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Tema 2
Estructuras algebraicas
b´asicas
2.1. Operaci´on interna
Definici´on 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composi- ci´on en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota por “ ⊕”, a una aplicaci´on^1 :
⊕ : A × B −→ C (a, b) −→ f (a, b) = a ⊕ b = c ∈ C
Definici´on 30. Dada ⊕ : A × B → C, se dir´a que la ley de composici´on ⊕ es interna si A = B = C.
Por lo tanto, una ley de composici´on ⊕ : A × A → A es una ley de composici´on interna.^2
Ejemplo 23. La suma y el producto ordinarios en R, denotados respectiva- mente por “ +” y “ ·”, son leyes de composici´on interna:
- : R × R −→ R (x, y) −→ z = x + y
· : R × R −→ R
(x, y) −→ z = x · y
Ejemplo 24. La operaci´on resta no es una operaci´on interna en N, ya que el resultado de restar entre s´ı n´umeros naturales puede producir n´umeros negativos, que no est´an en N. Por ejemplo: 1 , 2 ∈ N pero 1 − 2 = − 1 6 ∈ N. (^1) A una ley de composici´on de A × B → C se le conoce, tambi´en, con el nombre de operaci´on binaria. La notaci´on ⊕ es arbitraria, y podr´ıa elegirse cualquier otra. A lo largo de este cap´ıtulo se utilizar´an diversos s´ımbolos para representar este tipo de leyes de composici´on: ⊕, ⊗, Ø, ∗, ·, +, ·. (^2) Una ley de composici´on interna se llama, tambi´en, operaci´on binaria interna u operaci´on interna.
38 TEMA 2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS B ASICAS´
De la misma forma, la operaci´on divisi´on no es interna en ninguno de los conjuntos num´ericos habituales N, Z, Q, R o C, ya que el resultado que se obtendr´ıa al dividir entre 0 no est´a definido en ninguno de estos conjuntos. Visto desde otra perspectiva: s´olo determinadas operaciones resultan in- ternas en cada conjunto. As´ı pues, parece necesario definir las leyes que no son internas:
Definici´on 31. Dados dos conjuntos A y B, se llama ley de composici´on externa a una aplicaci´on A × A → B, que a todo par de elementos de A asocia un elemento de B.
La resta entre n´umeros naturales, del ejemplo anterior, resulta as´ı una operaci´on externa de la forma N × N → Z. Pero existe otra forma de ley de composici´on externa, con dos variantes:
Definici´on 32. Dados dos conjuntos A y B, se dice que una aplicaci´on de la forma: Ø : A × B −→ A (a, b) −→ c = a ∗ b
es una ley de composici´on externa por la derecha, y a los elementos del conjunto B se les llama multiplicadores o escalares de la operaci´on^3. Si la aplicaci´on es de la forma:
Ø : B × A −→ A (b, a) −→ c = b Ø a
se dir´a que es una ley de composici´on externa por la izquierda.
Ejemplo 25. Un ejemplo t´ıpico de operaci´on externa es el producto de un escalar por vector en un espacio vectorial, que se ver´a con detalle en la secci´on siguiente. Si llamamos K al conjunto de escalares (cuerpo) sobre el que definiremos el espacio vectorial V , un producto de un escalar de K por un vector de V ser´a de la forma:
- (^) : K × V −→ V (λ, v) −→ u = λ · v
Ejemplo 26. Un caso particular del ejemplo anterior es el producto de escalares por funciones reales de variable real. Si A es el conjunto de las funciones reales de variable real, f ∈ A es una funci´on de A, R el conjunto de los n´umeros reales y k ∈ R un n´umero real, la aplicaci´on
−→ (k · f ) (x) = kf (x), ∀ x ∈ R
resulta ser una operaci´on externa en A.
(^3) Esta ley se llama, tambi´en, operaci´on externa por la derecha.
40 TEMA 2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS B ASICAS´
Elemento regular o simplificable Se dice que el elemento a ∈ A es re- gular o simplificable para la ley de composici´on interna “ ⊕” si se verifica:
Si a ⊕ a 1 = a ⊕ a 2 ⇒ a 1 = a 2 , ∀ a 1 , a 2 ∈ A
y: Si a 1 ⊕ a = a 2 ⊕ a ⇒ a 1 = a 2 , ∀ a 1 , a 2 ∈ A
La estructura de espacio vectorial, entre otras, constituye la base so- bre la que se apoya el Algebra Lineal. Los espacios vectoriales son es-´ tructuras matem´aticas que cumplen unas determinadas propiedades. Estas propiedades son poco restrictivas, de forma que numerosos problemas reales pueden modelizarse mediante espacios vectoriales. Para abordar el estudio de los espacios vectoriales recordaremos previa- mente una serie de definiciones de conceptos que son la base sobre la que se apoya la definici´on de espacio vectorial. Hemos utilizado como ejemplo de estructuras los conjuntos de n´umeros N, Z, Q, R y C que se estudiar´an con detalle en el cap´ıtulo siguiente.
