¡Descarga Geometría Analítica: Ejercicios Resueltos de Coordenadas Cartesianas y Aplicaciones y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
COORDENADAS CARTESIANAS
𝟏. La policía de turismo asocia un sistema cartesiano al
plano de un circuito. Si un templo está ubicado en el punto
𝑨(−𝟕; 𝟐) y unas ruinas en el punto 𝑩(𝟓; 𝟕), calcular la
distancia que hay entre ambos lugares.
A. 11 𝑚
B. 15 𝑚
C. 17 𝑚
D. 13 𝑚
E. 16 𝑚
SOLUCIÓN:
Graficando los puntos A y B en el plano cartesiano:
Calculando la distancia entre el templo y las ruinas:
2
1
2
2
1
2
Luego:
2
2
2
2
Por lo tanto:
RPTA. D
𝟐. Determine el tipo de triángulo, si tiene como coordenadas
los puntos 𝑨(𝟐; −𝟐), 𝑩 (−𝟑; −𝟏) 𝒚 𝑪(𝟏; 𝟔).
A. Escaleno
B. Equilátero
C. Isósceles
D. Rectángulo
E. Obtusángulo
SOLUCIÓN:
Graficamos los datos en el plano cartesiano:
Luego calculamos:
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
Por lo tanto, el triángulo es isósceles.
RPTA. C
𝟑. Si la casa de Paolo se ubica en el punto 𝑨(−𝟔; 𝟑) y la de su
amiga en el punto 𝑩(𝟒; −𝟑), y ellos asisten a una academia
de karate. Hallar las coordenadas del punto donde se ubica
la academia si esta se encuentra sobre la línea imaginaria
que las une y de igual distancia de ambas casas.
A. (− 1 ; 0 )
B. (− 2 ; 3 )
C.
D.
E. ( 0 ; 2 )
SOLUCIÓN:
Graficamos los datos en el plano cartesiano:
Hallamos las coordenadas del punto M(x;y) donde se
encuentra la academia:
1
2
1
2
Por lo tanto, las coordenadas donde se encuentra la
academia es: 𝑀
RPTA. A
𝟒. Uno de los extremos del segmento 𝑨𝑩
de longitud 𝟓𝒖 es el
punto 𝑨(𝟑; −𝟐). Hallar las coordenadas del otro extremo si
su abscisa es 𝟔.
A. 𝐵
B. 𝐵( 6 ; − 6 ) ⋁ 𝐵( 6 ; 2 )
C. 𝐵( 6 ; 6 ) ⋁ 𝐵( 6 ; − 6 )
D. 𝐵( 6 ; − 2 ) ⋁ 𝐵(− 6 ; − 6 )
E. 𝐵
SOLUCIÓN:
Graficando el segmento:
Aplicando distancia entre dos puntos:
2
2
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2
2
2
2
2
2
2
2
Entonces: 𝑦 = − 6 ∨ 𝑦 = 2
Por lo tanto, las coordenadas son: ( 6 ; − 6 ) y ( 6 ; 2 )
RPTA. B
𝟓. Sea el triángulo 𝐀𝐁𝐂 donde 𝐀
Calcule la longitud de la mediana trazada desde el vértice 𝐀
A. 4 𝑢
B. 3 𝑢
C. 6 𝑢
D. 5 𝑢
E. 7 𝑢
SOLUCIÓN:
Graficamos los puntos en el plano cartesiano:
Luego hallamos el punto medio M:
M = (
M = ( 4 ; 2 )
Ahora hallamos la longitud de la mediana AM
𝑑(AM
2
1
2
2
1
2
𝑑(AM
2
2
𝑑(AM
2
2
𝑑(AM
Por lo tanto, la longitud de la mediana es 5 𝑢.
RPTA. D
𝟔. Los puntos 𝐌(−𝟕; 𝟖) 𝒚 𝐍(−𝟑; 𝟑) son los extremos del
diámetro de una circunferencia. Hallar la medida de la
longitud de la circunferencia.
