Ejercicios sobre la distribución normal, Apuntes de Psicología

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TECNIQUES DE RECERCA (UB)

EJERCICIOS DISTRIBUCION NORMAL

PROF. 13-

EJERCICIOS SOBRE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Se supondrá que, dada una determinada población de referencia, las puntuaciones para el nivel de extraversión ( E ) obtenidas con una prueba psicométrica específica pueden ser representadas con suficiente precisión mediante la ley o distribución normal. En concreto, se aceptará que la distribución normal que describe apropiadamente los puntajes de E es aquella con parámetros media ( ) y desviación estándar ( ) iguales a 50 y 10, respectivamente; en otros términos, se puede escribir N(50; 10) según la notación habitual. Por supuesto, serían notaciones también adecuadas N(50; 10) y N(50; 100) , pero, en el segundo caso, a fin de desambiguar, se debe indicar que el valor 100 se corresponde con la variancia. A continuación se presentan las soluciones comentadas para varias preguntas sobre la ley de probabilidad normal N(50; 10).

Preguntas

1. Si se extrae aleatoriamente una persona de la población de referencia y se le administra la prueba psicométrica para conocer su nivel de E , ¿con qué probabilidad la puntuación será superior a 50?

Como quiera que la distribución normal es simétrica con el eje de simetría situado en el valor de la media, o sea, , Pr(E > 50) = 0,5. Existe, por tanto, idéntica probabilidad de obtener un valor superior que inferior a 50.

2. ¿Por qué, si en la cuestión anterior se preguntara por la probabilidad de que la puntuación fuese igual o superior a 50, la respuesta correcta sería de nuevo 0,5?

Nótese que, en una variable aleatoria continua, la probabilidad de obtener un valor concreto es, a todos los efectos prácticos, igual a cero, tal como se muestra a continuación

donde x representa cualquier valor de la variable aleatoria continua X y n denota la cantidad de casos favorables. Así, como se trata de una variable aleatoria continua y los posibles valores son infinitos, mediante el paso al límite se obtiene que

Ahora, puede escribirse lo siguiente

3. Para la distribución N(50; 10) , se requiere conocer los valores de la

de probabilidad que se corresponde con la pregunta es, aproximadamente, 0,0668.

7. Extrayendo al azar dos personas de la población de referencia, ¿cuál es la probabilidad de que una obtenga una puntuación de extraversión igual o superior a 65 y la otra un puntaje igual o mayor que 70?

Se precisan conocer los valores de probabilidad Pr(E 65) y Pr(E 70), que son los mismos, a cualquier efecto práctico, que Pr(E > 65) y Pr(E > 70), respectivamente. Ya conocemos el valor de probabilidad Pr(E 65), pues se obtuvo en el ejercicio anterior. Por medio de la aplicación informática R- Commander es fácil determinar que, de forma aproximada, Pr(E 70) = 0,0208. Como se trata de sucesos independientes, se obtiene el valor de probabilidad solución tal como se muestra a continuación

El producto de probabilidades se debe a que son dos sucesos independientes. La suma se corresponde con la unión de eventos, pues la persona que podemos denominar A podría ser la que obtuviera E 65 y la persona que llamaremos B alcanzara un puntaje E 70, pero pudiera realizarse el caso contrario.

8. Si se extrae una persona al azar de la población de referencia, ¿cuál es la probabilidad de que su nivel de extraversión sea igual o inferior a 45?

El valor de probabilidad que se debe determinar coincide con uno retornado por la función de distribución, así debe hallarse F(45). Utilizando R- Commander , rápidamente se sabe que F(45) es, aproximadamente, igual a 0,3085. Se puede alcanzar la solución de forma aproximada a partir de la representación gráfica de la función de distribución para N(50; 10) , que se muestra a continuación.

9. De nuevo, si la persona para la cual se obtiene la medida mediante la prueba psicométrica se extrae aleatoriamente de la población de referencia, ¿cuál es la probabilidad de que su grado de extraversión esté comprendido entre 45 y 55?

