¡Descarga Pruebas de Hipótesis Paramétricas: Ejercicios Resueltos y Propuestos y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
CONTENIDOS :
5.2.1. Prueba de hipótesis para una media. 5.2.2 Prueba de hipótesis para una proporción. 5.2.3 Prueba de hipótesis para la varianza. 5.2.4 Prueba de hipótesis para una diferencia de medias. 5.2.5 Prueba de hipótesis para una diferencia de proporciones. 5.2.6 Prueba de hipótesis para el cuociente de varianzas. OBJETIVOS:
- Plantear hipótesis para diferentes parámetros.
- Determinar los pasos a seguir al realizar una prueba de hipótesis para diferentes parámetros.
- Interpretar el nivel de significación de una prueba de hipótesis.
- Redactar una conclusión con los resultados obtenidos de una prueba de hipótesis.
- Realizar pruebas de hipótesis en problemas prácticos
5. 2 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS
5.2.1 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA.
RESUMEN DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES :
Sea X ∼ N ( μ σ, 2 ), μ 0 un valor de prueba conocido y sea X y S (^) X estimadores de μ y σ con una muestra de tamaño n. Pasos a seguir al realizar una prueba de hipótesis: P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : μ = μ 0 v/s Hipótesis alternativa H 1 (^) : μ ≠ μ 0 ; H (^) 2 : μ > μ 0 ; H 3 :μ <μ 0
P2: Estadístico de prueba: 0 0 ( 1) X
X t n t n S
− μ = (^) −
∼
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H 0 (^) / H (^) 0 es verdadero ) P4: Región de rechazo de H 0
Para (^0 1 ) (1 2 , 1) (1 2 , 1) / / n n H v s H R x x t (^) α o x t α − − − −
⇒ = (^) < − >
Para H 0 v / s H 2 ⇒ R 2 = { x / x > t (1 − α , n −1)}
Para H 0 v / s H 3 ⇒ R 3 = { x / x < − t (1 − α , n −1)}
P5: Decisión: Si t 0 (^) ∈ Ri ⇒ se rechaza H (^) 0 al nivel de significación α
CONCEPTOS CLAVES: Parámetro. Estimador. Hipótesis. Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo. Conclusión.
Ejercicio 1: (Aplicación en Ciencias de la salud) Para analizar el crecimiento de ratas de laboratorio se eligen 13 ratas y se miden obteniendo una talla promedio de la muestra de 5.3 centímetros y una varianza muestral de 19. Pregunta: Un investigador afirma que la talla promedio de las ratas en la población es mayor a 4.5 centímetros. Verifique tal afirmación realizando la prueba de hipótesis adecuada con un nivel de significación de 0.
Esquema de solución
Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema.
Paso 2: Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados. Sea X = Talla de las ratas (en centímetros). En este caso se debe suponer que
X ∼ N ( μ σ, 2 ) y los parámetro involucrados son μ yσ 2 donde μ es la talla promedio
de las ratas en la población y σ es la desviación estándar de la talla de las ratas.
Paso 3: Estimar los parámetros. En este caso se tiene, del enunciado del problema, que
X = 5.3es un estimador de μ y S^2 X^ = 19.2es un estimador de σ^2
Paso 4: Leer la pregunta 1 y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener lo pedido. Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de hipótesis para la media poblacional, donde la hipótesis alternativa debe ser H 2 : μ > μ 0 donde μ 0 = 4.5.
Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos.
P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : μ = 4.5v/s Hipótesis alternativa H 2 : μ >4.
P2 : Estadístico de prueba; 0 0 5.3^ 4.5^13 0. X^ 19.
X t n S
− μ (^) − = (^) = (^) = ^ P3: Nivel significación; α =0. P4: Región de rechazo de H (^) 0 v / s H 2 R 2 (^) = (^) { x / x > t (1 (^) − α , n −1) } = (^) { x / x > t (^) (0.99,12)} = (^) { x / x >2.68} P5: Decisión. Como t 0 (^) = 0.6583 < 2.68⇒ t 0 (^) ∉ R 2 ⇒ No se rechaza H 0 al nivel de significación 0. P6: Conclusión. Con 99% de confianza la talla media de las ratas no es mayor que 4. centímetros, por lo tanto la afirmación del investigador no es correcta.
