ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS, Apuntes de Matemáticas

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Universidad Complutense de Madrid

Departamento de Algebra

Estructuras Algebraicas

Julio Castellanos

derecha a izquierda. SX ≡ Grupo Sim´etrico o Grupo de las permutaciones de X Consideremos X = { 1 , 2 ,... , n} tenemos Sn el grupo de las permuta- ciones de n elementos y |Sn| = n!. Denotamos γ ∈ Sn

γ ≡

( 1 2... n a 1 a 2... an

) , γ(i) = ai, ai ∈ { 1 , 2 ,... , n}

• Grupo di´edrico del cuadrado D 4 formado por las transformaciones del plano que dejan fijo un cuadrado, simetr´ıa, τ , y rotaci´on de π/2, σ.

D 4 = { 1 , σ, σ^2 , σ^3 , τ, τ σ, τ σ^2 , τ σ^3 }, con o(σ) = 4, o(τ ) = 2, y τ στ σ = 1. D 4 no es abeliano, ya que στ = τ σ^3 ̸= τ σ.

Notas (i) El elemento neutro de un grupo es ´unico. (ii) El inverso de todo elemento es ´unico (iii) ∀ a ∈ G (a−^1 )−^1 = a (iv) ∀ a, b ∈ G (ab)−^1 ) = b−^1 a−^1 (v) Propiedades cancelativas si ac = bc ⇒ a = b, y tambi´en si ca = cb ⇒ a = b.

Podemos considerar la potencia, a ∈ G, n ∈ N, definimos an^ = a·

(n · · · ·a, y suponemos a^0 = 1, ∀ n ∈ Z, a−n^ = (a−^1 )n^ y tenemos:

(i) anam^ = an+m, ∀ n, m ∈ Z,. (ii) (an)m^ = anm, ∀ n, m ∈ Z,. (iii) En general (ab)n^ ̸= anbn, ∀ n ∈ Z, se da la igualdad si ab = ba.

Definici´on 2 Diremos que un grupo G es finito si su n´umero de elementos es finito. A dicho n´umero de elementos le llamaremos orden del grupo, y lo denotamos por |G|.

ejemplos:

• (Zn, +), Sn son grupos finitos.

Definici´on 3 Diremos que H ⊂ G es subgrupo de G si es un grupo con la operaci´on de G, denotaremos H < G.

Es decir

H ⊂ G es subgrupo ⇔

  

∀ h, k ∈ H ⇒ hk ∈ H 1 ∈ H ∀ h ∈ H, h−^1 ∈ H

   ⇔

{ ∀ h, k ∈ H hk−^1 ∈ H

H ⊂ G finito, es subgrupo ⇔ ∀ h, k ∈ H ⇒ hk ∈ H

Si H es subgrupo de G y 1 ̸= H ̸= G diremos que H es subgrupo propio.

• Intersecci´on de subrupos H ∩ K es subgrupo. ∩ i∈ΓHi (cualquier conjunto de indices Γ) es subgrupo. Notas (i) La uni´on de subgrupos no es subgrupo en general: en Z, (3)Z ∪ (4)Z no es un subgrupo. (ii) El producto de subgrupos definido HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K} no es subgrupo en general, daremos condiciones para que lo sea mas adelante. En D 4 , { 1 , τ σ}{ 1 , τ } = { 1 , τ σ, τ, τ στ }, no es grupo ya que τ τ σ = σ no pertenece al conjunto.

Subgrupo generado por un subconjunto Sea S ⊂ G subconjunto, el subgrupo generado por S en G es:

< S >=

∩

Hi⊃S

Hi, Hi subgrupo de G

Es decir < S > es el menor subgrupo de G que contiene a S. Si < S >= G diremos que S es el conjunto de generadores de G. Un grupo G es finitamente generado si < S >= G y S es finito , es decir G =< a 1 ,... , an > (el grupo no tiene por que ser finito).