A. √ 32 𝜋
B.
C.
D.
E.
SOLUCIÓN:
Graficamos la circunferencia y ubicamos los datos:
Luego hallamos la longitud del diámetro:
𝑑(MN
2
2
𝑑(MN
2
2
𝑑(MN
𝑑(MN
Por lo tanto, la longitud de la circunferencia es: 𝐿
𝑐
𝑐
RPTA. E
𝟕. Tres amigas Rosa, Yesenia y Cinthia se ubican en los
𝑹(𝟐; 𝟗), 𝒀(−𝟐; 𝟓) y 𝑪(𝟑; −𝟐) respectivamente. Hallar el
baricentro "𝑮" del triángulo formado por ellas.
A. 𝐺( 3 ; 2 )
B. 𝐺
C. 𝐺
D. 𝐺( 1 ; 4 )
E. 𝐺( 2 ; 3 )
SOLUCIÓN:
Graficando se tiene que:
Si "𝑀" es punto medio: 𝑀
El punto "𝐶" es: 𝐶( 15 ; 0 )
Por la fórmula del Baricentro se tiene:
1
2
3
1
2
3
Reemplazando:
RPTA. A
𝟏𝟏. Si 𝑮(𝟑; 𝟒) es el baricentro de un triángulo 𝑨𝑩𝑪 y
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏𝟗
𝟑
) son los baricentros de los triángulos
formados uniendo 𝑮 con los vértices 𝑨, 𝑩 y 𝑪; determinar las
coordenadas de estos vértices.
A. 𝐴 = ( 2 ; − 2 ), 𝐵 = ( 8 ; 10 ), 𝐶 = (− 2 ; 4 )
B. 𝐴 =
C. 𝐴 = ( 1 ; − 1 ), 𝐵 = ( 8 ; 10 ), 𝐶 = (− 2 ; 5 )
D. 𝐴 = ( 3 ; − 3 ), 𝐵 = ( 6 ; 8 ), 𝐶 = (− 1 ; 4 )
E. 𝐴 =
SOLUCIÓN:
Graficando tenemos:
Por fórmula del baricentro:
En el triángulo ABC tenemos:
1
2
3
1
2
3
En el triángulo AGC tenemos:
1
3
1
3
2
1
3
1
3
2
En el triángulo BGC tenemos:
2
3
2
3
1
2
3
2
3
1
Por lo tanto:
3
3
Entonces:
RPTA. B
𝟏𝟐. Una recta pasa por los puntos (−𝟐; 𝟏) y (𝟗; 𝟕) otra pasa
por los puntos (𝟑; 𝟗) y (−𝟐; 𝟖). Determine al ángulo agudo
que forman estas rectas.
A. 45°
B. 135°
C. 60°
D. 53°
E. 75°
SOLUCIÓN:
Con los puntos:
1
Calculamos la pendiente: 𝑚
1
1 − 7
− 2 − 9
6
11
Con los puntos:
2
2
Por fórmula de ángulo entre rectas tenemos:
2
1
2
1
17
5
6
11
17
5
6
11
157
55
157
55
Entonces:
RPTA. A
ECUACIÓN DE LA RECTA. CLASES, PROBLEMAS
𝟏𝟑. En el gráfico, si ABCD es un cuadrado, hallar la
ecuación de la recta "𝓛".
A. 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0
B. 2 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
C. 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
D. 𝑥 − 2 𝑦 + 5 = 0
E. 𝑥 − 𝑦 − 7 = 0
SOLUCIÓN:
Nos piden hallar la ecuación de 𝓛.
Como ABCD es un cuadrado:
Del gráfico tenemos:
- Punto de paso: 𝐶( 8 ; 3 )
- Pendiente: 𝑚 = 𝑡𝑔45° → 𝑚 = 1
Reemplazamos en la ecuación de la recta:
𝑜
𝑜
Por lo tanto:
RPTA. A
𝟏𝟒. Hallar la ecuación de la recta "𝓛" en el siguiente gráfico,
si E y F son puntos de tangencia.