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO :
RESUMEN DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES :
Si A es una característica de interés y se desea realizar hipótesis respecto a la probabilidad de A denotada como p = P A ( ), entonces mediante una muestra de tamaño n se estima p como a p n
donde a es el número de elementos de la muestra con la característica A. Sea p 0 un
valor de prueba para p conocido Para realizar la prueba de hipótesis se deben seguir los siguientes pasos: P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 (^) : p = p 0 v/s Hipótesis alternativa H 1 (^) : p ≠ p 0 (^) ; H 2 (^) : p > p 0 (^) ; H (^) 3 : p < p 0
P2: Estadístico de prueba: 0 0 0 0
(0,1) (1 )
p p z N p p n
−
−
∼
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H (^) 0 / H (^) 0 es verdadero ) P4: Región de rechazo de H 0
Para (^0 1 ) (1 2 ) (1 2 ) H v / s H R x / x z (^) α o x z α − −
⇒ = (^) < − >
Para H 0 v / s H 2 ⇒ R 2 = { x / x > z (1 − α)}
Para H 0 v / s H 3 ⇒ R 3 = { x / x < − z (1 − α)}
P5: Decisión: Si t 0 (^) ∈ Ri ⇒ se rechaza H (^) 0 al nivel de significación α P6: Conclusión: Se debe interpretar la decisión tomada en Paso 5.
5.2.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN.
CONCEPTOS CLAVES : Parámetro. Estimador. Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo. Conclusión.
EJERCICIO 2: (APLICACIÓN EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA)
En una fábrica de artículos electrónicos generalmente el 10% de los artículos presenta algún defecto de fabricación. Para mejorar la calidad del producto se toman medidas para disminuir el porcentaje de artículos defectuosos. Luego de aplicadas las medidas se elige una muestra de 1500 artículos y se prueban observando que 100 de ellos presentaban algún defecto. Pregunta: ¿Cree usted que las medidas de mejoramiento aplicadas lograron disminuir la proporción de artículos defectuosos en la fábrica? Realice la prueba de hipótesis adecuada para responder esta pregunta usando un nivel de significación de 0.
Esquema de solución Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema. Paso 2: Identificar la característica de interés y los parámetros involucrados. Sea A = {Artículos electrónicos de la fábrica con algún defecto}. En este caso el parámetro de interés es p = P A ( )= proporción de artículos defectuosos en la fábrica.
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO :
Paso 3: Estimar los parámetros.
En la muestra de n = 1500 artículos electrónicos se tiene que a = 100 tienen
algún defecto, luego
p = =
es la proporción de artículos defectuosos
en la muestra.
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener lo pedido.
Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de hipótesis para una proporción poblacional, donde la hipótesis alternativa debe ser H 3 (^) : p < p 0 donde p 0 (^) = 0.1 pues se pide verificar si con las medidas aplicadas la proporción de
artículos defectuosos ha disminuido respecto al valor habitual
Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos.
P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H (^) 0 : p = 0.1v/s Hipótesis alternativa H (^) 2 : p <0.
P2 : Estadístico de prueba; 0 0 0 0
0.0667 0.1 (^) 4. (1 ) 0.1(0.9) 1500
p p z p p n
− (^) − = = = − −
P3: Nivel significación; α =0.
P4: Región de rechazo de H 0 (^) v / s H 3
R 3 (^) = (^) { x / x < − z (1 (^) − α) } = (^) { x / x < − z (0.95) (^) } = (^) { x / x < −1.645}
P5: Decisión. Como z (^) 0 = −4.299 < −1.645 ⇒ t 0 (^) ∈ R 3 ⇒ Se rechaza H (^) 0 al nivel de significación 0.
P6: Conclusión. Con 95% de confianza la proporción de artículos defectuosos en la fábrica es menor que 0.1, por lo tanto se logra disminuir la proporción de artículos defectuosos en la fábrica con las medidas aplicadas.
5.2.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN NORMAL.
CONCEPTOS CLAVES : Parámetro. Estimador. Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo
EJERCICIO 3: (APLICACIÓN EN INGENIERÍA)
En un proceso de fabricación de tornillos, la máquina cortadora de los trozos de metal para su fabricación presenta en condiciones normales una varianza de la longitud de los cortes de 0.15. Para verificar si la máquina está trabajando en condiciones normales se toma una muestra de 10 trozos de metal cortados por esa máquina en la fábrica y se miden sus longitudes, obteniendo los siguientes resultados: 15.2 15.5 14.2 15.6 14.8 15.2 15.1 14.1 14.7 14. Pregunta: Realizando la prueba de hipótesis adecuada, verifique si la máquina está trabajando en condiciones normales. Use un nivel de significación de 0.05.