Proposici´on 1 Si S ⊂ G es un conjunto no vacio, entonces

< S >= {an 1 1 · · · an s s|s, ∈ N, ai ∈ S, 1 ≤ i ≤ s}

.

(x) Si o(a) = r, entonces

o(ak) =

r mcd(r, k)

en particular si d|r, se tiene o(ad) = r/d. Dejamos la demostraci´on para el lector.

Definici´on 6 Llamaremos centro de G a C(G) = {g ∈ G|xg = gx, ∀ x ∈ G}

C(G) es un subrupo abeliano de G. En cierto sentido es el mas grande subgrupo abeliano de G.

G es abeliano ⇔ C(G) es abeliano

1.2 Congruencias m´odulo un subgrupo

Sea H < G. En G definimos las relaciones m´odulo H: dados a, b ∈ G

• a ∼H b si a−^1 b ∈ H (por la derecha)
• aH ∼ b si ba−^1 ∈ H (por la izquierda)

Proposici´on 4 Las relaciones a ∼H b, aH ∼ b son de equivalencia.

Las clases de equivalencia por las relaciones son: [a] ∼H = {ah|h ∈ H} = aH, [a]H ∼= {ha|h ∈ H} = Ha, y los conjuntos cocientes

G ∼H

= {aH|a ∈ G},

G

H ∼^

= {Ha|a ∈ G}

Dadas dos clases aH, bH, aH = bH ⇔ b−^1 a ∈ H o a−^1 b ∈ H

Proposici´on 5 Si H < G se verifica:

(i) card(aH) = |H| = card(Ha) ∀ a ∈ G (ii) card( (^) ∼GH ) = card( (^) HG ∼ ).

demostraci´on. (i) Sea φ : H → aH definida por φ(h) = ah, es una biyecci´on, ⇒ card(aH) = |H|, (analogamente |H| = card(Ha). (ii) Se deduce de (i).

Llamaremos ´ındice de G en H, denotado por [G : H] a card( (^) ∼GH )

Teorema 1 Teorema de Lagrange Si H < G, entonces

G es finito ⇔ H y [G : H] son finitos, y en dicho caso |G| = [G : H]|H|, en particular si G es finito |H| divide a |G|.

demostraci´on. ⇒) evidente. ⇐) G =

∪r i=1 aiH^ (union disjunta de clases) siendo [G^ :^ H] =^ r, como cada clase tiene |H| = s elementos ⇒ |G| = [G : H]|H| = rs finito.

Nota El teorema anterior no asegura la existencia para cada divisor del orden de G de un sugrupo con dicho orden.

Corolario 1 teorema de los ´ındices. Dados dos subgrupos H, K de G con K ⊂ H ⊂ G, se verifica:

[G : K] es finito ⇔ [G : H] y [H : K] son finitos, y en dicho caso [G : K] = [G : H][H : K],

demostraci´on. (⇒) Supongamos [G : K] < ∞, como xK ⊆ xH ⇒ [G : H] < ∞ y como {xK|x ∈ H} ⊆ {xK|x ∈ G} ⇒ [H : K] ≤ [G : K] < ∞ (⇐) Supongamos [G : H] = r, [H : K] = s finitos ⇒ existen g 1 ,... , gr ∈ G, h 1 ,... , hs ∈ H

y G =

⊔r i=1 giH,^ H^ =^

⊔s j=1 hj^ K, (uniones disjuntas)^ ⇒ G =

⊔ i,j gihj K r.s^ clases (giH^ =^

⊔ gi(hj K), y gi(hj K) = gihj K) ⇒

Proposici´on 6 (i) Si G =< a 1 ,... , an > es finitamente generado, entonces

K
G ⇔ aika− i 1 ∈ K, y a− i 1 kai ∈ K, ∀ i, y ∀ k ∈ K. (ii) Si K =< k 1 ,... , kn > es finitamente generado, entonces K
G ⇔ akia−^1 ∈ K, ∀ i, y ∀ a ∈ G.

