el año 2015. Al estudiar la posible situación económica que existirá en dicho año, contempla tres alternativas: existencia de inflación, estabilidad o depresión, estimando:

a. Dichas alternativas igualmente probables. b. La probabilidad de que se lance el nuevo modelo al mercado es:

• 0,7 si existe inflación.
• 0,4 si existe estabilidad.
• 0,1 si la situación es de depresión.

1. Determinar la probabilidad de que el nuevo producto esté en el mercado en el año 2015.
2. Determinar la probabilidad de que exista una situación económica de depresión si se decide lanzar el modelo de automóvil al mercado.

Variable Aleatoria Unidimensional.

PROBLEMA 16

La demanda de un cierto artículo viene dada por la ley de probabilidad:

ξ =xi: 0 1 2 3 4 5 6 P ( ξ = xi ) : 0,1^ 0,15^ 0,2^ 0,25^ 0,15^ 0,1^ 0,

Se desea conocer:

1. ¿Es realmente una distribución de probabilidad?
2. ¿Cuál es la Función de Distribución?
3. ¿Cuál es la probabilidad que la demanda sea inferior a 2?

4. ¿Para qué valor de X se tendrá P ( ξ > x ) = 0,55?

PROBLEMA 17

Dada la variante ξ cuya función de distribución viene definida por:

F(x)=0 para x<

F(x)=3/12 para 0 ≤ x < 1

F(x)=8/12 para 1 ≤ x < 2

F(x)=9/12 para 2 ≤ x < 3

F(x)=1 para 3 ≤ x

Determinar:

1. La representación gráfica de dicha Función de Distribución.
2. La distribución de probabilidad de dicha Función de Distribución.
3. Las probabilidades P ( ξ = 1 , 7 ), P (ξ= 2 ), P ( 1. 2 <ξ< 3 )

PROBLEMA 18

Dada la variante ξ , cuya distribución viene definida por la función:

( )^3

x x

P x −

ξ = = para x = 0, 1, 2, 3,

P ( ξ = x )= 0 para cualquier otro valor de x

Determinar

1. La Función de Distribución de la variante ξ
2. Las probabilidades P ( ξ = 3 ), P ( 1 ≤ξ≤ 2 , 5 ), P (ξ≤ 2. 5 )

PROBLEMA 19

La variable ξ tiene la siguiente función de densidad

0 si 7 (^7) si - 7 0 49 (^7) si 0 7 49 0 si 7

x x (^) x f x x (^) x

x

^ < −

Se pide:

1. Comprobar que f ( x dx ) 1

+∞

−∞ ∫ =

2. Hallar la Función de Distribución
3. Representar gráficamente ambas funciones.
4. Calcular P ( 3− ≤ ξ≤3)

PROBLEMA 22

Consideremos el fenómeno aleatorio consistente en lanzar tres monedas. a. Definir la variable aleatoria “diferencia entre nº de caras y nº de cruces”. b. Obtener su Función de Distribución y representarla gráficamente

c. Calcular utilizando la Función de Distribución P [ − 1 ≤ ξ≤2,5]

PROBLEMA 23

Sea ξ una variable aleatoria continua con función de densidad

1 0 x< 1 1 x 2 0 restantes valores

x f x x

^ −^ ≤

a) Hallar la Función de Distribución. b) Hallar la probabilidad de que ξ este comprendida entre 0.5 y 1.5. c) Sabiendo que ξ es mayor que 1, hallar la probabilidad de que sea menor que 1.5.

PROBLEMA 24

El beneficio aleatorio, que una empresa dedicada a la prestación de un servicio público puede obtener a lo largo de un año, sigue la ley de probabilidad definida por la función de distribución:

( 50 )^2

F ( x )= 1 e − x para x ≤ 0

( 50 )^2

F ( x )= 1 −^1 e − x para x > 0

Donde x viene expresado en millones de pesetas. Determinar la probabilidad de que el beneficio obtenido:

1. Sea superior a 50 millones de ptas.
2. Sea inferior a -50 millones de ptas.
3. Sea 100 millones de ptas. o más, sin superar los 200 millones.

PROBLEMA 25

Expresar en función de los momentos respecto al origen:

( )

( )

( )

2 2

2

2

a E a b E a b c

c E a d V e V a b f V

PROBLEMA 26

Sea una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es

Calcular la Esperanza Matemática y la Varianza de la variable aleatoria 2 3

η =^ ξ−

PROBLEMA 27

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X está representada por la función de densidad

f ( x ) = kx si 0 ≤ x ≤ 1

a. Determinar el valor de k

b. Obtener P ( 0,5 < ξ< 1,5), P ( ξ =0, 7)

c. Calcular la Esperanza matemática y la Varianza de la variable aleatoria η=3ξ-

x P(ξ=x) -3 0, -2 0, 1 0, 2 0, 3 0,

PROBLEMA 30

Dada una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad esta definida por la siguiente función de densidad

0 x< 25 10-x (^5) x 10 25 0 resto

x

f (^) ξ x

Obtener razonadamente:

1. La Función de Distribución

2. P ( 3 ≤ ξ≤ 8 ,) P ( ξ≥ 1,5 ,) P ( ξ= 2 )

3. Determinar su Esperanza Matemática y su Varianza
4. Obtener su variable tipificada y deducir su Esperanza Matemática y su Varianza

PROBLEMA 31

La variable aleatoria ξ tiene la siguiente distribución de probabilidad

: 0 1 2 x : 0.3 0.5 0.

x P

1. Obtener la Función de DEistribución.
2. Obtener la Función Característica
3. Calcular la Esperanza Matemática y la Varianza a partir de la función característica.

