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F´ısica I Hoja 1
IE Dimensiones y vectores
- Considera la ecuaci´on v =
1
3
zxt
2
. Las dimensiones de las variables x, v y t son [x] = L, [v] = LT
− 1 y [t] = T.
¿Cu´ales deben ser las dimensiones de la variable z para que la ecuaci´on sea consistente?. Sol.: [z] = T
− 3
- Un punto material se mueve en l´ınea recta con una aceleraci´on a(t) = a 0 t + a 1 e
γt
las dimensiones de a 0
, a 1
, a 2
, γ y ω. Sol.: [a 0
] = LT
− 3 ; [a 1
] = [a 2
] = LT
− 2 ; [γ] = [ω] = T
− 1
- Si en las siguientes expresiones [a] = L/T
2 , [v] = L/T , [x] = L y [t] = T , ¿Cu´al de ellas es dimensionalmente
incorrecta? a)v
2 = 2ax; b)v = at; c)v =
x
t
2 ; d)x =
v
2
a
Sol.: c
- Dados los vectores de la figura, halle:
(a) Su suma geom´etricamente.
(b) Las componentes de cada vector en el sistema de referencia dado.
(c) Las componentes del vector suma.
(d) El ´angulo que forman el vector suma y el vector mayor.
Sol.:(6, 0), (
◦
- Dados los puntos P (− 1 , 0 , 2) y Q(2, − 3 , −5), halle: a) el vector ~r =
QP ; b) el vector unitario paralelo a ~r,
~ur ; c) el ´angulo que forma el vector ~r con cada uno de los ejes de coordenadas.
Sol.:a)~r = (− 3 , 3 , 7); b)~ur = (−
) ;γx = 111. 5
◦ γy = 68. 5
◦ γz = 31. 1
◦
- El vector ~a de la figura tiene un valor de 10 unidades. Determine las coordenadas
de este vector
(a) respecto de los ejes XY.
(b) respecto de los ejes X’Y’.
Sol.: a)ax = 5
3 ay = 5 b)a
′
x
= 7. 7 a
′
y
- Dados los vectores ~a = −
i + ˆj + 4
k,
b = −3ˆi + ˆj − 7
k y ~c = 4ˆi + 7ˆj + 6
k, halle:
(a) ~a +
b; ~c − ~a ; ~a ·
b; ~a ×
b ;~a · (
b × ~c)
(b) el ´angulo entre ~a y
b
Sol.: a) (-4,2,-3);(5,6,2);-24;(-11,-19,2); -165 b) 137.
◦
- Dado el vector ~a = 5t
2 ˆ i + t
j − t
k. Calcule
d~a
dt
y
2
1
~a dt.
Sol.: a)
d~a
dt
= 10t
i + ˆj − 3 t
k; b)
2
1
~a dt =
i +
j −
k
- Halle un vector unitario en el plano OY Z y perpendicular al vector ~v = 2ˆi + ˆj − 3
k. Sol.: (3ˆj +
k)/
- El periodo de un p´endulo ideal es proporcional a alguna potencia de su longitud y a alguna potencia de la
aceleraci´on de la gravedad g. Determinar los exponentes de esas potencias. Sol.: l
1 / 2 y g
− 1 / 2 .
- Seg´un la ley de la Gravitaci´on Universal de Newton, la intensidad de la fuerza atractiva entre dos cuerpos de
masas m 1 y m 2 separados una distancia r es F = G
m 1 m 2
r
2
. Teniendo en cuenta que en el S.I. de unidades
la fuerza F se mide en kg · m · s
− 2, m 1 y m 2 en kg y r en m. Determine las unidades de G. kg
− 1 · m
3 · s
− 2 .
- Convertir en unidades del SI: a) una velocidad de 108 km/h, b) una densidad de 13,6 g/ml; c) una presi´on
de 1.8 kp/cm
2 (1 kp = 9.8 N ) y d) la constante R = 0.082 (atm · l)/(K · mol) (1 atm = 101300 P a).
