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Universidad Nacional Experimental del Táchira Departamento de Matemática y Física Matemática I (0826101) - 2016-I Última revisión: Junio 2016
Unidad II
Ejercicios de Funciones
Actividad 1.
En los ejercicios del 1 al 10 trace la grá ca que determina el conjunto indicado. Aplique el criterio de
la recta vertical para determinar si dicho conjunto representa una función, en caso de serlo indique su
dominio y rango:
- {(x, y) : x^2 + y^2 = 4}. R: El conjunto {(x, y) : x^2 + y^2 = 4} no representa una función porque no cumple el criterio de la recta vertical.
- {(x, y) : 4x − y^2 = 0}. R: El conjunto {(x, y) : 4x − y^2 = 0} no representa una función porque no cumple el criterio de la recta vertical.
- {(x, y) : 6y = x^2 }. R: El conjunto {(x, y) : 6y = x^2 } representa una función porque cumple el criterio de la recta vertical. Dom f = R y Rgo f = [0, ∞].
- {(x, y) : 2x + 3y = 6}. R: El conjunto {(x, y) : 2x + 3y = 6} representa una función porque cumple el criterio de la recta vertical. Dom f = R y Rgo f = R.
- {(x, y) : 9x^2 − 4 y^2 = 36}. R: El conjunto {(x, y) : 9x^2 − 4 y^2 = 36} no representa una función porque no cumple el criterio de la recta vertical.
- {(x, y) : y =
1 − x^2 }. R: El conjunto {(x, y) : y =
1 − x^2 } representa una función porque cumple el criterio de la recta vertical. Dom f = [− 1 , 1] y Rgo f = [0, 1].
- {(x, y) : x =
4 − y^2 }. R: El conjunto {(x, y) : x =
4 − y^2 } no representa una función porque no cumple el criterio de la recta vertical.
- {(x, y) : y = 4}. R: El conjunto {(x, y) : y = 4} representa una función porque cumple el criterio de la recta vertical. Dom f = R y Rgo f = { 4 }.
- {(x, y) : x^2 + 4y^2 = 20}. R: El conjunto {(x, y) : x^2 + 4y^2 = 20} no representa una función porque no cumple el criterio de la recta vertical.
- {(x, y) : y =
20 − 4 x^2 }. R: El conjunto {(x, y) : y =
20 − 4 x^2 } representa una función porque cumple el criterio de la recta vertical. Dom f = [−
5] y Rgo f = [0,
20].
- Dado f (x) = 2x − 1 hallar (a) f (0), (b) f (3), (c) f (−2), (d) f (a + 1), (e) f (x + 1), (f) f (2x), (g)
2 f (x), (h) f (x + h), (i) f (x) + f (h), (j) f (x + h) − f (x) h
con h 6 = 0. R: (a) − 1 ; (b) 5 ; (c) − 5 ; (d) 2 a + 1; (e) 2 x + 1; (f) 4 x − 1 ; (g) 4 x − 2 ; (h) 2 x + 2h − 1 ; (i) 2 x + 2h − 2 ; (j) 2.
- Dado f (x) =
x hallar (a) f (1), (b) f (−3), (c) f (−2), (d) f (a + 1), (e) f (x + 1), (f) f (2x), (g)
2 f (x), (h) f (x + h), (i) f (x) + f (h), (j) f (x + h) − f (x) h con h 6 = 0.
R: (a) 3 ; (b) − 1 ; (c) −
; (d)
a + 1 ; (e)
x + 1 ; (f)
2 x ; (g)
x ; (h)
x + h ; (i) 3 h + 3x xh ; (j) − 3 x(x + h)
- Dado g(x) = 2x^2 +5x− 3 hallar (a) g(−2), (b) g(−1), (c) g(0), (d) g(h+1), (e) g(2x^2 ), (f) g(x^2 −3),
(g) g(x + h), (h) g(x + h) − g(x) h con h 6 = 0.
R:
Dom f = (−∞, b) ∪ (b, ∞) ó R − {b}, Rgo f = (−∞, d) ∪ (d, ∞) ó R − {d}, Intersección con los ejes: x = a, y = c.