A. 3 𝑥 + 4 𝑦 + 10 = 0
B. 4 𝑥 − 5 𝑦 − 20 = 0
C. 4 𝑥 + 5 𝑦 − 36 = 0
D. 3 𝑥 − 4 𝑦 − 10 = 0
E. 2 𝑥 + 5 𝑦 + 10 = 0
SOLUCIÓN:
Nos piden hallar la ecuación de 𝓛.
Del gráfico tenemos:
- Punto de paso: 𝐵( 9 ; 0 )
- Pendiente:
4 − 0
4 − 9
4
5
Reemplazamos en la ecuación de la recta:
𝑜
𝑜
Por lo tanto:
RPTA. C
𝟏𝟓. Si “𝒏” representa el número de nietos que tiene Don
José. Además “𝒏” es igual a la suma de coeficientes de la
ecuación general de la recta "𝓛". ¿Cuántos nietos tiene Don
José?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
SOLUCIÓN:
Del gráfico tenemos:
- Punto de paso: 𝐴( 1 ; 4 )
- Pendiente:
7 − 4
3 − 1
3
2
Reemplazamos en la ecuación de la recta:
𝑜
𝑜
Por lo tanto:
Nos piden:
∴ 𝐷𝑜𝑛 𝐽𝑜𝑠é 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 6 𝑛𝑖𝑒𝑡𝑜𝑠
RPTA. E
SOLUCIÓN:
Nos piden hallar la ecuación simétrica de 𝓛.
Del gráfico tenemos:
La ecuación simétrica de la recta:
RPTA. B
𝟐𝟎. La pendiente de una recta es
𝟓
𝟑
e intercepta al eje “y” en
𝑻(𝟎; 𝟏𝟖). Determine la ecuación general de la recta.
A. 3 𝑥 + 5 𝑦 − 54 = 0
B. 3 𝑥 − 5 𝑦 − 54 = 0
C. 3 𝑥 − 5 𝑦 + 27 = 0
D. 5 𝑥 − 3 𝑦 − 54 = 0
E. 5 𝑥 − 3 𝑦 + 54 = 0
SOLUCIÓN:
Graficando:
Nos piden hallar la ecuación de 𝓛.
La ecuación de la recta:
RPTA. E
𝟐𝟏. Una recta interseca a los ejes coordenados
determinando un segmento cuyo punto medio es 𝑴(𝟑; 𝟒). La
ecuación de la recta es:
A. 4 𝑥 + 3 𝑦 − 24 = 0
B. 4 𝑥 − 3 𝑦 − 24 = 0
C. 4 𝑥 − 3 𝑦 + 24 = 0
D. 4 𝑥 + 3 𝑦 + 24 = 0
E. 4 𝑥 − 𝑦 − 24 = 0
SOLUCIÓN:
Graficando los datos:
Por punto medio del segmento AB:
La pendiente de la recta:
Nos piden hallar la ecuación de ℒ.
𝑜
𝑜
Por lo tanto:
RPTA. A
𝟐𝟐. Hallar la ecuación de la recta que pasa por 𝑷(𝟓; 𝟔) y por
el baricentro del triángulo con vértices en los puntos,
A. 3 𝑥 + 7 𝑦 − 27 = 0
B. 3 𝑥 + 7 𝑦 + 27 = 0
C. 3 𝑥 − 7 𝑦 + 27 = 0
D. 3 𝑥 − 7 𝑦 − 27 = 0
E. 3 𝑥 − 7 𝑦 + 24 = 0
SOLUCIÓN:
Graficando los datos:
En el baricentro del △ 𝐴𝐵𝐶:
Pendiente:
Nos piden hallar la ecuación de ℒ.
