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Ejercicios de Repaso con Solución
1. El siguiente modelo relaciona la demanda de un bien (y, en euros) con su precio (x,
en euros):
y =i 0 + 1 ln x i+ i
Suponiendo que se cumplen los supuestos de Gauss-Markov, se ha estimado el modelo por MCO utilizando una muestra de 500 productos (N=500) y se han obtenido los
siguientes resultados: ˆ 0 2, ˆ 1 50, R 2 0.40, STC=100.
Responda a las siguientes preguntas:
a) ¿Es cierta la siguiente afirmación? "En promedio, un incremento de un 1% en x provoca aproximadamente una disminución de 50 euros en y". Justifique su respuesta.
Es falsa. Es un modelo nivel-log, por lo que un incremento de un 1% en x provoca aproximadamente una disminución de 0.5 euros en y.
b) En el modelo propuesto, calcule el valor de los coeficientes y del R 2 si la variable precio (x) se multiplica por 10.
Un cambio de escala en precio provoca un cambio de origen en el logaritmo del precio, que es la variable explicativa del modelo. El cambio de origen en las variables sólo afecta al término constante del modelo.
Demostración:
i
i 0 1
i 0 1 i
i 0 1 i 1
i 0 1 1 i
1 1 0 0 1
x =x 10 y = + ln x +
y = + ln x 10 + y = + ln(x ) ln(10) y = + ln(10) ln(x )+
, ln(10)
i i i
i i i
El R 2 no varía porque no se ve afectado por los cambios de escala y/o de origen en las variables.
c) Calcule la SCE y la s^2 del modelo de regresión.
2 2
2
R =1- SCE=(1-R )
SCE
STC
STC
SCE
SCE
s N K d) Calcule el valor del estadístico F para el contraste de hipótesis contra la alternativa.
Modelo No restringido: y =i 0 + 1 ln x i+ i ; SCE NR =
Modelo Restringido: y =i 0 + (^) i ; SCE =STC=100 R
R NR NR
SCE - SCE q (100 60) / 1
F 332
SCE N - K 60 / 498
2. Considere los siguientes modelos de regresión simple:
SALARIOi 0 1 EDUCi t
SALARIO i 0 1 EDUCi i
donde SALARIO es la renta mensual en euros , EDUC son los años de educación y SALARIO *^ es la renta mensual en miles de euros , y la variable EDUC *^ es la educación medida en meses.
a) ¿Qué relación existe entre los coeficientes de ambos modelos? Demuéstrelo.
Sabemos que:
- (^) / 1000 y * 12 SALARIOi SALARIOi EDUCi EDUCi
Deshaciendo el cambio:
0 1
0 1
0 1
i i i i i i i i i
SALARIO EDUC
SALARIO EDUC
SALARIO EDUC
Igualando coeficientes:
0 0
1 1
0 0 1 1
b) ¿Es el R-cuadrado de los dos modelos el mismo? ¿Por qué? . El R-cuadrado es el mismo porque no se ve afectado por cambios de origen ni de escala.
3. El modelo verdadero que explica el comportamiento de la variable Y es:
Yi 0 1 X 1 i 2 X 2 i i , donde 0 0, 1 0 y 2 0 , y se cumplen los
supuestos de Gauss-Markov. Sin embargo, por error, se estima el modelo:
Yi 0 1 X 1 i i. Sabiendo que Cov X ( 1 , X 2 ) 0 ,
a) ¿Cuál es el sesgo del estimador MCO de 1 en el modelo erróneo?
1 1 1 2
1
( ˆ) sesgo por omisión de variables relevantes ( )
N i i i N i i
L L K K
E
L L
El modelo estimado por el alumno B cumple los cinco supuestos de Gauss-Markov, por
tanto el estimador MCO es ELIO. Entonces, E ( ˆ 1 ) 1.
5. Se han especificado dos modelos distintos para explicar el salario de los trabajadores de una empresa:
M1: log( Sali ) 0 1 UNIV i 2 Xi i
M2: log( Sali ) 1 UNIV i 2 NOUNIVi 3 Xi i
donde Sal es el salario anual, UNIV es una variable ficticia que toma valor 1 si el individuo tiene estudios universitarios, NOUNIV es una variable ficticia que toma valor 1 si no tiene estudios universitarios, y X es la experiencia del individuo medida en años.
a) Interprete los coeficientes en cada uno de los modelos ¿Qué relación hay entre los coeficientes de ambos modelos?
0 : ordenada en el origen del modelo de los trabajadores sin estudios universitarios.
0 1 : ordenada en el origen del modelo de los trabajadores con estudios universitarios.
1 100 : diferencia porcentual del salario de un trabajador con estudios universitarios con
respecto de un trabajador sin estudios universitarios con el mismo nivel de experiencia.
2 100 : variación porcentual estimada en el salario ante un cambio unitario en la experiencia,
cuando la variable UNIV no cambia.
1 : ordenada en el origen del modelo de los trabajadores con estudios universitarios.
2 : ordenada en el origen del modelo de los trabajadores sin estudios universitarios.
3 100 : variación porcentual estimada en el salario ante un cambio unitario en la experiencia,
cuando el resto de variables explicativas no cambian.
b) ¿Cómo contrastaría en M1 si la educación influye en la ecuación de salarios?, ¿Y en M2? Plantee las hipótesis nula y alternativa, y explique detalladamente cómo llevar a cabo ambos contrastes utilizando el estadístico t.