PROBLEMA 32

Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de

distribución:

F ( x )= 0 para^ x <^0

F ( x )= x para 0 ≤ x ≤ 1

F ( x )= 1 para 1 < x

Determinar la Función Característica.

PROBLEMA 33

Sea la variable aleatoria ξ tal que su función característica es ϕ ξ ( ) t = e^3 it^ −^2 t^2. Si

definimos otra variable aleatoria como η= 3+2ξ. Calcular su Función Característica y a partir de ella la Esperanza Matemática.

PROBLEMA 34

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria obedece a la función de distribución:

F ( x ) = 1 − e −^2 x si x > 0

1. Obtener la Función de Densidad
2. Calcular las probabilidades siguientes:

P

P

3. Obtener E(ξ), V(ξ) a partir de la Función Característica

PROBLEMA 35

Cuatro variables aleatorias, independientes, tienen las siguientes funciones características:

PROBLEMA 38

Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de

densidad:

2 0 x 1 0 resto

f x = ^ x ≤^ ≤ 

Determinar la Función de Densidad de la variable η = 3 ξ − 1

PROBLEMA 39

La variable aleatoria ξ tiene una función de densidad

2 x 6 16 0 resto

x f x

a) Determinar la Función de Distribución

b) Calcular valor de K tal que P ( ξ > k ) =0.

c) Obtener la Función de Densidad de la variable η = 4 ξ

Distribuciones Bidimensionales

PROBLEMA 40

La distribución de probabilidad conjunta de las variables X e Y (resultados en miles de € de dos inversiones) es la que indica la siguiente tabla.

ξ 1 0 1 2 -1 0.10 0.12 0. ξ 2 0 0.05 0.10 0. 2 0.02 0.16 0.

1. Determinar la distribución marginal de las variables ξ 1 e ξ 2
2. Calcular la probabilidad de que los resultados de la inversión ξ 1 sean menores a 1500€ si los resultados de la inversión ξ 2 son mayores de 500€.
3. Comprobar si son estocásticamente independientes o no.
4. Calcular el Coeficiente de Correlación Lineal

PROBLEMA 41

La función de cuantía conjunta de dos variables aleatorias ( ξ 1 ;ξ 2 ) esta dada por la

expresión:

[ 1 2 ]

x P x y Kxy y

ξ ξ

Determinar:

1. La constante K
2. P [ 1 ≤ ξ 1 ≤ 2; ξ 2 ≤ (^2) ]

3. La Función de Cuantía marginal de ξ 2

4. Si ξ 1 ;ξ 2 son independientes

PROBLEMA 44

Dada la variante ( ξ 1 , ξ 2 ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por

la función de densidad conjunta:

f ( x , y )= x + y para 0 < x < 10 < y < 1

f ( x , y )= 0 para cualquier otro valor de^ ( x , y )

Determinar:

1. La probabilidad del suceso P ( ξ 1 ≤ 0,5; ξ 2 ≤ 0, 2).

2. P ( ξ 1 + ξ 2 ≤1)

3. Si las variantes ξ 1 y ξ 2 son o no estocásticamente independientes.

4. El Coeficiente de Correlación.

5. Calcular E ( yx )

PROBLEMA 45

La distribución de probabilidad conjunta de los rendimientos de dos inversiones ξ 1 e

ξ 2 (miles de €) es la siguiente

ξ 1 0 1 2 -1 0.10 0.10 0.

ξ 2 0 0.05^ 0.10^ 0.

a. Son las Variables ξ 1 e ξ 2 estocásticamente independientes?

b. Calcula la covarianza entre ξ 1 e ξ 2

c. Calcula la media y la varianza de η =2 ξ 1 + ξ 2 + 1.

Modelos de Probabilidad

PROBLEMA 46

Se lanzan tres monedas y observamos el número de caras que resultan. Determinar

1. Numero de concreciones del experimento
2. La función de cuantía de la variable “numero de caras”.
3. La función de distribución de la variable “numero de caras”.
4. Calcular la probabilidad de los sucesos a. S 1 : Que salgan menos de dos caras b. S 2 : Que salgan una o dos caras

PROBLEMA 47

Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan:

1. Los cinco individuos.
2. Al menos tres.
3. Sólo dos.
4. Al menos uno.

PROBLEMA 48

Sean η 1 y η 2 dos variantes tales que:

• η 1 se distribuye según la ley B ( n 1 ; p )
• η 2 se distribuye según la ley B ( n 2 ; p )

Comprobar que la variante η , definida de la forma η = η 1 + η 2 se distribuye según la

ley B ( n 1 + n 2 ; p ), suponiendo que η 1 y η 2 son estocásticamente independientes.