Esquema de solución
Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema. Paso 2: Identificar la variable en estudio y el parámetro de interés.
Sea X = longitud de los trozos de metal. En este caso se puede suponer que X ∼ N ( μ σ, 2 )
donde el parámetro involucrado es σ 2 donde σ es la desviación estándar de la longitud de
los trozos de metal.
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO :
RESUMEN DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES :
Sea X ∼ N ( μ σ, 2 ), σ 02 un valor de prueba conocido para σ 2 y sea S (^) X un estimador de σ obtenido de una muestra aleatoria de tamaño n.
Pasos a seguir al realizar la prueba de hipótesis: P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : σ 2 = σ 02 v/s Hipótesis alternativa H 1 (^) : σ 2 ≠ σ 02 ; H 2 (^) : σ 2 > σ 02 ; H 3 :σ 2 <σ 02
P2: Estadístico de prueba:
(^22) (^0 ) 0
( 1) X ( 1) n S J χ n σ
− = ∼ −
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H (^) 0 / H 0 es verdadero ) P4: Región de rechazo de H 0
Para ( 2 , 1) (1 2 , 1)
2 2 H (^) 0 v / s H 1 (^) R 1 x / x χ α n − o x χ−α n − ⇒ = (^) < >
Para H 0 v / s H 2 ⇒ R 2 = { x / x > χ(1 2 − α , n −1)}
Para H 0 v / s H 3 ⇒ R 3 = { x / x <χ( 2 α, n −1)}
P5: Decisión: Si J (^) 0 ∈ Ri ⇒ se rechaza H 0 al nivel de significación α P6: Conclusión: Se debe interpretar la decisión tomada en Paso 5.
Paso 3: Estimar el parámetro.
Se ingresan los datos a la calculadora fx – 350 MS o similar de la siguiente manera: Poner la calculadora en el modo SD Limpiar la memoria: SHIFT MODE 1 = Ingresar los datos de la siguiente manera: 15.2 M+ 15.5M+ ……14.6 M+
Obtener resultados SHIFT 2 3 = S X = 0.5099estima a σ
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener lo pedido.
Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de hipótesis para la varianza poblacional, donde la hipótesis alternativa debe ser H 1 : σ 2 ≠ σ 02 donde 2 σ 0 = 0.15. Ya que se desea probar si la varianza la longitud de los cortes hechos por la máquina se mantiene en condiciones normales
Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos.
P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : σ 2 = 0.15v/s Hipótesis alternativa H 1 : σ 2 ≠0.
P2 : Estadístico de prueba;
2 2 (^0 ) 0
( 1) 9(0.5099) (^) 15.
J n^ S^ X σ
= − = =
P3: Nivel significación; α =0.
P4: Región de rechazo de H (^) 0 v / s H 1
( , 1) (1 , 1)^ ( 0.025,9 )^ ( 0.975,9) 2 2
2 2 2 2 1 /^ /
/ 2.70 19.
n n
R x x o x x x o x
x x o x
P5: Decisión. Como J (^) 0 = 15.6 > 2.70 y J 0 (^) = 15.6 < 19.0⇒ J (^) 0 ∉ R 1 ⇒ No se rechaza H (^) 0 al nivel de significación 0.
P6: Conclusión. Con 95% de confianza la varianza de la longitud de los cortes no es diferente que 0.15 centímetros, por lo tanto la máquina está funcionando en condiciones normales
RESUMEN DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES :
1. Sea X ∼ N ( μ 1 , σ^2 ) ; Y ∼ N ( μ 2 , σ^2 )dos poblaciones independientes.
- En dos muestra de tamaños n y m de X e Y respectivamente se obtiene X Y S , , (^) X y SY.
- Estimador de la varianza común:
2 2 2 2 (^ 1)^ (^ 1) 2
X Y C
n S m S S n m
Pasos a seguir al realizar la prueba de hipótesis: P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 v/s Hipótesis alternativa H 1 (^) : μ 1 − μ 2 ≠ 0 ; H (^) 2 : μ 1 − μ 2 > 0 ; H 3 : μ 1 − μ 2 < 0
P2: Estadístico de prueba: (^0) ( 1) 2 1 1
n C
t X^ Y t S n m
− =^ − (^) +
∼
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H (^) 0 / H (^) 0 es verdadero ) P4: Región de rechazo de H 0
Para (^0 1 ) (1 2 , 2) (1 2 , 2) / / n m n m H v s H R x x t (^) α o x t α − + − − + −
⇒ = (^) < − >
Para H 0 v / s H 2 ⇒ R 2 = { x / x > t (1 − α , n + m −2)}
Para H 0 v / s H 3 ⇒ R 3 = { x / x < − t (1 − α , n + m −2)}
P5: Decisión: Si t 0 (^) ∈ Ri ⇒ se rechaza H (^) 0 al nivel de significación α P6: Conclusión: Se debe interpretar la decisión tomada en Paso 5.