Modelo M
0 1 1 1
1 ; /2 0 1
; regla de rechazo ˆ( ˆ) N K
H
H
t t t RH V
Modelo M
(^0 1 ) 1 1 2
0 1
; /2 0
; regla de rechazo ˆ( ˆ)
Para calcular el estadístico de contraste hemos de estimar el modelo reparametrizado:
log(
N K
H
H
H
H
t t t RH V
S
2 3 2 3
log( )
i i i i i i i i i i
al UNIV UNIV NOUNIV X Sal UNIV X
6. Dado el siguiente modelo de regresión lineal, que verifica los cinco supuestos de Gauss-Markov (RLM.1-RLM.5),
y =i β 1 x +i εi
1 2 1
( , , ) 0 i ( , , ) =1 i
i N i N
E x x V x x
a) Obtenga el estimador MCO para β 1.
Minimizando la suma de los residuos al cuadrado obtenemos:
i i i
y x x
b) Demuestre que el estimador MCO es insesgado y calcule la varianza de dicho estimador.
7. Sea el modelo: yi^ ^ 0 ^ 1 xi^ ^ i^ ,^ i^ ^ 1,^ , N , donde (^) 2 var (^) i kxi y se cumplen el
resto de supuestos de Gauss-Markov, se pide:
a) ¿Son homoscedásticas las perturbaciones?
Es un modelo heteroscedástico porque la varianza del término de error es distinta para cada una de las observaciones.
b) Obtenga la expresión del estimador MCO de los parámetros del modelo ( ˆ 0 yˆ 1 ), y explique por qué en este modelo el estimador MCO no es ELIO.
El estimador MCO se obtiene minimizando la suma de los residuos al cuadrado. El resultado es:
0 1
(^1 )
ˆ (^) =y- ˆx
ˆ xy x
S
S
MCO no es ELIO porque no se cumple el supuesto RLM.4. El estimador MCO es ELI pero no es óptimo. Hay un estimador (MCG) que tiene menor varianza que MCO.
c) Obtenga la expresión del estimador ELIO de los parámetros del modelo.
Cuando hay heteroscedasticidad el estimador ELIO es MCG.
Para obtener MCG:
- Transformar el modelo en homoscedástico. El modelo transformado es el modelo ponderado.
0 1
0 1
i
i i i i i i i i i i i i y x
y x x x x x y x x x
- Estimar por MCO el modelo ponderado. Minimizando la suma de los residuos al cuadrado del modelo ponderado obtenemos:
1 0 0
(^0 )
ˆ (^) =y - ˆ x
MCG MCG x y MCG x
S
S
8. Conteste Verdadero o Falso a las siguientes afirmaciones, justificando detalladamente su respuesta:
a) Dados los siguientes modelos de regresión lineal:
Mod. 1: y 0 1 x
Mod. 2: log( y ) 0 1 x
si y se multiplica por una constante c entonces todos los coeficientes del Mod.1 y del Mod. 2 se multiplican por dicha constante.
Falso. En el Mod.2 si y se multiplica por una constante entonces hay un cambio de origen en la variable dependiente, y el cambio de origen sólo afecta al término constante del modelo.
b) Una de las propiedades del estimador MCO es que la suma de los residuos MCO siempre es nula.
Falso. La suma de los residuos MCO es distinta de cero si no hay término constante en el modelo.
c) Los cambios de origen de las variables de un modelo de regresión no provocan cambios en la estimación de los coeficientes de pendiente.
Verdadero. Los cambios de origen solo afectan al término constante del modelo.
d) En el modelo yi 1 xi^2 i , el estimador MCO de 1 es
2 ˆ (^1 ) i i i
y x x
Verdadero. Se puede demostrar minimizando la suma de los residuos al cuadrado.
e) En el modelo y 0 1 x 1 2 x 2 i , una mayor correlación entre las variables
explicativas x 1 y x 2 , implica menor varianza de los estimadores MCO de 1 y 2 , y
por tanto mayor precisión en la estimación.
Falso. Una mayor correlación entre las variables explicativas implica mayor varianza de los estimadores MCO.
A mayor correlación, mayor es el R^2 j y mayor es la varianza de los estimadores: 2
2 2 1
j (^) N ji j i
V X
x x R
^
f) En el modelo de regresión yi 1 x 1 i 2 x 2 i i , siempre se cumple que el R-
cuadrado es mayor que cero.
Falso, porque el modelo no tiene término constante. En modelos sin término constante el R-cuadrado puede ser negativo.
g) La presencia de multicolinealidad (no exacta) en un modelo de regresión provoca que el estimador MCO ya no sea ELIO.
Falso, porque la multicolinealidad fuerte no rompe ningún supuesto de Gauss-Markov.
h) Dado el modelo econométrico y 0 1 x 1 2 x 2 3 x 3 , si x 1 x 2 x 3 hay
multicolinealidad fuerte, lo que afecta a la varianza (precisión) de los estimadores.
Falso. Hay multicolinealidad exacta por lo que no es posible obtener el estimador MCO.
Falso. La estacionalidad sólo se puede dar en datos con periodicidad superior a la anual.
p) En el modelo de regresión con datos trimestrales:
Yt 0 1 X t 1 T 1 t 2 T 2 t 3 T 3 t t , donde T 1 t , T 2 t y T 3 t son 3 variables ficticias
estacionales, la hipótesis nula para el contraste de estacionalidad es
H 0 : 1 2 3 0.
Verdadero.
q) Si dos series económicas presentan tendencia en varianza, para evitar que la regresión entre ellas sea espuria hemos de introducir una tendencia en la ecuación.
Falso. Hay que eliminar la tendencia en varianza tomando primeras diferencias de cada una de ellas.