R:
Dom f = (−∞, a) ∪ [b, ∞), Rgo f = (d, ∞) ∪ {e}, Intersección con los ejes: x = c, No hay intersección con el eje y.
R:
Dom f = (−∞, a) ∪ [b, ∞), Rgo f = (−∞, k], Intersección con los ejes: x = c, y = d.
Actividad 1.
Dadas las funciones del 21 al 61, trace su grá ca, determine intersecciones con los ejes coordenados,
asíntotas (de ser el caso) dominio y rango (
q x
y representa el símbolo de parte entera, c.x indica corte en
x, c.y indica corte en y).
- f (x) =
R: Dom f = R, Rgo f =
, c.x no hay, c.y =
- g(x) = −
R: Dom f = R, Rgo f = {−
2 }, c.x no hay, c.y = −
- h(x) = x.
R: Dom f = Rgo f = R, c.x = 0, c.y = 0.
- f (x) = − 2 x.
R: Dom f = Rgo f = R, c.x = 0, c.y = 0.
- f (x) =
x − 7.
R: Dom f = R, Rgo f = R, c.x =
≈ 2 , 692 , c.y = − 7.
- f (x) = 8x +
R: Dom f = R, Rgo f = R, c.x = −
≈ 0 , 2813 , c.y =
- f (x) = x^2.
R: Dom f = R, Rgo f = [0, ∞), c.x = 0, c.y = 0.
- f (x) = − 3 x^2.
R: Dom f = R, Rgo f = (−∞, 0], c.x = 0, c.y = 0.
- f (x) = 3x^2 − 18 x + 15.
R: Dom f = R, Rgo f = [− 12 , ∞), c.x = 1, c.x = 5, c.y = 15.
- f (x) = − 4 x^2 + 5x − 2.
R: Dom f = R, Rgo f =
]
, c.x no hay, c.y = − 2.
- f (x) =
x +
x −
R: Dom f = R, Rgo f =
[
, c.x = −
≈ − 1 , 5 , c.x =
≈ 4 , 75 , c.y = −
- f (x) = 5x^2 + x.
R: Dom f = R, Rgo f =
[
, c.x = 0, c.x = −
≈ 0 , 20 , c.y = 0.
- f (x) = −
x^3. R: Dom f = R, Rgo f = R, c.x = 0, c.y = 0.
- f (x) = x^4 + 3.
R: Dom f = R, Rgo f = [3, ∞), c.x no hay, c.y = 3.
- f (x) = 3 4
2 − x −
R: Dom f = (−∞, 2], Rgo f =
[
, c.x = 2 −
≈ 1 , 905 , c.y = 3 4
- f (x) = − 16 6
5 + 2x 64
R: Dom f =
[
, Rgo f = (−∞, 8], c.x = − 2 , c.y = −8( 6
- f (x) = −|x + 5|.
R: Dom f = R, Rgo f = (−∞, 0], c.x = − 5 , c.y = − 5.
- f (x) = | 2 x − 3 |.
R: Dom f = R, Rgo f = [0, ∞], c.x =
, c.y = 3.
- f (x) = | 5 − 4 x| + 3.
R: Dom f = R, Rgo f = [3, ∞), c.x no hay, c.y = 8.
- f (x) = | − 6 − 3 x| −
R: Dom f = R, Rgo f =
[
, c.x = −
≈ − 0 , 8333 , c.x = −
≈ − 3 , 167 , c.y =
- f (x) =
q x − 4
y . R: Dom f = R, Rgo f = Z, c.x = [4, 5), c.y = − 4.
- f (x) =
q x
y
R: Dom f = R, Rgo f = Z, c.x = [− 4 , −3), c.y = 4.
- f (x) =
q 2 x
y . R: Dom f = R, Rgo f = Z, c.x =
[
, c.y = 0.
- f (x) = 5x^ −
R: Dom f = R, Rgo f =
, c.x = log 5
≈ 0 , 252 , c.y = −
, asíntota horizontal por
la izquierda la recta y = −
- f (x) = log 5 x +
R: Dom f = (0, ∞), Rgo f = R, c.x = 5−^5 /^2 ≈ 0 , 017 , c.y no hay, asíntota vertical la recta x = 0.