𝑜
𝑜
Por lo tanto:
RPTA. C
𝟐𝟑. Halle la ecuación de la mediatriz del segmento que se
forma al interceptarse con los ejes coordenados la recta
A. 6 𝑥 − 8 𝑦 + 7 = 0
B. 6 𝑥 + 8 𝑦 + 7 = 0
C. 6 𝑥 + 8 𝑦 − 7 = 0
D. 6 𝑥 − 8 𝑦 − 7 = 0
E. 3 𝑥 + 4 𝑦 − 7 = 0
SOLUCIÓN:
Graficando la recta y calculando los interceptos con los ejes
tenemos:
Punto medio: (
0 + 3
2
− 4 + 0
2
3
2
Pendiente: 𝑚 𝐿
0 −(− 4 )
3 − 0
4
3
Si: 𝐿 ⊥ 𝐿 1
𝐿
1
1
3
4
1
3
4
3
2
1
RPTA. B
𝟐𝟒. Los vértices de un triángulo son los puntos 𝑨 (𝟏; 𝟎),
𝑩 (−𝟒; 𝟓) 𝒚 𝑪 (𝟐; 𝟖). Halle la longitud de la altura relativa al
lado BC.
A. √ 5 𝑢
B. 2
C. 3
D. 5
E. 5 √ 3 𝑢
SOLUCIÓN:
Graficando:
Hallando la pendiente BC de la figura:
𝐿
De ahí la ecuación de la recta BC será:
Calculando la distancia del punto A a la recta que pasa por
BC:
2
2
RPTA. C
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
𝟐𝟓. Hallar la distancia del punto 𝑨(𝟒; 𝟒) al centro de la
circunferencia de ecuación 𝓒: 𝒙
𝟐
𝟐
A. √ 3
B. 5
C.
D. 7
E. √ 53
SOLUCIÓN:
El centro de la circunferencia es:
Nos piden:
2
2
RPTA. E
𝟐𝟔. Hallar la ecuación de la circunferencia tal que los
extremos de su diámetro son 𝑨(−𝟏; −𝟐) y 𝑩(𝟕; 𝟒).
A. (𝑥 − 3 )
2
2
B. (𝑥 + 2 )
2
2
C. (𝑥 − 3 )
2
2
D. (𝑥 + 5 )
2
2
E. (𝑥 − 3 )
2
2
𝟑𝟎. El servicio sismológico de Arequipa detectó un sismo
con origen en la ciudad de Arequipa a 7 km del Oeste y 9 km
al norte del centro de la ciudad con un radio de 15 km a la
redonda. Halle la ecuación de la circunferencia del área
afectada.
A. (𝑥 − 7 )
2
2
B. (𝑥 − 9 )
2
2
C. (𝑥 + 7 )
2
2
D. (𝑥 + 7 )
2
2
E. (𝑥 − 7 )
2
2
SOLUCIÓN:
Tomando como referencia los puntos cardinales en el plano
cartesiano se tiene:
De la circunferencia:
𝐶(− 7 ; 9 ) y 𝑅 = 15
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
2
2
RPTA. C
𝟑𝟏. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
𝟐
𝟐
= 𝟐𝟓 en el punto 𝑨(−𝟓; 𝟕).
A. 3 𝑥 − 4 𝑦 + 43 = 0
B. 2 𝑥 − 4 𝑦 + 36 = 0
C. 2 𝑥 + 3 𝑦 + 50 = 0
D. 3 𝑥 − 4 𝑦 + 15 = 0
E. 3 𝑥 + 2 𝑦 + 3 = 0
SOLUCIÓN:
De la ecuación de la circunferencia:
𝐶(− 2 ; 3 ) y 𝑅 = 5
Además del gráfico:
ℒ 𝑁
ℒ 𝑁
Entonces:
ℒ
𝑇
Finalmente, la ecuación de la recta tangente será:
𝑇
RPTA. A
𝟑𝟐. Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia
𝟐
𝟐
= 𝟓 en el punto 𝑨(−𝟏; 𝟐).
