Antiderivadas y Integración Indefinida: Conceptos Claves y Ejercicios Resueltos, Apuntes de Cálculo

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Matemática II – Paralelo

Classroom: aute3jf

Docente: MSc. José Ignacio Díaz L II SEMESTRE 2023

Antecedentes

• El Cálculo fue desarrollado para resolver

problemas como encontrar la pendiente de una

curva en un punto, o el área bajo ella, la velocidad

de un cuerpo en un cierto instante sabiendo la

distancia, o caso contrario, sabiendo la velocidad,

encontrar la distancia recorrida.

• Estas fueron una de las muchas aplicaciones por

la que científicos como Issac Newton ( 1643 -

1727 ) o Gottfried Leibniz ( 1646 - 1716 )

desarrollaron el Cálculo Integral y el Cálculo

Diferencial.

En matemáticas existen operaciones inversas, por ejemplo: la suma

como el inverso de la resta; la multiplicación como la inversa de la

división, etc. Por lo que para la derivada lo contrario es la

antiderivada o también llamada función primitiva de una función

f(x) es otra función F(x) cuya derivada es f(x) y cuya diferencial es

f(x) dx.

El conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) se

denomina integral indefinida de f(x) dx.

Conceptos claves Antiderivada: Una función F(x) es una antiderivada de f (x), si la derivada de F(x) es igual a f(x). Matemáticamente: ∫f(x)dx = F(x) ⇒ F’ (x) = f (x). Integral indefinida: Es el proceso de determinación de todas las antiderivadas de una función dada. Es el resultado de la integración de una función. El símbolo de integral es: ∫, y la expresión: ∫ f (x)dx = F(x) +C se lee: «La integral de la función f (x) respecto de x es igual a la función F(x) más una constante». Constante de integración: es una cantidad independiente de la variable de integración. Integrales indefinidas de tipo algebraicas, trigonométricas y exponenciales: procedimiento esencialmente de prueba y error, para lo que existen las tablas de integración las cuales se le conocen como integrales inmediatas.

𝐲 = න^ 𝐟 𝐱 𝐝𝐱 = 𝐅 𝐱 + 𝐂 INTEGRACIÓN INDEFINIDA Integrando Variable de Integración Constante de Integración

La expresión: ׬ 𝐟 𝐱 𝐝𝐱

se lee: « la integral indefinida de f con respecto a x » INTEGRACIÓN INDEFINIDA Para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corrientes Para estudiar comportamientos en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) Para calcular el flujo de electrones por un conductor a través del tiempo Para averiguar la energía que posee un circuito Para hallar el voltaje en un condensador en un tiempo determinado

Se pide encontrar la función f, cuya derivada es: 𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙 𝟐 Integración Se podría considerar: 𝐟′(𝐱) = 𝟑𝐱 𝟐 , ya que 𝐝 𝐝𝐱 𝐱 𝟑 = 𝟑𝐱 𝟐 La función F es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I. Primitiva o antiderivada

Primitivas de 𝟑𝐱

𝟐

F

1

𝟑

F

2

𝟑

• 5

F

3

𝟑

Familia de Primitivas

Para cualquier valor de la constante C , F(𝐱) = 𝒙 𝟑

• C es primitiva de f y C es llamada constante de integración.

Para la ecuación diferencial:

′

Ejemplo 2

1 .- Hallar una función cuya derivada sea 2 : 𝐲 = 𝟐𝐱 2.- Sumar la constante de integración: 𝐲 = 𝟐𝐱 + 𝐂

Al resolver una ecuación diferencial de la

forma:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

conviene más expresarla en la forma:

Notación de la Primitivas

Ejemplo 1 .- Halla el valor de la constante de integración y la función

f(x) de la expresión diferencial 𝑓 ′ (𝑥) = 6 𝑥

2

− 2 𝑥 en el punto ( 2 , 3 )

Solución: Si la derivada de 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 6𝑥 2 − 2𝑥 Entonces la diferencial es 𝑑𝑦 = (6𝑥 2 − 2𝑥)𝑑𝑥 Y si a esta diferencial le colocamos signos de integral a cada uno de sus términos න 𝒅𝒚 = න 𝟔𝒙 𝟐 𝒅𝒙 − න 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒚 = 𝟔 න 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟐 න 𝒙𝒅𝒙 𝒚 = 𝟔𝒙 𝟑 𝟑 − 𝟐𝒙 𝟐

• 𝑪 (^) 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐
• 𝑪

En equipo de tres integrantes resuelvan los siguientes ejercicios de antiderivadas y expresen sus conclusiones

Determina la primitiva o antiderivada que se genera al realizar la integración de la siguiente función: න 𝟔𝒙 𝟒 −

𝟓 𝒙