demostraci´on. (i) Sea a = ai 1 ai 2 · · · ais ⇒ aka−^1 = (ai 1 ai 2 · · · ais )k(ai 1 ai 2 · · · ais )−^1 = ai 1 ai 2 · · · ais ka− is^1 · · · a− i 21 a− i 11 = (ai 1 (ai 2 (· · · (ais ka− is 1 ) · · ·)a− i 21 )a− i 11 ) ⇒ (ais ka− is^1 ) ∈ K ⇒ · · · ⇒ (ai 2 (· · · (ais ka− is^1 ) · · ·)a− i 21 ) ∈ K ⇒ (ai 1 (ai 2 (· · · (ais ka− is^1 ) · · ·)a− i 21 )a− i 11 ) ∈ K. (ii) Analogamente a (i).

Llamaremos grupo simple si no tiene subgrupos normales propios distin- tos del { 1 }.

Proposici´on 7 Sea H, K subgrupos de G. Entonces

HK < G ⇔ HK = KH.

demostraci´on. (se deja al lector)

Corolario 2 Si K
G, H < G ⇒ HK < G, y KH < G.

Proposici´on 8 Sea H
G, K
G ⇒ HK
G, KH
G.

Grupo cociente Analogamente con el caso conmutativo consideramos el grupo cociente por un subgrupo normal.

Teorema 2 Sea G grupo y K subgrupo normal de G, entonces el cociente G/∼H = G/H ∼ es un grupo con la operaci´on (aK)(bK) = (ab)K, ∀ a, b ∈ G. El grupo se denota por G/K y se llama grupo cociente m´odulo K.

demostraci´on. Como la operaci´on est´a definida por los representantes de las clases, veamos que est´a bien definida,

sea aK = a′K, bK = b′K ⇔ a′a−^1 = k 1 ∈ K, b′b−^1 = k 2 ∈ K ⇔ a′^ = k 1 a, b′^ = k 2 b ⇒ a′b′^ = k 1 ak 2 b ⇒ (K normal) dado ak 2 , existe k 3 y ak 2 = k 3 a ⇒ a′b′^ = k 1 k 3 ab ⇒ a′b′(ab)−^1 ∈ K ⇒ a′b′K = abK.

Nota El elemento neutro del cociente es la clase del 1, 1K = K, y el inverso de aK es a−^1 K.

ejemplo: Sean D 4 = { 1 , σ, σ^2 , σ^3 , τ, στ, σ^2 τ, σ^3 τ }, y < σ >= { 1 , σ, σ^2 , σ^3 }
D 4 , D 4 / < σ >= {< σ >, < σ > τ } = {{ 1 , σ, σ^2 , σ^3 }, {τ, στ, σ^2 τ, σ^3 τ }}, es un grupo con dos elementos el neutro y otro de orden 2, es el mismo que Z 2.

Nota (i) Si G es abeliano cualquier cociente es abeliano y lo contario no es cierto como puede verse con el ejemplo anterior, D 4 / < σ > es abeliano por tener solo dos elementos, y D 4 no lo es.

(ii) Si G =< a > es c´ıclico el cociente G/K =< aK > es c´ıclico, pero el reciproco no es cierto como prueba el ejemplo anterior D 4 / < σ > es c´ıclico por tener solo dos elementos, y D 4 no lo es.

(iii) Si G es finito, cualquier cociente es finito, el reciproco no es cierto, Z/ < n >= Zn es finito, de orden n y Z no lo es.

1.3 Teoremas de isomorf´ıa

Definici´on 8 Dados G, G′^ grupos, una aplicaci´on f : G → G′^ es homomor- fismo de grupos si ∀ a 1 , a 2 ∈ G se tiene: f (a 1 a 2 ) = f (a 1 )f (a 2 )

demostraci´on. ⇒) Sea a ∈ ker(f ) ⇒ f (a) = 1 = f (1) ⇒ (por ser f inyectiva) a = 1 ⇐) Sea f (a) = f (b) ⇒ 1 = f (a)(f (b))−^1 = f (ab−^1 ) ⇒ ab−^1 ∈ ker(f ) = { 1 } ⇒ ab−^1 = 1 ⇒ a = b Nota. Lo anterior implica que todo homomorfismo f : G → G′^ con f (G) ̸= { 1 }, y G grupo simple es inyectivo.