A. 2 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
B. 𝑥 − 2 𝑦 + 5 = 0
C. 𝑥 − 2 𝑦 + 15 = 0
D. 3 𝑥 + 𝑦 + 7 = 0
E. 2 𝑥 − 𝑦 + 6 = 0
SOLUCIÓN:
De la ecuación de la circunferencia:
𝐶( 0 ; 0 ) y 𝑅 = √
Además del gráfico:
También tenemos que:
ℒ 𝑁
ℒ
𝑁
Entonces:
ℒ 𝑇
Finalmente, la ecuación de la recta tangente será:
𝑇
RPTA. B
𝟑𝟑. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la
circunferencia 𝓒: 𝒙
𝟐
𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟎 que son
perpendiculares a la recta 𝓛: 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟎.
A. ℒ
𝑇 1
𝑇 2
B. ℒ
𝑇
1
𝑇
2
C. ℒ
𝑇 1
𝑇 2
D. ℒ
𝑇 1
𝑇 2
E. ℒ
𝑇 1
𝑇 2
SOLUCIÓN:
De la ecuación:
2
2
Encontramos el centro:
De la fórmula:
2
2
− 𝐸
Luego, el radio:
2
2
− 0
En la ecuación de la recta:
ℒ
La pendiente de la tangente es: 𝒎 𝓛 𝑻
La ecuación de la tangente será:
ℒ
𝑇
Pero: 𝑑
𝑇
2
2
Finalmente, las ecuaciones de las rectas serán:
𝑇
1
𝑇
2
RPTA. B
𝟑𝟒. Hallar las componentes del centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo determinado por los ejes
coordenados y la recta 𝓛: 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟔 = 𝟎.
A. 𝐶 (−
1
2
1
2
B. 𝐶
1
2
1
2
C. 𝐶 (−
1
5
1
5
D. 𝐶 (
2
3
1
2
E. 𝐶 (−
1
2
1
2
SOLUCIÓN:
Graficando los datos:
La distancia del centro a la recta es:
2
2
De donde tendremos:
Para: ℎ = − 3 el centro caería fuera del triángulo, con ello
queda descartado el resultado.
Para; ℎ = −
1
2
el centro es 𝐶 (−
1
2
1
2
RPTA. E
𝟑𝟓. Una recta 𝑳
↔
pasa por el punto 𝑨(𝟎; 𝟎) y también por el
centro de una circunferencia de radio 2 tangente a los
semiejes positivos de coordenadas rectangulares.
Determina la ecuación de la recta perpendicular a 𝑳
↔
y que
contiene al punto 𝑸(𝟑; 𝟕)
A. 𝑥 + 𝑦 − 10 = 0
B. 𝑥 − 𝑦 − 10 = 0
C. 𝑥 + 𝑦 + 10 = 0
D. 𝑥 − 𝑦 + 10 = 0
E. 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
SOLUCIÓN:
Graficando se tiene:
Se deduce que: 𝑥 = 𝑦 pues 𝐿
↔
pasa por (𝑟; 𝑟) entonces la
pendiente de 𝐿
es: 𝑚 = 1 y como 𝐿
1
entonces la
pendiente de 𝐿
1
es: 𝑚
1
= − 1 además 𝐿
1
pasa por el punto
Luego: 𝑚
1
𝑦− 7
𝑥− 3
Finalmente:
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐿
1
RPTA. A
SOLUCIÓN:
Graficando se tiene:
La ecuación de la parábola será de la forma:
2
2
Del gráfico, se deduce que 𝑝 = 2 , entonces:
2
2
RPTA. E
𝟒𝟎. Dada la ecuación de la parábola 𝒙
𝟐
Hallar la suma de los elementos del vértice.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
SOLUCIÓN:
Completando cuadrados tenemos:
2
𝟐
𝟐
2
2
Luego, las coordenadas del vértice son: 𝑉(ℎ, 𝑘) = ( 1 ; 1 ).