- f (x) =
2 x − 1. R: Dom f = R, Rgo f = (− 1 , ∞), c.x = 0, c.y = 0, asíntota horizontal por la derecha la recta y = − 1.
- f (x) = log 12 (x − 4) +
R: Dom f = (4, ∞), Rgo f = R, c.x = 4 +
2 ≈ 5 , 41 , c.y no hay, asíntota vertical la recta x = 4.
- f (x) = e^3 −^ x^ −
R: Dom f = R, Rgo f =
, c.x = 3 − ln
≈ 1 , 701 , c.y = e^3 −
≈ 16 , 4 , asíntota
horizontal por la derecha la recta y = −
- f (x) = ln(5 − 3 x) − 2. R: Dom f =
, Rgo f = R, c.x = e^2 − 5 − 3 ≈ − 0 , 796 , c.y = ln(5) − 2 ≈ − 0 , 39 , asíntota
vertical la recta x =
- f (x) = 5
) 1 − 2 x
R: Dom f = R, Rgo f = (3, ∞), c.x no hay, c.y =
, asíntota horizontal por la izquierda la recta y = 3.
- f (x) =
log(−x) 2
R: Dom f = (−∞, 0), Rgo f = R, c.x = − 107 , c.y no hay, asíntota vertical la recta x = 0.
- f (x) =
− ln
5 − 2 x.
R: Dom f =
, Rgo f = R, c.x = e^5 − 5 − 2
≈ − 71 , 71 , y =
ln(5) ≈ 1 , 695 , asíntota
vertical la recta x =
Actividad 1.
Considere las grá cas dadas en 62 al 69. (a) Identi que la función básica que las genera. (b) Indique
los principios de gra cación aplicados a la función básica. (c) Escriba la ecuación que representa a la
grá ca.
- R: y =
xn^
- R: y = (x + 1)^2 − 4.
- R: y =
q x − 1
y ó y =
q x
y − 1.
- R: y = 2x^ − 2.
- R: y = log 3 (x + 3).
Actividad 1.
En los ejercicios del 70 al 81, trace la grá ca de la función trigonométrica dada, halle dominio, rango,
período y cortes con los ejes coordenados. Indicar amplitud o ecuaciones de las asíntotas cuando sea el
caso. (c.x indica corte en x, c.y indica corte en y).
- f (x) = 2sen (x + π). R: Dom f = R, rgo f = [− 2 , 2], período = 2 π, c.x = (n − 1)π con n ∈ Z (c.x = ..., − 2 π, −π, 0 , ...), c.y = 0, amplitud = 2.
- g(x) =
sen
(π 2 − 2 x
R: Dom f = R, rgo f =
[
]
, período = π, c.x = (2n + 1)π 4 con n ∈ Z
c.x = ..., − π 4
π 4
3 π 4
c.y =
, amplitud =
x = ..., − 3 π 4
π 4
5 π 4
- h(x) = −
csc
x + π 4
R: Dom f (x) = R −
x = (4n − 1)π 2 : n ∈ Z
, rgo
]
[
, período = 4 π, c.x no
hay, c.y = −
, asíntotas las rectas x = (4n − 1)π 2 con n ∈ Z
x = ..., − 5 π 2
π 2
3 π 2
- f (x) = −3 csc
(π 2
x 3
R: Dom f (x) = R −
x = (6n + 3)π 2 : n ∈ Z
, rgo (−∞, −3] ∪ [3, ∞), período = 6 π, c.x no hay,
c.y = − 3 , asíntotas las rectas x = (6n + 3)π 2
con n ∈ Z
x = ..., − 3 π 2
3 π 2
9 π 2
- g(x) = sec
x + π 4
R: Dom f (x) = R −
x = (1 + 4n)π 4 : n ∈ Z
, rgo (−∞, −1] ∪ [1, ∞), período = 2 π, c.x no hay,
c.y =
2 , asíntotas las rectas x = (1 + 4n)π 4
con n ∈ Z
x = ..., − 3 π 4
π 4
5 π 4
- h(x) = −2 sec
π − x 2
R: Dom f (x) = R − {x = (3 + 2n) π : n ∈ Z}, rgo (−∞, −2] ∪ [2, ∞), período = 4 π, c.x no hay, c.y = 2, asíntotas las rectas x = (3 + 2n) π con n ∈ Z (x = ..., π, 3 π, 5 π, ...).