• Dos grupos G, G′^ son isomorfos (G ≈ G′) si existe un isomorfismo f entre ellos y en dicho caso f −^1 : G′^ → G es tambi´en isomorfismo.

Teoremas de isomorf´ıa

Teorema 3 1 er^ teorema de isomorf´ıa: Sea f : G → G′^ homomorfismo de grupos. Entonces existe un ´unico isomorfismo f : G/ker(f ) → im(f ), tal que el diagrama siguiente

G f −→ G′ p ↓ ↑ i G/ker(f )

f ≈ (im(f )

es conmutativo, i.e. f = i ◦ f ◦ p

demostraci´on. Definimos f : G/ker(f ) → im(f ) como f (a(ker(f )) = f (a). f es homomorfismo inyectivo ya que si 0 = f (a(ker(f ))) = f (a) ⇒ a ∈ ker(f ) ⇒ a(ker(f )) = 1(ker(f )) f es suprayectivo ya que im(f ) = im(f ). f es ´unico, ya que si existe otro f ∗^ verificando lo mismo que f , ∀ a ∈ G f ∗(a(ker(f ))) = f (a) = f (a(ker(f ))).

Por ´ultimo ∀ a ∈ A, (i ◦ f ◦ p)(a) = (i ◦ f )(a(ker(f ))) = (i ◦ f )(a) = f (a). Nota El teorema anterior nos muestra que los homomorfismos de G en cualquier grupo dependen de los posibles subgrupos normales de G.

ejemplo: El homomorfismo f : Z → Zn, f (a) = k, con k < n, y a − k = λn verifica que ker(f ) = (n) y f : Z/ker(f ) ≈ Zn.

Teorema 4 Teorema de la correspondencia: Sea K
G (subgrupo normal). Entonces existe una biyecci´on φ

Γ = {H < G, H ⊃ K} φ ↔ Υ = {H < G/K } y adem´as si H ⊃ K, H es normal ⇔ H/K es normal

demostraci´on. Definimos para K ⊂ H ⊂ G subgrupo, φ(H) = H/K que se comprueba facilmente que es subgrupo de G/K

φ es inyectiva ya que si H/K = H′/K ⇒ ∀ b ∈ H, ∃ b′^ ∈ H′^ con bK = b′K

⇒ b−^1 b′^ = h ∈ K ⇒ b′^ = bh ∈ H ⇒ H′^ ⊂ H (an´alogo H ⊂ H′) Sea H
G, aKhKa−^1 K = aha−^1 K ⇒ como aha−^1 = h′^ ∈ H, aKhKa−^1 K ∈ H/K (similar en sentido contrario)

Teorema 5 2 o^ teorema de isomorf´ıa: Sea K, H subgrupos normales de G con K
H. Entonces H/K es subgrupo normal de G/K y

G/K H/K

G

H

demostraci´on. Definimos f : G/K → G/H ∀ a ∈ G, f (aK) = aH que es trivialmente homomorfismo suprayectivo.

f esta bien definido ya que si aK = a′K ⇒ a(a′)−^1 ∈ K ⊂ H ⇒ aH = a′H.

y como el nucleo ker(f ) = {bK : bH = 1H} = {bK : b ∈ H} = H/K, ⇒ H/K es subgrupo normal de G/K, (por el 1er^ teorema de isomorf´ıa) ⇒

G/K H/K

G

K

por I ≡ identidad y el producto de permutaciones lo consideraremos de derecha a izquierda. SX ≡ Grupo Sim´etrico o Grupo de las permutaciones de X

Consideremos X = { 1 , 2 ,... , n} tenemos Sn el grupo de las permuta- ciones de n elementos y |Sn| = n!.