La suma de los elementos del vértice y foco es:
RPTA. C
𝟒𝟏. Calcula el valor de "𝒂", si el vértice es 𝑽(𝟐; −𝟑) en la
ecuación de la parábola:
𝟐
A. − 2
B. − 1
C. 0
D. 1
E. 2
SOLUCIÓN:
Dado: 𝑽(𝟐; −𝟑)
𝟐
Como el vértice es punto de paso de la parábola,
reemplazamos en la ecuación:
2
RPTA. E
𝟒𝟐. Calcular la longitud del segmento determinado por la
recta de ecuación en 𝒙 = 𝟐𝒚 con la ecuación 𝒙
𝟐
A.
B.
C. 2
D. √ 5
E. 3
SOLUCIÓN:
Hallando los puntos de intersección:
2
Reemplazando la ecuación (I) en la ecuación (II):
2
2
2
Los puntos de intersección son: 𝐴 =
Graficando:
Calculando la longitud del segmento AB. Por el teorema de
Pitágoras, se tiene:
2
2
RPTA. D
𝟒𝟑. Sea la parábola de vértice 𝑽(𝟐; 𝟏) con eje focal paralelo
al eje “𝒚”, además pasa por el punto 𝑸(𝟎; 𝟐). Determina la
longitud del lado recto.
A. 2
B. 4
C. 8
D. 10
E. 12
SOLUCIÓN:
Con los datos del problema, la gráfica es:
La ecuación de la parábola será de la forma:
2
2
Como( 0 ; 2 ) ∈ 𝑃
2
RPTA. B
𝟒𝟒. En la siguiente figura, en la parábola 𝑽 y 𝑭 son vértice y
foco respectivamente. Si 𝑨𝑽 = 𝑨𝑭. Además la distancia de A
al eje focal es √
𝟖. Determina la ecuación de la parábola.
A. 𝑥
2
B. 𝑥
2
C. 𝑦
2
D. 𝑦
2
E. 𝑦
2
SOLUCIÓN:
Del gráfico, la parábola tiene la forma: 𝑦
2
Completando el gráfico, se tiene:
En el ⊿𝐴𝐹𝐻, por el teorema de Pitágoras, se tiene:
2
2
2
Por otro lado: 𝑝 = 2 𝑛
La ecuación de la parábola es:
2
2
RPTA. D
𝟒𝟓. Un arco parabólico tiene 𝟏𝟖 𝒎 de altura y 𝟐𝟒 𝒎 de ancho
. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola.
Calcula la altura sobre la base, cuando la parábola tiene un
ancho de 𝟏𝟔 𝒎.
A. 6 𝑚
B. 8 𝑚
C. 10 𝑚
D. 12 𝑚
E. 14 𝑚
SOLUCIÓN:
Del enunciado, se tiene que el vértice es ( 0 ; 18 )
La ecuación de la parábola es:
2
2
Debido a que el ancho de la parábola es 24 𝑚 , se tiene que
2
La ecuación de la parábola es:
2
Nos piden cuando el ancho de la parábola es 16 𝑚.
Luego:
2
RPTA. C
𝟒𝟔. En la parábola 𝒙
𝟐
= 𝟏𝟔𝒚. Determina la suma de las
pendientes de las rectas tangentes en los extremos de su
lado recto.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 5
E. 16
PROBLEMAS CON ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
𝟒𝟗. Los cables del tramo central de un puente colgante
tienen la forma de una parábola. Si las torres tienen una
separación de 𝟒𝟎𝟎 metros y los cables están atados a ellas
𝟏𝟎𝟎 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe
tener el puntal que está a 𝟏𝟎𝟎 metros de la torre? Suponga
que el cable toca el piso en el punto medio del puente.