Definici´on 33. Se llama estructura algebraica a un conjunto A y unas operaciones ⊕, ⊗, Ø,... –internas o externas– definidas en ´el, de forma que se verifican ciertas propiedades. Se denota por (A, ⊕, ⊗, Ø,.. .).
Se exponen a continuaci´on las estructuras m´as habituales, y las nece- sarias para llegar, finalmente, al espacio vectorial.
2.2. Grupos
Definici´on 34. Se llama grupo a una estructura (G, ⊗) que verifica las propiedades:
- (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z) , ∀ x, y, z ∈ G (Propiedad Asociativa)
- ∃ e ∈ G
x ⊗ e = e ⊗ x = x, ∀ x ∈ G (Existencia de Elemento Neutro)
- ∀x ∈ G ∃ y ∈ G
y ⊗ x = x ⊗ y = e (Existencia de Elemento Sim´etrico)
Definici´on 35. Se llama grupo conmutativo ´o Abeliano a un grupo (G, ⊗) que verifica:
- x ⊗ y = y ⊗ x, ∀ x, y ∈ G (Propiedad conmutativa)
Ejemplo 1. En el grupo (R, +) el elemento neutro es el “ 0 ” y el elemento sim´etrico es el elemento opuesto (−x). De la misma forma, en el grupo (R 0 = R − { 0 }, ·) el elemento neutro es el “ 1 ” y el elemento sim´etrico es el inverso^6 (1/x). Ambos son grupos conmutativos. Adem´as:
(^6) Quiz´as con m´as precisi´on, a ´este elemento se le denomina tambi´en rec´ıproco.
2.3. ANILLOS 41
- Los conjuntos Z, Q, R y C son grupos abelianos respecto a la suma ordinaria
- Los conjuntos Q 0 , R 0 y C 0 son grupos abelianos respecto al producto (sin el “ 0 ”)
- El conjunto Mm×n(R) de matrices con m filas y n columnas y coefi- cientes en R es un grupo conmutativo respecto a la suma matricial.^7
2.3. Anillos
Se analizar´an a continuaci´on los anillos, un tipo de estructuras con dos operaciones relacionadas entre s´ı. Estructuras algebraicas de este tipo son los conjuntos num´ericos Z, Q y R, de forma que estas estructuras resultan relativamente familiares; esto, no obstante, puede resultar un inconveniente porque anima a generalizar las propiedades a las que se est´a acostumbrado al manejar n´umeros. Esto, como se ver´a, no es siempre acertado.
Definici´on 36. Se llama anillo, y se denota por (A, ⊕, Ø), a un conjunto A dotado de dos operaciones “ ⊕” y “ Ø” que verifica las propiedades siguientes:
- (A, ⊕) es un grupo abeliano. Su elemento neutro lo denotaremos como
- (x Ø y) Ø z = x Ø (y Ø z) , ∀ x, y, z ∈ A (propiedad asociativa)
x Ø (y ⊕ z) = (x Ø y) ⊕ (x Ø z) (x ⊕ y) Ø z = (x Ø z) ⊕ (y Ø z)
∀x, y, z ∈ A (prop. distributiva)
Definici´on 37. (A, ⊕, Ø) se llamar´a anillo unitario si verifica:
- ∃ •^ ¯e ∈ A
x Ø e¯ = ¯e Ø x = x, ∀ x ∈ A
Definici´on 38. (A, ⊕, Ø) se llamar´a anillo conmutativo si verifica:
- x Ø y = y Ø x, ∀ x, y ∈ A (propiedad conmutativa)
Definici´on 39. Un elemento x de un anillo unitario (A, ⊕, Ø) se dice in- versible si posee sim´etrico respecto de la segunda operaci´on, “Ø”, es decir existe y ∈ A tal que x Ø y = y Ø x = ¯e
Ejemplo 27. En el anillo (Z, +, ·) los ´unicos elementos inversibles son el 1 y el − 1 , de forma que (−1) · (−1) = 1 · 1 = 1 (el 1 es el elemento neutro para la operaci´on “·”). Esto choca directamente con lo que sucede en el anillo
(^7) Si A = (aij ), B = (Bij ) ∈ Mm×n(R) son dos matrices reales, la suma A + B = (aij + bij )
2.4. CUERPOS 43
2.4. Cuerpos
Definici´on 41. Se llama cuerpo a un anillo unitario (K, ⊕, Ø), tal que (K − { 0 }, Ø) es un grupo, es decir todo elemento x ∈ K distinto de 0 es inversible respecto de Ø.