Actividad 1.
Dadas las funciones del 82 al 89, trace su grá ca, determine intersecciones con los ejes coordenados,
dominio y rango.
f (x) =
(x + 3)^2 + 1 si x < − 2
−x + 1 si − 2 ≤ x ≤ 2
x − 2 si x > 2
R : Dom f = R, Rgo f = [− 1 , ∞), c.x = 1, c.y = 1.
f (x) =
|x + 2| si x ≤ − 1
x^3 − 2 si − 1 < x ≤ 2
x − 4 si x > 2
R : Dom f = R, Rgo f = (− 3 , ∞), c.x = − 2 , c.x = 4, c.x = 3
2 , c.y = − 2.
f (x) =
√ (^3) x + 1 si x ≤ − 1
(x − 1)^4 − 2 si |x| < 1
e−x^ si x ≥ 1
R : Dom f = R, Rgo f = (−∞, 14), c.x = − 1 , c.x = − 4
2 + 1, c.y = − 1.
f (x) =
x + 1 si x < − 1
log 12 (x + 1) si − 1 < x ≤ 1
x + 2 si x > 1
R : Dom f = R − {− 1 }, Rgo f = R, c.x = 0, c.y = 0.
f (x) =
2 x − 1 si x < 1
x^2 − 12 si 1 ≤ x < 2
|x − 3 | si x ≥ 2
R : Dom f = R, Rgo f = R, c.x =
, c.x = 3, c.y = − 1.
- f (x) = −x^2 − 2 x + 8. R: Dom f = R.
- f (x) = 3
x. R: Dom f = R.
- f (x) =
2 x − 5. R: Dom f = [5/ 2 , ∞].
- f (x) =
x^2 − 2 x − 3. R: Dom f = (−∞, −1] ∪ [3, ∞).
- f (x) =
x^2 − 2 x − 3
R: Dom f = (−∞, −1) ∪ (3, ∞).
- f (x) =
5 x + 15
R: Dom f = (−∞, −3).
- f (x) = 4
4 x − x^3 x^2 − 2 x + 1
R: Dom f = (−∞, −2] ∪ [0, 1) ∪ (1, 2].
- f (x) = log(−x^2 + 2x + 24). R: Dom f = (− 4 , 6).
- f (x) = log
4 x − 8 − 2 x + 6
R: Dom f = (2, 3).
- g(x) = 4
2 − x. R: Dom g = [− 142 , 2].
- g(x) = 7x^4
x − 1. R: Dom g = [1, ∞).
- h(x) =
) √^33 −x − sen(7x − 6). R: Dom h = R.
- g(x) = ln(x^2 + 2x + 1) + cos(6x − 5). R: Dom g = R − {− 1 }.
- f (x) = log(1/2)(x^2 + 4x − 5) +
q x + 5
y . R: Dom f = (−∞, −5) ∪ (1, ∞).
- f (x) = log(x √^2 − 5 x + 6) x − 1
R: Dom f = (1, 2) ∪ (3, +∞).
- f (x) = tan
4 x − π 2
R: Dom f = R −
x = (n + 1)π 4
: n ∈ Z
- h(x) = csc
(x 3
π 4
R: Dom h = R −
x = 3 π(4n − 1) 4 : n ∈ Z
Actividad 1.
En los ejercicios del 108 al 115, de na las siguientes funciones y determine el dominio de la función
resultante:
(a) f + g, (b) f − g, (c) f.g, (d) f /g y (e) g/f.
- f (x) = x − 5 y g(x) = x^2 − 1. R: (f + g)(x) = x^2 + x − 6 , (f − g)(x) = −x^2 + x − 4 , (f.g)(x) = x^3 − 5 x^2 − x + 5,
f g
(x) = x − 5 x^2 − 1
g f
(x) = x^2 − 1 x − 5
Dom (f + g) = Dom (f − g) = Dom (f.g) = R, Dom (f /g) = R − {− 1 , 1 }, Dom (g/f ) = R − { 5 }.