A. 20 𝑚
B. 25 𝑚
C. 50 𝑚
D. 40 𝑚
E. 36 𝑚
SOLUCIÓN:
Trazando el plano cartesiano, tenemos:
La ecuación de la parábola de vértice 𝑉( 0 ; 0 ) es:
2
Luego reemplazamos los puntos 𝐴 y 𝐵:
2
Reemplazando tenemos: 𝑥
2
𝐵( 100 ; ℎ) →
( 100
)
2
Por lo tanto:
La altura es 25 𝑚.
RPTA. B
𝟓𝟎. Peyton Manning considerado el mejor jugador del
Futbol Americano, patea el balón formando una parábola
así como se muestra en la figura, el cual alcanza una
distancia de 𝟐𝟒𝒎 y una altura máxima de 𝟏𝟖𝒎, ¿a qué
distancia "𝑫" de Peyton el balón logra una altura de 𝟏𝟎𝒎?
A. 2 𝑚
B. 3 𝑚
C. 4 𝑚
D. 5 𝑚
E. 6 𝑚
SOLUCIÓN:
Trazando el plano cartesiano, tenemos:
La ecuación de la parábola de vértice 𝑉
es:
2
Luego reemplazamos los puntos 𝐴 y 𝐵:
2
Reemplazando tenemos: 𝑥
2
2
Entonces: 𝑥 + 𝐷 = 12 → 8 + 𝐷 = 12 → 𝐷 = 4
Por lo tanto: 𝐷 = 4 𝑚
RPTA. C
𝟓𝟏. El Puente Southward considerado el puente más largo
del mundo (𝟏𝟖𝟕𝟒 − 𝟏𝟖𝟕𝟕) fue construido en Portugal, el cual
tiene forma parabólica, un modelo pequeño lo tenemos en la
siguiente figura. Praxíteles Calcule la altura del barco que
se encuentra a 𝟓𝒎 del eje de simetría de dicha parábola.
A. 2 , 5 𝑚
B. 7 , 5 𝑚
C. 4 , 5 𝑚
D. 5 𝑚
E. 6 𝑚
SOLUCIÓN:
Trazando el plano cartesiano, tenemos:
La ecuación de la parábola de vértice 𝑉( 0 ; 0 ) es:
2
Luego reemplazamos los puntos 𝐴 y 𝐵:
2
Reemplazando tenemos: 𝑥
2
2
Entonces: 𝑎 + ℎ = 10 → 2 , 5 + ℎ = 10 → ℎ = 7 , 5
Por lo tanto: ℎ = 7 , 5 𝑚
RPTA. B
𝟓𝟐. La entrada a una iglesia tiene forma parabólica de 𝟒𝒎
de ancho en la parte más baja y 𝟒𝒎 de altura, en la cual se
instala una puerta rectangular como se muestra en la
figura. Halle el ancho de la base de la puerta.
A. 2 𝑚
B. 3 𝑚
C. 4 𝑚
D. 5 𝑚
E. 6 𝑚
SOLUCIÓN:
Trazando el plano cartesiano, tenemos:
La ecuación de la parábola de vértice 𝑉( 0 ; 0 ) es:
2
Luego reemplazamos los puntos 𝐴 y 𝐵:
2
Reemplazando tenemos: 𝑥
2
2
Por lo tanto, el ancho de la puerta es: 2 𝑎 = 2 ( 1 ) = 2 𝑚
RPTA. A
𝟓𝟑. En la siguiente figura, Ash Ketchum captura a Charizard
lanzando su pokebola la cual forma un arco parabólico de
ecuación 𝑷: 𝒙
𝟐
= −𝟗(𝒚 − 𝟒). ¿A qué distancia (metros) se
encuentra el pokémon de Ash?
A. 12 𝑚
B. 36 𝑚
C. 4 𝑚
D. 8 𝑚
E. 18 𝑚
SOLUCIÓN:
Según el grafico, tenemos que hallar "𝐷":
La ecuación de la parábola según el problema es: 𝑥
2
Para hallar la distancia que los separa, tenemos que hallar
la intersección con el eje"𝑥":
Luego: 𝑦 = 0
2
2
Entonces los puntos de intersección son: 𝐴(− 6 ; 0 ) y 𝐵( 6 ; 0 )
Por lo tanto: 𝐷 = 12 𝑚
RPTA. A
𝟓𝟔. Una casona tiene su puerta en forma de una parábola de
𝟗𝒎 de alto y 𝟏𝟐𝒎 de base como se muestra en la figura.