A lo largo de esta secci´on estudiaremos el grupo sim´etrico Sn Denotamos γ ∈ Sn

γ ≡

( 1 2... n a 1 a 2... an

) , γ(i) = ai, ai ∈ { 1 , 2 ,... , n}

Definici´on 10 Llamaremos ciclos a las permutaciones σ ≡ (k 1 , k 2 ,... , kr), ki ∈ { 1 , 2 ,... , n}, r ≤ n, donde σ(ki) = ki+1, σ(kr) = k 1 , y σ(j) = j, ∀j ∈ { 1 , 2 ,... , n}, j /∈ {k 1 , k 2 ,... , kr}

Tenemos (k 1 , k 2 ,... , kr) = (kr, k 1 ,... , kr− 1 ) = · · · = (k 2 , k 3 ,... , k 1 ), el orden del ciclo σ ≡ (k 1 , k 2 ,... , kr) es r y σ−^1 = (kr, kr− 1 ,... , k 1 ) Llamaremos trasposici´on a un ciclo de orden 2, (k 1 , k 2 ), y se tiene (k 1 , k 2 )−^1 = (k 1 , k 2 )

Diremos que dos ciclos (k 1 , k 2 ,... , kr), (q 1 , q 2 ,... , qs) son disjuntos si {k 1 , k 2 ,... , kr} ∩ {q 1 , q 2 ,... , qs} = ∅

Nota Dos ciclos disjuntos conmutan entre s´ı y el orden del producto de dos ciclos disjuntos es el m´ınimo com´un m´ultiplo de los ordenes de los ciclos.

ejercicios (i) Para toda γ ∈ Sn, γ(k 1 , k 2 ,... , kr)γ−^1 = (γ(k 1 ), γ(k 2 ),... , γ(kr)). (ii) (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i). (iii) (1, i, j) = (1, 2 , j)^2 (1, 2 , i)(1, 2 , j), para todo j > 2.

A continuaci´on vamos a ver que las permutaciones son composici´on de ciclos disjuntos como se ve con el siguiente ejemplo

Ejemplo 1 En S 9 tenemos descomposici´on ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 7 4 1 9 6 8 2 5

) = (134)(278)(59)

Teorema 7 Toda permutaci´on es composici´on de ciclos disjuntos, univoca- mente determinados salvo el orden en la composici´on.

demostraci´on. Sea γ ∈ Sn. Fijado i ∈ { 1 , 2 ,... , n} consideramos el primer ciclo de la composici´on: σ 1 ≡ (γ(i), γ^2 (i),... , γr(i) = i), r < n, (si r = n hemos terminado) Consideremos j ∈ { 1 , 2 ,... , n} \ {γ(i), γ^2 (i),... , γr(i) = i}, y el segundo ciclo de la descomposici´on es σ 2 ≡ (γ(j), γ^2 (j),... , γs(j) = j) Continuando de manera similar, como n es finito obtendremos γ = σk · · · σ 2 σ 1 Los ciclos anteriores son disjuntos, ya que si γm(i) = γh(j) con h ≤ m, γm−h(i) = j, y entonces j ∈ {γ(i), γ^2 (i),... , γr(i) = i} que no es posible.

Por el procedimiento anterior ∀m ∈ { 1 , 2 ,... , n} si γ(m) = m′, el ciclo (... , m, m′,.. .) pertenece a la descomposici´on y esta univocamente deter- minado por γ y m. Por tanto solo puede variar el orden de las σj en la descomposici´on.

Dado que (k 1 , k 2 ,... , kr) = (k 1 , kr)(k 1 , kr− 1 ) · · · (k 1 , k 3 )(k 1 , k 2 ) tenemos

Corolario 3 Toda permutaci´on es composici´on de trasposiciones.