Si el anillo (K, ⊕, Ø) es conmutativo, se dice que el cuerpo K es conmu- tativo.
Ejemplo 2. Los conjuntos Q, R y C son cuerpos conmutativos respecto a las operaciones suma y producto ordinarias. El anillo Zm es un cuerpo si m es un n´umero primo y son la base para la construcci´on de cualquier cuerpo finito cuyo cardinal es siempre de la forma pn, siendo p un primo y n un n´umero natural. Estos cuerpos se utilizan en Criptograf´ıa, Teor´ıa de C´odigos, etc.
2.5. Espacios Vectoriales
Definici´on 42. Se dice que un conjunto V tiene estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo K si:
- En V hay definida una operaci´on interna (suma) que confiere a V estructura de grupo abeliano
- En V hay definida una operaci´on externa (producto)
: K × V → V
que verifica las siguientes operaciones:
- λ (u + v) = λu + λv, ∀ u, v ∈ V, ∀ λ ∈ K
- (λ + μ) u = λu + μu, ∀ u ∈ V, ∀ λ, μ ∈ K
- λ (μu) = (λμ) u, ∀ u ∈ V, ∀ λ, μ ∈ K
- 1 · u = u, ∀ u ∈ V
Los elementos del espacio vectorial reciben el nombre de vectores, y los elementos del cuerpo K escalares.
Ejemplo 29. Son ejemplos de espacios vectoriales Rn, Cn, Znm, para cualquier natural n, (en general Kn, si K es un cuerpo) y Mm×n(R).
Sea V un K-espacio vectorial. Si ∅ 6 = U ⊆ V es un subconjunto no vac´ıo de V , se dice que U es un subespacio vectorial de V , si U es un espacio vectorial sobre K, considerando en U las mismas operaciones definidas en V.
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Proposici´on 2. Sea ∅ 6 = U ⊆ V un subconjunto no vac´ıo de V , son equiv- alentes:
- U es un subespacio vectorial de V
- Dados ~u, u~′^ ∈ U y α ∈ K, se tiene que ~u + u~′^ ∈ U y α~u ∈ U
- Dados ~u, u~′^ ∈ U y α, β ∈ K, se tiene que α~u + β u~′^ ∈ U
Sea V un K-espacio vectorial y sea S = {~v 1 , ~v 2 ,... , ~vp} un subconjunto cualquiera de vectores de V. Una combinaci´on lineal de los vectores de S es un vector ~v que se escribe como
~v = α 1 ~v 1 + α 2 ~v 2 + · · · αp~vp =
∑^ p
i=
αi~vi.
donde αi ∈ K.
Ejemplos 2. 1. ~ 0 es combinaci´on lineal de cualquier conjunto de vec- tores sin m´as que tomar αi = 0 para todo i.
- En R^3 , se tiene que
(1, 1 , 0) = (−1)(2, 1 , −1) + 1(3, 2 , −1)
Proposici´on 3. El conjunto {combinaciones lineales de S} es un subespa- cio vectorial de V llamado subespacio generado o engendrado por S y se denota < S >
Definici´on 43. Sea S = {~v 1 , ~v 2 ,... , ~vp} un conjunto de vectores de V. Se dice que S es un conjunto libre o un conjunto de vectores linealmente independientes si, para toda combinaci´on lineal de los vectores de S:
∑^ p
i=
αi~vi = α 1 ~v 1 + · · · + αp~vp = ~ 0 ,
se tiene que αi = 0, para todo i. Equivalentemente, S es libre si, ning´un vector de S es combinaci´on lineal de los dem´as.
An´alogamente, se define:
Definici´on 44. Sea S = {~v 1 , ~v 2 ,... , ~vp} un conjunto de vectores de V. Se dice que S es un conjunto ligado o un conjunto de vectores linealmente dependientes si, existe una combinaci´on lineal de los vectores de S:
∑^ p
i=
αi~vi = α 1 ~v 1 + · · · + αp~vp = ~ 0 ,
donde alg´un αi 6 = 0. Equivalentemente, S es ligado si, alg´un vector de S es combinaci´on lineal de los dem´as.
