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RESOLUSION DE EJERCICIOS DE PRUEBAS DE HIPOTESIS
Tipo: Ejercicios
1 / 11
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Desarrolle los problemas propuestos del Capítulo 9 del texto base.
Ejercicios 4 y 7 de la página 407:
4.- Con los datos: dada X normalmente distribuida y los valores de la muestra
n = (^15) y
S = 7 ; y σ^ =^5 , encontrar los límites de confianza de S****. Utilizar:
a) el 95%
Datos:
n = (^15) tamaño de la muestra
S = 7 desviación típica muestral
2
= 49 varianza muestral
ν = 15 − 1 = (^14) grados de libertad
Nivel de significación: α =0,
Cálculo de los valores críticos:
Recuerde que para establecer los límites de confianza se debe considerar como bilateral,
por tanto:
(
χ
2
ν
) α
2
;ν
(
χ
2
ν
) 1 −
α
2
;ν
Desarrollamos y buscamos en la tabla chi-cuadrado de percentiles:
(
χ
2
ν
)0.
2
; 14
(
χ
2
ν
)
0.025 ; 14
(
χ
2
ν
)
1 −0.025 ; 14
(
χ
2
ν
)
0.975 ; 14
Establecemos los límites en la siguiente inecuación y despejamos σ :
χ
2
ν
<1,87 forme la inecuación
2
σ
2
<1,87 reemplace de acuerdo a la igualdad
χ
2
ν
2
σ
2
(Martínez, 2012)
σ
2
reemplace la varianza muestral, coloque el inverso de cada parte de la
inecuación
σ
2
despeje la varianza poblacional
σ >
obtenga la raíz en el numerador y denominador
12,99> σ > 4,68 divida y organice la expresión
4,68< σ <12,99 Respuesta límite de confianza.
7.- Para 100 empleados de una Cía. Se observa el salario mínimo mensual
expresado en miles de pesos (x), con el fin de determinar si la varianza anterior de
todos los salarios fue de (^) σ
2
= 8 ; se obtuvieron los siguientes resultados de esa
observación:
∑ xi
2
= 2000
(∑ x i
)
2
n
Suponiendo que se corre un riesgo de equivocarse del 5%, ¿qué conclusión obtiene
la Cía.?
Con los datos ofrecidos podemos obtener la varianza muestral, cuya fórmula es:
2
=
∑ xi
2
n
−( x )
2
de esta expresión solo conocemos la sumatoria de x i
y el tamaño de la
muestra, pero aún no conocemos el promedio, lo que podemos calcular mediante la
expresión (^) x =
∑
x i
n
, el valor de la sumatoria lo obtenemos mediante la segunda
expresión dada como dato:
(∑ x i
)
2
n
expresión dada
(∑ x i
)
2
reemplace el tamaño de la muestra
(∑ x i
)
2
= 1000 ( 100 ) despeje la sumatoria de x 1
y obtenga la raíz cuadrada en ambos miembros
√
(∑ x i
)
2
=√ 100000 realice la multiplicación y obtenga la raíz cuadrada en ambos miembros
∑ x i
Ahora calculamos el promedio:
x =
∑ x i
n
expresión para el cálculo del promedio
x =
reemplazando datos
x =3,
Con este dato podemos calcular ya, la varianza muestral:
2
=
∑
x i
2
n
−( x )
2 fórmula de la varianza muestral
2
=
2
reemplace los datos
2
= 20 −9,
realice las operaciones
2
=10,
Datos:
n = 100 tamaño de la muestra
2
=10,01 varianza muestral
ν = 100 − 1 = 99 grados de libertad
σ
2
= 8
varianza poblacional
1) Formulación de hipótesis nula y alternativa:
0
σ
2
σ o
2
σ
2
a
σ
2
σ o
2
σ
2
2) Nivel de significación: α =0,
3) Formulación de la variante estadística:
conlleva que no existe una diferencia significativa en la varianza del salario mínimo
mensual.
Si el ejercicio se hubiera desarrollado con el uso de la tabla chi-cuadrado de áreas bajo
la curva en el proceso, también se comprueba que el área de 123,87 está entre los
valores χ
2
0,
=129,5613 y χ
2
0,
=74,2219, cae en zona de aceptación.
Ejercicios 9 y 11 de la página 410.
9.- Un fabricante de un determinado producto, establece una duración promedio
de trabajo continuo de 5000 horas y σ^ ≤^^400 horas. Se examinó una muestra de 40
de este producto y se encontró que su media es de 5500 y varianza de (^) 172000 horas
2
. Al nivel del 1% ¿estos datos proporcionan una evidencia que σ^ >^400?
Datos:
n = (^40) tamaño de la muestra
2
= 172000 varianza muestral
ν = 40 − 1 = (^39) grados de libertad
σ
2
≤ 160000 varianza poblacional
1) Formulación de hipótesis nula y alternativa:
0
: σ
2
≤ σ 0
2
; σ
2
≤ 160000
a
: σ
2
σ 0
2
; σ
2
160000
2) Nivel de significación: α =0,
3) Formulación de la variante estadística:
χ
2
=
( n − 1 )
2
variante estadística chi-cuadrado
4) Determinar valores críticos:
Al ser una dócima unilateral derecha el valor crítico, lo desarrollamos y buscamos en la
tabla chi-cuadrado de áreas bajo la curva:
2
α; ν
2
0.01 ; 39
Lo ubicamos en una gráfica en GeoGebra, para determinar la zona de rechazo y la de
aceptación:
5) Calcular el estadístico y analizar:
χ
2
=
( n − 1 )
2
σ
2
variante estadística chi-cuadrado (Granda, 2021)
χ
2
=
reemplace los datos
χ
2
=
realice la resta y opere
χ
2
=41,
ZA
α =0.
62,
ZR
ZA
α =0.
Lo ubicamos en una gráfica en GeoGebra, para determinar la zona de rechazo y la de
aceptación:
5) Calcular el estadístico y analizar:
χ
2
=
( n − 1 )
2
σ
2
variante estadística chi-cuadrado (Granda, 2021)
χ
2
=
reemplace los datos
χ
2
=
realice la resta y opere
χ
2
=25,
ZR
ZA
α =0.
36,
25,
ZR
ZA
α =0.
36,
Como podemos ver el estadístico cae en la zona de aceptación por tanto se acepta la
lo que conlleva que no existe datos que evidencien que la varianza muestral es mayor a
65 , es decir que esta es menor o igual a 65.
b) Fije los límites de confianza del 95% para la varianza poblacional.
Calculamos los límites de confianza como si es una dócima bilateral aplicamos la
fórmula:
( n − 1 ) S
2
χ
2
s
< σ
2
<
( n − 1 ) S
2
χ
2
i
fórmula para fijar los límites (Martínez, 2012)
Considere que los valores de Chi cuadrado superior e inferior se determinan mediante,
los grados de libertad y el nivel de significancia:
( χ
2
s
) α ;ν
=( χ
2
s
) 0.05 ; 24
( χ
2
i ) 1 − α; ν
=( χ
2
i ) 1 −0.05 ; 24
=( χ
2
i )0.95 ; 24
Entonces procedemos a continuar con el cálculo:
< σ
2
<
reemplace los datos y resuelva las operaciones
44,68< σ
2
<117,
Respuesta límites en los cuales se encontrará σ
2 con una confianza
del 95%
Granda, S. (2021). Sistemas de conocimiento de estadística inferencial y su didáctica
Guía Didáctica. Ediloja Cía. Ltda.
Martínez, C. (2012). Estadística y muestreo, 13a. Ed. Ecoe Ediciones.