5.2.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS.
CONCEPTOS CLAVES : Parámetro. Estimador. Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo
Ejercicio 4: (Aplicación en Ciencias de la salud) Se desea analizar el contenido de vitamina A en la sangre en trabajadores a nivel del mar y en altura obteniendo los siguientes datos: Nivel del mar: 25.2 30.4 46.9 51 46.4 48.5 39.3 55.9 34.3 31.2 40.7 29.8 35.7 40. En altura : 43.7 62.6 61.6 74.8 36.8 68.6 69.3 67 44 49 56.8 48.4 42.4 47. Pregunta: Pruebe la hipótesis que el trabajo en altura hace aumentar el contenido medio de vitamina A en la sangre usando un nivel de significación de 0.05. Esquema de solución Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema. Paso 2: Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados. Sea X = contenido de vitamina A en la sangre de trabajadores a nivel del mar. Y = contenido de vitamina A en la sangre de trabajadores en altura.
Suponer que X ∼ N ( μ 1 , σ^2 ) ; Y ∼ N ( μ 2 , σ^2 ) y son independientes.
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO :
Paso 3: Estimar los parámetros. Se ingresan los datos a la calculadora fx – 350 MS (o similar) de igual manera que en el ejercicio 3 y obtener : 39.6714 0. 55.15 12.
X Y
X y S Y y S
Estimador de la varianza común:
2 2 2 2 (^ 1)^ (^ 1)^ 114. 2
X Y C
n S m S S n m
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener lo pedido. Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales, donde la hipótesis alternativa debe ser H 3 : μ 1 − μ 2 < 0,ya que se desea probar si el contenido medio de vitamina A en la sangre es mayor en trabajadores en altura
Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos.
P1 : Plantear hipótesis. Hipótesis nula H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 v/s Hipótesis alternativa H 3 : μ 1 − μ 2 < 0
P2 : Estadístico de prueba: (^0) 2
39.6714 55.15 (^) 3. (^1 1) 114.9294 1 1 C 14 14
t^ X^ Y S n m
= −^ = − = − (^) + (^) +
P3 : Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H (^) 0 / H (^) 0 es verdadero )
P4 : Región de rechazo de H 0 En este caso α= 0.05 ⇒ 1 − α=0. Luego en la tabla t de Student se obtiene t (1 (^) − α , n + m −2) = t (0.95,26) =1.
Luego para H 0 v / s H 3 ⇒ R 3 = { x / x < − t (0.95,26) } = { x / x < −1.71}
P5 : Decisión: Como t 0 (^) = −3.82 < −1.71 ⇒ t 0 (^) ∈ R 3 ⇒ se rechaza H 0 al nivel de
significación 0. P6 : Conclusión: Con 95% de confianza el contenido medio de vitamina A en la sangre de trabajadores en altura es mayor que el contenido medio de vitamina A en la sangre de trabajadores a nivel del mar..
Paso 6: Redactar una respuesta a la pregunta : Con 95% de confianza el trabajo en altura hace aumentar el contenido medio de vitamina A en la sangre.
RESUMEN DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES :
Si A es una característica de interés y se desea realizar pruebas de hipótesis respecto a la probabilidad de A en dos poblaciones independientes Pob 1 y Pob 2 denotadas como p 1 (^) = P A ( / Pob 1) y p 2 = P A ( / Pob 2), Mediante una muestra de tamaño n de la
población 1 se estima p 1 como 1 1
a p n
donde a 1 es el número de elementos de la muestra
de la población 1 con la característica A.
Mediante una muestra de tamaño m de la población 2 se estima p 2 como 2 2 a p m
donde
a 2 es el número de elementos de la muestra de la población 2 con la característica A.