Sol.: a) 30 m/s;b) 13600 kg/m
3 ; c) 176400 P a; d) 8.31 (P a · m
3 )/(K · mol)
- Se tienen tres vectores ~a ,
b y ~c concurrentes en el plano XY cuyos m´odulos son a = 6, b = 3 y c = 4 y que
forman respectivamente ´angulos de 45
◦ , 30
◦ y -
◦ con el eje X. Calcule el m´odulo de la suma y el ´angulo
que forma con el eje X. Sol.: 9.13; 14.
◦ .
- Dados los vectores ~a = 4ˆi − 3
k y
b = −2ˆi + ˆj + 2
k, calcule:
(a) el m´odulo de la suma ~a +
b y de la diferencia ~a −
b.
(b) un vector de m´odulo 8 y paralelo al vector ~a.
(c) el producto escalar de ~a y
b.
(d) el ´angulo que forman ~a y
b.
(e) compruebe que |~a +
b| =
a
2
2
b) y que |~a −
b| =
a
2
2 − 2(~a ·
b).
Sol.: a)|~a +
b| = 2.45; |~a −
b| = 7.87; b) 6.4 ˆi-4.
k; c)-14; d) 158.
◦ .
- Dados los vectores ~a = 3ˆi + 3ˆj − 3
k y
b = 2ˆi + 3
k, calcule el ´angulo que forman. Sol.: 1.73 rads.
- Dados los vectores ~a = ˆj +
k,
b = −
i +
k y ~c = ˆi + 2ˆj. ¿Cu´anto vale ~a · (
b × ~c)?. Sol.:-1.
- Dados los vectores ~a = −2ˆi + 3ˆj,
b = 6ˆi + 4ˆj y ~c = 6ˆi − 9ˆj, calcule:
(a) ~a ·
b ; ~a · ~c y
b · ~c.
(b) ~a ×
b ; ~a × ~c y
b × ~c.
(c) ~a · (
b × ~c).
(d) ¿C´omo son los vectores ~a y
b? ¿y son los vectores ~a y ~c? ¿y los vectores ~a,
b y ~c?
Sol.: a)~a ·
b = 0 ; ~a · ~c = −39 ;
b · ~c = 0; b)~a ×
b = − 26
k ; ~a × ~c = 0 y
b × ~c = − 78
k ; c)0 ; d) ~a⊥
b ; ~a ↑↓ ~c ;
~a,
b y ~c son coplanarios.
- Para recorrer 90 m en un r´ıo, paralelamente a la orilla, un nadador emplea 1 minuto cuando nada a favor de
la corriente y tarda 3 minutos cuando lo hace contra corriente.
(a) Calcule la velocidad del nadador y la de la corriente del r´ıo.
(b) Calcule la anchura del r´ıo y a qu´e punto de la otra orilla llega cuando nada perpendicularmente a la
corriente sabiendo que tarda 4 minutos en llegar a la otra orilla.
(c) ¿En qu´e direcci´on ha de nadar para cruzar perpendicularmente el r´ıo? ¿Cu´anto tarda en cruzarlo de
esta forma?
Sol.: a) vnad = 1m/s; vcorri = 0. 5 m/s; b) 240 m, 120 m r´ıo abajo del punto de partida; c) 120
◦ con la
corriente; t = 277 s.
- Justifique razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) Si |~a +
b| = |~a −
b| , entonces los vectores ~a y
b son perpendiculares.
(b) Sean ~s = ~a +
b y
d = ~a −
b, si ~s y
d son perpendiculares entonces |~a| = |
b|
(c) Si el m´odulo del vector ~u(t) es constante en el tiempo, entonces ~u(t) y
d~u(t)
dt
son perpendiculares.
(d) Si el m´odulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el valor de su producto escalar, los
vectores forman un ´angulo de 30
◦ .
Sol.: a, b y c son ciertas, d es falsa.
