Algebra de Matrices: Propiedades y Operaciones, Diapositivas de Matemáticas

¡Descarga Algebra de Matrices: Propiedades y Operaciones y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ÀLGEBRA DE MATRIUS

Una matriu és una capsa numèrica en la qual es resumeix una informació estructurada.

EXEMPLES:

les següents taules numèriques són matrius:

 1 5  7 2 3 

Matriu rectangular de 2 files i 3 columnes dim2x

Matriu rectangular de 1 fila i 5 columnes dim1x

Es pot dir matriu fila de dim

Matriu rectangular de 4 files i 1 columna dim4x

Es pot dir matriu columna de dim

Matriu quadrada de 3 files i 3 columnes dim3x

Es pot dir simplement matriu de dim

OPERACIONS AMB MATRIUS

Suma de matrius

perquè dues matrius puguin sumar-se han de tenir la mateixa dimensió i llavors

se sumen terme a terme:



   

   

 

  6 3 5

6 5 6 6 1 0

5 2 7 0 2 5

1 3 1

Propietats de la suma de matrius

Si A, B i C són matrius de dim mxn, es compleixen les propietats següents:

• Associativa: (A+B)+C = A+ (B+C)
• Commutativa: A+B = B+A
• Element neutre: la matriu nul·la, els elements de la qual són tot zero,

A+ 0 = 0 +A = A

• Tota matriu A té una matriu oposada -A

Aquestes propietats es resumeixen dient que el conjunt de matrius de dim mxn

és un grup abelià respecte a la suma.

Producte d’un nombre per una matriu:

Per multiplicar un nombre per una matriu, es multiplica pel nombre cada terme

de la matriu:



  ^  

   ^  0 6 15

3 9 3 0 2 5 3 1 3 1

Propietats del producte de nombres per matrius

Si a,b són nombres reals i A i B són matrius de dim mxn es compleix:

A A

a (A B) a A a B

(a b) A a A b A

a (b A) (a b) A

 

     

     

    

1

Propietats del producte de matrius

• Associativa: (sempre que per les seves dimensions,

cada una sigui multiplicable per la següent)

• El producte de matiurs no és commutatiu
• Distributives:

A  (B  C)  (A  B)  C

(B C) D B D C D

A (B C) A B A C

MATRIUS QUADRADES

Matriu unitat o identitat: és aquella matriu quadrada en què els elements

de la diagonal principal són 1 i la resta són zero.

I 2  ^1001  

I 3

Donada una matriu A de dim nxn, es verifica que

Per tant la matriu identitat és l’element neutre del producte de matrius.

A  In  In  A  A

Matriu inversa d’una altra: Donada una matriu quadrada , és la seva

matriu inversa si es verifica

A A ^1 A  A ^1  A ^1  A  I

Per tal que una matriu pugui tenir inversa, aquesta ha de ser quadrada, però no totes

les matrius quadrades tenen inversa.