Luego si consideramos p 1 (^) = p 2 = p entonces p a^1^^ a^2 n m
= +
Pasos a seguir al realizar la prueba de hipótesis: P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H (^) 0 : p 1 (^) − p 2 = 0 v/s Hipótesis alternativa H (^) 1 : p 1 (^) − p 2 (^) ≠ 0 ; H (^) 2 : p 1 (^) − p 2 (^) > 0 ; H (^) 3 : p 1 (^) − p 2 < 0
P2: Estadístico de prueba: 0 1 2 (0,1) (1 )^1
z p^ p N p p n m
=^ − − ^ +
∼
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H 0 (^) / H (^) 0 es verdadero ) P4: Región de rechazo de H 0
Para (^0 1 ) (^1 2 ) H v / s H R x / x z (^) α o x z α − −
⇒ = (^) < − > Para H (^) 0 v / s H (^) 2 ⇒ R 2 (^) = { x / x > z 1 − α} Para H (^) 0 v / s H 3 (^) ⇒ R 3 (^) = (^) { x / x < − z 1 − α} P5: Decisión: Si z 0 (^) ∈ Ri ⇒ se rechaza H (^) 0 al nivel de significación α P6: Conclusión: Se debe interpretar la decisión tomada en Paso 5
5.2.5 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES.
CONCEPTOS CLAVES: Parámetros. Estimadores. Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo.
EJERCICIO 5: (APLICACIÓN EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA)
En un estudio para investigar la calidad de los artículos producidos por dos máquinas, se elige una muestra de 50 artículos producidos por la máquina A y se observa que 11 están defectuosos y en una muestra de 50 artículos producidos por la máquina B se encuentran 8 defectuosos. Pregunta: Pruebe la hipótesis de que la proporción de artículos defectuosos producidos por la máquina A es mayor que los producidos por la máquina B, usando un nivel de significación de 0.05. Esquema de solución Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema. Paso 2: Identificar la característica de interés y los parámetros involucrados.
Sean C = { Artículos defectuosos }.
Pob 1 = { Artículos producidos por máquina A } y Pob 2 ={ Artículos producidos por máquina B }
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO :
Parámetros de interés: p 1 (^) = P C ( / Pob 1)= proporción de artículos defectuosos producidos por máquina A. p 2 (^) = P C ( / Pob 2)= proporción de artículos defectuosos producidos por máquina B
Paso 3: Estimar los parámetros. En la muestra de n = 50 artículos producidos por la máquina A se tiene que #C = 11, luego
1
p = =
y en la muestra de m = 50 artículos producidos por la máquina B se tiene
que #C = 8, luego (^2)
p = =
Además 11 8 19 0. 50 50 100
p = + = =
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener lo pedido. Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones poblacionales, donde la hipótesis alternativa debe ser H (^) 2 : p 1 (^) − p 2 > 0, ya que se
desea probar si la proporción de artículos defectuosos producidos es mayor en la máquina A que en la máquina B
Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos.
P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula H (^) 0 : p 1 (^) − p 2 = 0 v/s Hipótesis alternativa H (^) 2 : p 1 (^) − p 2 > 0
P2: Estadístico de prueba: 0 1 2 0.22 0.
(1 ) 1 1 0.19(0.81) 1 1 50 50
p p z p p n m
− − = = = − ^ + ^ ^ +
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H (^) 0 / H 0 es verdadero ) =0.
P4: Región de rechazo de H 0
Como α= 0.05 ⇒ 1 − α= 0.95en la tabla normal se obtiene z 0.95 (^) =1. Luego para H (^) 0 v / s H 2 (^) ⇒ R 2 (^) = { x / x > z 0.95 } = { x / x >1.645}
P5: Decisión: Como z 0 (^) = 0.7647 < 1.645⇒ z 0 (^) ∉ R 2 ⇒ No se rechaza H 0 al nivel de significación 0. P6: Conclusión: Con 95% de confianza la proporción de artículos defectuosos producidos por la máquina A no es mayor que los producidos por la máquina B
. Paso 6: Redactar una respuesta a la pregunta : Con 95% de confianza se puede afirmar que no hay diferencia en la proporción de artículos defectuosos producidos por las dos máquinas
Resumen de conceptos y propiedades:
1. Sea X ∼ N ( μ 1 , σ 12 ) ; Y ∼ N ( μ 2 , σ 22 )dos poblaciones independientes.
- En dos muestra de tamaños n y m de X e Y respectivamente se obtiene X Y S , , (^) X y SY.