En la anterior composici´on ni el n´umero ni las trasposiciones son ´unicas. Por ejemplo (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i). Otra descomposici´on de un ciclo en producto de trasposiciones ser´ıa (k 1 , k 2 ,... , kr) = (k 1 , k 2 )(k 2 , k 3 ) · · · (kr− 1 , kr)

Por lo anterior el n´umero de trasposiciones en la descomposi´on de una permutaci´on no es ´unico, pero si lo es su paridad, es decir, el hecho de que este n´umero sea par o impar.

Nota. El conjunto de todas Las permutaciones pares An forman un subgrupo de Sn, dado que el producto de dos permutaciones pares es par (suma de pares) y que la identidad I = (a, b)(a, b) es tambien par (las impares no lo forman).

Veamos que el n´umero de elementos de An es la mitad que el n´umero de elementos de Sn.

Definimos ε : Sn → { 1 , − 1 } ≈ Z 2 , por ε(γ) = 1 si la permutac´on es par y ε(γ) = −1 si la permutaci´on es impar. Por lo anterior ε(γ) = (−1)m^ si γ es producto de m trasposiciones. Por tanto ε(γγ′) = ε(γ)ε(γ′) Por ejemplo un ciclo σ de orden r es ε(σ) = (−1)r−^1 , es decir σ es par si su orden es impar y viceversa.

Definici´on 12 Llamaremos grupo alternado An al conjunto de todas las per- mutaciones pares de Sn.

Corolario 4 El grupo alternado An es un subgrupo normal de Sn y su orden es | An |= (1/2) | Sn |.

demostraci´on. ε : Sn → { 1 , − 1 } ≈ Z 2 es un homomorfismo suprayectivo. El n´ucleo de ε es An, y por lo tanto An
Sn. Por el primer teorema de isomorfia Sn/ker(ε) ≈ Z 2 , y por el teorema de Lagrange

| Sn | / | An |≃| Z 2 |= 2 2 A 4 no es simple, ya que {I, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
A 4. En los demas casos no existen subgrupos normales de An

Teorema 9 (Lema de Abel) An es simple para todo n ≥ 5.

(demostraci´on no elemental)

1.5 Algunos grupos finitos

En esta secci´on daremos algunos ejemplos de grupos finitos.

Proposici´on 10 Sea |G| = p con p primo, entonces G es c´ıclico.

demostraci´on. Sea a ∈ G, a ̸= 1 ⇒ < a >< G y por el teorema de lagrange o(a)|p ⇒ o(a) = p y G =< a > c´ıclico, mas a´un G ≈ Zp.

Grupos de orden ≤ 8.

Consideramos grupos G con orden n, 2 ≤ n ≤ 8

• n = 2, 3 , 5 , 7, G es isomorfo a Z 2 , Z 3 , Z 5 , Z 7.
• n = 4, sea a ∈ G, a ̸= 1, < a >< G, o(a)|4. Tenemos dos casos:

(i) 0(a) = 4 ⇒ G =< a >≈ Z 4.

(ii) No hay elementos de orden 4 ⇒ G = { 1 , a, b, c} con o(a) = o(b) = o(c) = 2, y a = a−^1 , b = b−^1 , c = c−^1 , y por tanto ab = c, ya que si ab = a ⇒ b = 1 y si ab = b ⇒ a = 1. Entonces G = { 1 , a, b, ab} y como o(ab) = 2 ⇒ abab = 1 ⇒ ababb = b ⇒ aaba = ab ⇒ ba = ab, y G es abeliano, con G ≈ Z 2 × Z 2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}.

• n = 6, supongamos

(i) Existe a ∈ G con o(a) = 6 ⇒ G =< a >≈ Z 6.

(ii) Supongamos existe a ∈ G, con o(a) = 3, (y no hay de orden 6), entonces

< a >= { 1 , a, a^2 }
G (por ser de ´ındice 2) ⇒ G/ < a >= {< a >, b < a >}, b ∈ G, b /∈< a > ⇒ G = { 1 , a, a^2 } ∪ {b, ba, ba^2 }, y falta determinar cuanto vale ab.