Además en la parte superior de la puerta se ubica una
ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 𝟖𝒎 de
largo. ¿Cuál es la altura de la ventana?
A. 1 𝑚
B. 2 𝑚
C. 3 𝑚
D. 4 𝑚
E. 5 𝑚
SOLUCIÓN:
Graficando y colocando como el vértice de la parábola en el
origen tenemos:
Además su ecuación es: 𝑥
2
Reemplazamos el punto 𝐴 para hallar el parámetro:
2
Entonces la ecuación es: 𝑥
2
2
Luego reemplazando el punto 𝐵:
2
Pide: La altura de la ventana
RPTA. D
𝟓𝟕. Si observamos un paraguas frontalmente, tiene forma de
una parábola cuya ecuación es 𝑷: 𝒙
𝟐
𝟐𝟒𝟎, como se muestra en la figura. Calcule la altura del
paraguas si "𝑽" y "𝑭" son el vértice y foco respectivamente.
A. 60 𝑐𝑚
B. 55 𝑐𝑚
C. 65 𝑐𝑚
D. 75 𝑐𝑚
E. 50 𝑐𝑚
SOLUCIÓN:
Según el problema nos pide hallar la altura "𝐻" del paraguas,
por lo tanto, tenemos que hallar el parámetro.
Dato: 𝑥
2
2
La ecuación ordinaria de la parábola es:
2
Luego:
Si: 𝐻 = 40 + 5 + 𝑝
RPTA. C
𝟓𝟖. El arco parabólico es un monumento ubicado en el
Centro Cívico de la ciudad de Tacna, diseñado por técnicos
alemanes y donado al país. Fue inaugurado el 𝟐𝟖 de agosto
de 𝟏𝟗𝟓𝟕 durante el gobierno de Manuel Prado Ugarteche,
así como se muestra en la siguiente figura. Halle el lado
recto del arco parabólico.
A. 𝐿𝑅 =
9
4
B. 𝐿𝑅 =
9
8
C. 𝐿𝑅 =
9
5
D. 𝐿𝑅 =
1
4
E. 𝐿𝑅 =
3
4
SOLUCIÓN:
Según el grafico, tenemos:
Además su ecuación es: 𝑥
2
Reemplazamos el punto 𝐴 para hallar el lado recto:
2
Pide: El Lado Recto
RPTA. B
𝟓𝟗. Un túnel de una carretera tiene forma de un arco
parabólico, que tiene 𝟔𝒎 de ancho y 𝟒𝒎 de altura, ¿cuál es
la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte
de 𝟐𝒎 de ancho para poder pasar por el túnel?
A.
32
9
B.
9
4
C.
9
16
D.
40
9
E.
4
9
SOLUCIÓN:
Graficando la situación se tiene:
Tomando en cuenta los pares ordenados:
Sea la forma canónica de la parábola:
2
Reemplazando el punto ( 3 ; − 4 ) se tiene:
2
De ahí la ecuación será:
2
Reemplazando el punto ( 1 ; 𝑦) se tiene:
2
Por tanto, la altura del camión será:
RPTA. A
𝟔𝟎. Un letrero de Mac Donald tiene forma de dos parábolas
como se muestra en la figura. Luisito quiere saber la
diferencia que hay entre las distancias desde los extremos
de la letra “M” y la distancia de sus vértices, pero el único
dato que tiene es la ecuación de una de las parábolas que es
𝟐
- 𝟖𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟒𝟖 = 𝟎, además la intersección de las
parábolas está en el origen de coordenadas. Calcule el valor
que Luisito no pudo hallar.
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
E. 2