La solución se alcanza realizando la sustracción F(55) F(45). El sustraendo, o sea, F(45), es un valor que conocemos del ejercicio anterior, pero el minuendo debe ser determinado. De nuevo, recurriendo a R-Commander , se obtiene que F(55) es, de forma aproximada, igual a 0,6915. Por tanto, el valor de probabilidad correspondiente a la solución es aproximadamente igual a 0,383.

Adviértase que no se ha considerado relevante si los sucesos eran ser igual o inferior a 55 o ser igual o inferior a 45. La razón ya se ha explicado en un ejercicio anterior.

10. Extrayéndose al azar una persona de la población de referencia, ¿cuál es la probabilidad de que su grado de extraversión sea superior a 65 o inferior a 45?

Para encontrar la solución debe obtenerse las probabilidades para dos sucesos disjuntos, o sea, que no intersecan. Como no hay intersección, en otros términos, como ambos sucesos no pueden realizarse a la vez, la probabilidad para encontrar la solución se corresponde con la suma de Pr(E >

65. y Pr(E < 45). Ambos valores de probabilidad ya se han obtenido en ejercicios anteriores, pudiéndose indicar que la solución es 0,3753.

11. La función de distribución tiene como argumento un valor de la variable aleatoria y retorna una probabilidad. Ahora bien, la inversa de la función de distribución tiene como argumento una probabilidad y retorna un valor de la variable aleatoria. Así, se solicita facilitar el valor de la variable aleatoria E para el cual la probabilidad acumulada es igual a 0,025.

La inversa de la función de distribución se denota de la forma F(p) , donde p se utiliza para representar un valor de probabilidad de la función de distribución. En el ejercicio se requiere obtener el valor de la función de distribución F(0,025). Por medio de R-Commander , se obtiene que la solución del ejercicio es 30,4. Es decir, 30,4 es el valor de la variable aleatoria E que, en la población de referencia, no supera o iguala el 2,5% de los individuos.

12. ¿Cuál es el valor de la función de supervivencia, S(x) , para X = 45?

La función de supervivencia se define tal como se muestra a continuación

En otros términos, la función de supervivencia proporciona el valor de probabilidad complementario a la función de distribución. Así, el valor requerido en el presente ejercicio es

13. Si se extrae una persona al azar de la población de referencia, ¿con qué probabilidad su grado de extraversión sería superior a 70 si resultase su nivel de E superior a 50?

Se trata de calcular una probabilidad condicionada, que se obtiene de la siguiente forma

Por tanto, según el enunciado del ejercicio,

16. ¿Qué es estandarizar o tipificar una variable aleatoria? ¿Qué implica en el caso de la variable aleatoria que sigue una distribución N(50; 10)?

Se denomina estandarizar o tipificar una variable aleatoria, representándose la puntuación obtenida media z , a la siguiente transformación matemática

Adviértase que estandarizar no es más que realizar una traslación de la variable aleatoria X en el eje de abscisas al sustraer y, además, un cambio de escala al dividir entre.

Cuando se estandariza una variable aleatoria X que sigue una ley de probabilidad normal, sean cuales sean los valores de los parámetros, se obtiene la distribución normal unitaria, también denominada estándar o tipificada, es decir, N(0; 1). Nótese que esta variable aleatoria, que suele denotarse mediante Z , está centrada en el valor cero y su desviación estándar es igual a 1. Por tanto, si se estandariza la distribución N(50; 10) , se obtendrá la ley de probabilidad N(0; 1). La estandarización, cuando no se disponía de la capacidad de cómputo actual, era de extrema importancia, pues solo se tenían tablas estadísticas que proporcionaban valores de probabilidad para la ley de probabilidad normal unitaria.

Referencias

Solanas, A. y Selvam, R. M. (2012). Capítulo 3. Distribuciones de probabilidad. En M. Peró, D. Leiva, J. Guàrdia y A. Solanas (Coords.), Estadística aplicada a las ciencias sociales mediante R y R-Commander (pp. 111-164). Madrid: Garceta.