- f (x) = x + 1 x − 1 y g(x) =
x
R: (f +g)(x) = x^2 + 2x − 1 x(x − 1) , (f −g)(x) = x^2 + 1 x(x − 1) , (f.g)(x) = x + 1 x(x − 1)
f g
(x) = x^2 + x x − 1
g f
(x) = x − 1 x(x + 1)
Dom (f + g) = Dom (f − g) = Dom(f.g) = R − { 0 , 1 }, Dom
f g
= R − { 0 , 1 }, Dom
g f
R − {− 1 , 0 , 1 }.
- f (x) =
x − 1 y g(x) =
x^2 − 4. R: (f + g)(x) =
x − 1 +
x^2 − 4 , (f − g)(x) =
x − 1 −
x^2 − 4 , (f.g)(x) =
x − 1.
x^2 − 4 ,
Dom (f + g) = Dom (f − g) = Dom(f.g) = R, Dom
f g
= R − { 3 }, Dom
g f
= R − { 0 }.
En los ejercicios del 116 al 120, exprese la función h como la composición de dos funciones f y g.
- h(x) = ln(x^2 + 2x).
- h(x) =
|x| + 4.
- h(x) = cos(
x + 1).
- h(x) =
cosx + 1.
- h(x) =
x − 3
En los ejercicios del 121 al 126, dadas las funciones f y g, encuentre el dominio y una fórmula para f ◦ g
y g ◦ f.
- f (x) = x − 3 2 y g(x) =
x.
R: (f ◦ g)(x) =
x − 3 2 , Dom(f ◦ g) = [0, ∞), (g ◦ f )(x) =
x − 3 2 , Dom(g ◦ f ) = [3, ∞).
- f (x) = x x − 1
y g(x) =
1 + x^2.
R: (f ◦ g)(x) =
1 + x^2 √ 1 + x^2 − 1
, Dom(f ◦ g) = R − { 0 }, (g ◦ f )(x) =
(x − 1)^2 + x^2 (x − 1)^2 , Dom(g ◦ f ) = R − { 1 }.
- f (x) = ln(x^2 − 1) y g(x) = ex. R: (f ◦g)(x) = ln(e^2 x^ −1), Dom(f ◦g) = (0, ∞), (g◦f )(x) = x^2 − 1 , Dom(g◦f ) = (−∞, −1)∪(1, ∞).
- f (x) = x +
x y g(x) = x + 1 x + 2
R: (f ◦ g)(x) = (x + 1)^2 + (x + 2)^2 (x + 1)(x + 2)
, Dom(f ◦ g) = R − {− 2 , − 1 }, (g ◦ f )(x) = x^2 + x + 1 x^2 + 2x + 1
Dom(g ◦ f ) = R − {− 1 , 0 }.
- f (x) = sec(2x) y g(x) = x − π. R: (f ◦ g)(x) = sec(2x − 2 π), Dom(f ◦ g) = R −
x = (2n + 5)π 4
: n ∈ Z
, (g ◦ f )(x) = sec(2x) − π,
Dom(g ◦ f ) = R −
x = (2n + 1)π 4 : n ∈ Z
- f (x) = x^2 + 2x − 4 y g(x) = x^2. R: (f ◦ g)(x) = x^4 + 2x^2 − 4 , Dom(f ◦ g) = R, (g ◦ f )(x) = (x^2 + 2x − 4)^2 , Dom(g ◦ f ) = R.
Actividad 1.
En los ejercicios del 127 al 138, indique cuales de las siguientes funciones son inyectivas, justi que su
respuesta.
- f (x) = x^2. R: No
- f (x) = ln(x^2 + 1). R: No
- f (x) = ex. R: Sí
- f (x) = cos(x). R: No
- f (x) = ex 2 . R: No
- f (x) = |x|. R: No
- f (x) = log 3 (2x − 5). R: Sí
- f (x) = | 4 − x| − 2. R: No
- f (x) = sen(2x + π). R: No
- f (x) =
q x
y . R: No