- Parámetro involucrado:
2 2 2 1
4. Estimadores: σ 12 = S^2 X^ ;σ^22 = SY^2
Pasos a seguir al realizar la prueba de hipótesis: P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula
2 2 (^0 ) 1
H : σ 1 σ
= v/s Hipótesis alternativa
2 2 2 2 2 2 (^1 2 2 2 ) 1 1 1
H : σ 1 ; H : σ 1 ; H : σ 1 σ σ σ
≠ < >
P2: Estadístico de prueba:
2 0 2 ( 1, 1) X n m Y
F S F S −^ −
= ∼
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H (^) 0 / H 0 es verdadero ) P4: Región de rechazo de H 0
Para (^0 1 ) ( 2 , 1, 1) (1 2 , 1, 1) / / n m n m H v s H R x x F (^) α o x F α − − − − −
⇒ = (^) < >
Para H 0 v / s H 2 ⇒ R 2 = { x / x > F (1 − α, n −1, m −1)}
Para H 0 v / s H 3 ⇒ R 3 = { x / x < F ( α , n −1, m −1)}
P5: Decisión: Si F 0 (^) ∈ Ri ⇒ se rechaza H 0 al nivel de significación α P6: Conclusión: Se debe interpretar la decisión tomada en Paso 5.
5.2.PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL CUOCIENTE DE VARIANZAS.
CONCEPTOS CLAVES: Parámetros. Estimadores. Estadístico de prueba. Nivel de significación. Región de rechazo
EJERCICIO 6: (Aplicación en Ciencias de la Ingeniería) Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes y después de su instalación una muestra aleatoria entrega la siguiente información del porcentaje de impurezas: Antes de instalación :
n = SX = Después de instalación:
m = SY = Pregunta: Pruebe la hipótesis de que las varianzas del porcentaje de impurezas antes y después de la instalación del nuevo dispositivo son iguales. Use un nivel de significación de 0. Esquema de solución Paso 1: Leer cuidadosamente el enunciado del problema. Paso 2: Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados. Sea X = porcentaje de impurezas antes de instalación del nuevo dispositivo. Y = porcentaje de impurezas después de instalación del nuevo dispositivo.
Suponer que X ∼ N ( μ 1 , σ 12 ) ; Y ∼ N ( μ 2 , σ 22 )
EJERCICIO RESUELTO, PASO A PASO :
Paso 3: Estimar los parámetros involucrados. De la información entregada por las muestras se obtiene que: 2 2 2 2
σ 1 = S X = 101.17 y σ 2 = SY =94.
Paso 4: Leer la pregunta y revisar cual de los conceptos se debe usar para obtener lo pedido. Para responder la pregunta se debe realizar una prueba de hipótesis para el cuociente de varianzas poblacionales, donde la hipótesis alternativa debe ser 2 2 1 2 1
H : 1, σ σ
≠ ya que se desea probar si las varianzas del porcentaje de impurezas
antes y después de la instalación del nuevo dispositivo son iguales
Paso 5: Realizar la prueba siguiendo los seis pasos. P1: Plantear hipótesis. Hipótesis nula
2 2 (^0 ) 1
H : σ 1 σ
= v/s Hipótesis alternativa
2 2 (^1 ) 1
H : σ 1 σ
≠
P2: Estadístico de prueba:
2 (^0 )
101.17 (^) 1.
X Y
F S S
= = =
P3: Establecer un nivel de significación: α = P (Re chazar H (^) 0 / H (^) 0 es verdadero )
En este caso 0.05 0.025 1 0. 2 2
Luego en la tabla F de Fisher se obtiene:
[ ] [ ]
[ ]
, ( 1, 1) 0.025, (7,8) 2 0.975, (8,7)
, ( 1, 1) 0.975, (7,8) 2
n m
n m
a F F F b F F
α
α
(^) − − (^) − −
P4: Región de rechazo para H (^) 0 v / s H 1
(^1) ( , 1, 1) (1 , 1, 1)^ {^ } 2 2
R x / x F (^) α n − m − o x F (^) −α n − m − x / x 0.204 o x 4. = (^) < > (^) = < >
P5: Decisión: Como F 0 (^) = 1.06798 < 4.52⇒ F ∉ R 1 ⇒ No se rechaza H 0 al nivel de significación 0.
P6: Conclusión: Con 95% de confianza las varianzas del porcentaje de impurezas antes y después de la instalación del filtro son iguales.
Paso 6: Redactar una respuesta a la pregunta: Con 95% de confianza las varianzas poblacionales del porcentaje de impurezas antes y después de la instalación del nuevo dispositivo de filtrado son iguales.
