Espacio afin, Apuntes de Álgebra Lineal

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Espacio af´ın. Movimientos.

Dolores Mart´ın Barquero

Universidad de M ´alaga

Algebra Lineal^ ´

Intersecci ´on y suma de subespacios afines.

Proposici ´on (Intersecci ´on)

Sea {Ai = pi + Ui }i una familia de subespacios afines de un espacio af´ın Π. Si la intersecci ´on ∩i Ai es no vac´ıa, entonces dicha intersecci ´on es un subespacio af´ın de Π dado por p + ∩i Ui , con p un punto cualquiera de la intersecci ´on.

Definici ´on (Suma)

Se define la suma de un conjunto de subespacios afines como el menor subespacio af´ın que los contiene a todos, coincidiendo con la intersecci ´on de todos los subespacios afines que contienen a todos los que se suman.

Intersecci ´on y suma de subespacios afines.

Proposici ´on

Si p + U y q + W son dos subespacios afines, de un espacio af´ın Π, con intersecci ´on no vac´ıa entonces

dim(p + U) + dim(q + W ) = dim(p + U + q + W ) + dim[(p + U) ∩ (q + W )].

Teorema

Sea Π un espacio af´ın. Por cada dos puntos distintos p, q ∈ P(Π) pasa una ´unica recta. Dicha recta es q+ < pq > y la denotaremos por pq.

Corolario

Cada par de rectas distintas de un espacio af´ın Π se cortan a lo sumo en un punto.

Teorema

En un espacio af´ın Π, por cada punto p exterior a una recta r pasa una, y s ´olo una, recta paralela s.

Transformaciones afines y afinidades.

Llamaremos VL(Π) al subespacio vectorial asociado al espacio af´ın Π. Un espacio af´ın Π se dir ´a eucl´ıdeo si su espacio vectorial asociado VL(Π) es eucl´ıdeo.

Definici ´on (Transformaci ´on af´ın)

Sean Π y Π′^ dos espacios afines sobre un mismo cuerpo K y

θ : P(Π) → P(Π′)

una aplicaci ´on biyectiva. Diremos que θ es una transformaci ´on af´ın de Π sobre Π′^ si existe un isomorfismo T : VL(Π) → VL(Π′) tal que

θ(p)θ(q) = T (pq), ∀p, q ∈ P(Π), es decir, θ(q) = θ(p) + T (pq), ∀p, q ∈ P(Π).

Diremos que T es el isomorfismo asociado a la transformaci ´on af´ın θ. Si Π = Π′ diremos que θ es una afinidad de Π.

Teorema

La composici ´on de afinidades es una afinidad. La inversa de una afinidad es una afinidad. Si θ t τ son afinidades con isomorfismos asociados T y S respectivamente, entonces τ ∼= θ tiene por isomorfismo asociado S ∼= T y θ−^1 tiene por isomorfismo asociado a T −^1.

Movimientos y transformaciones ortogonales

Definici ´on (Movimiento)

Una afinidad θ se llama movimiento si conserva las distancias entre puntos, es decir,

d(θ(p), (θ(q)) = d(p, q), ∀p, q ∈ P(Π)

Sea θ un movimiento en un espacio af´ın euc´ıdeo Π con isomorfismo asociado T , p y q dos puntos cualesquiera de P(Π) y p′^ = θ(p) y q′^ = θ(q) las im ´agenes de p y q mediante θ. Entonces

||T (p, q)|| = ||θ(p)θ(q)|| = d(θ(p), θ(q)) = ||pq||.

Por lo tanto T es un isomorfismo en el espacio vectorial VL(Π) que conserva la longitud de los vectores, es decir, T es una transformaci ´on ortogonal, y as´ı

< T (x), T (y) >=< x, y >, ∀x, y ∈ VL(Π)

Transformaciones ortogonales en R^2.

Teorema

Las transformaciones ortogonales en el espacio vectorial euc´ıdeo R^2 en cierta base ortonormal {u 1 , u 2 } se representan por alguna de las siguientes matrices:

1

, siendo la aplicaci ´on identidad.

2

, siendo una simetr´ıa de eje determinado por u 1.

3

cos α sen α −sen α cos α

, siendo un giro de ´angulo α.

4

, siendo una simetr´ıa respecto del origen, o equivalentemente un giro

de ´angulo π.

1

, siendo la aplicaci ´on identidad.

2

, siendo una simetr´ıa con respecto al plano < u 1 , u 2 >.

3

0 cos α sen α 0 −sen α cos α

, siendo una rotaci ´on de ´angulo α alrededor del eje

< u 1 >.

4

, siendo una simetr´ıa axial del eje determinado por u 1 , o

equivalentemente una rotaci ´on de ´angulo π alrededor del eje determinado por u 1.

5

0 cos α sen α 0 −sen α cos α

, siendo una rotaci ´on de ´angulo α alrededor del eje

determinado por u 1 seguido de una simetr´ıa respecto al plano < u 1 , u 2 >.

6

, siendo una simetr´ıa central respecto del origen, o

equivalentemente el caso anterior con α = π.

Afinidades.

Traslaci ´on Una traslaci ´on es una afinidad f con la aplicaci ´on identidad como isomorfismo asociado, trat ´andose por tanto de un movimiento. Viene dada por un vector v 6 = 0, vector de traslaci ´on, tal que f (x) = x + v. En R^2 la ecuaci ´on matricial de una traslaci ´on de vector v = (v 1 , v 2 ) es

( 1 , y 1 , y 2 ) = ( 1 , x 1 , x 2 )

1 v 1 v 2 0 1 0 0 0 1

En R^3 una traslaci ´on de vector v = (v 1 , v 2 , v 3 ) es

( 1 , y 1 , y 2 , y 3 ) = ( 1 , x 1 , x 2 , x 3 )

1 v 1 v 2 v 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Obes ´ervese que las traslaciones no tienen puntos fijos o invariantes.

Orientaci ´on

Diremos que la base can ´onica posee la orientaci ´on positiva y que otra base posee tambi ´en la orientaci ´on positiva si la matriz de paso correspondiente tiene determinante positivo. Diremos que la matriz de paso conserva la orientaci ´on y que ambas bases est ´an igualmente orientadas.

Definici ´on

Si M es la matriz ortogonal asociada a un movimiento. Diremos que el movimiento es directo si |M| = 1 e inverso si |M| = − 1

Movimientos en el plano af´ın eucl´ıdeo

Teorema

Todo movimiento en R^2 tiene por matriz ortogonal asociada, en cierta base ortonormal {u 1 , u 2 }, una de los tipos

1

, siendo la aplicaci ´on identidad o una traslaci ´on dependiendo de la existencia o no de puntos fijos.

2

, siendo una simetr´ıa de eje paralelo al determinado por u 1 si hay puntos fijos o una simetr´ıa de eje paralelo al determinado por u 1 seguida de una traslaci ´on de vector paralelo a dicho eje, simetr´ıa deslizante, si no los hay.

3

cos α sen α −sen α cos α

, siendo un giro de ´angulo α y centro el ´unico punto fijo asociado. 4

, siendo una simetr´ıa respecto de un punto o, equivalentemente, como en el caso anterior con α = π.

Movimientos en el espacio af´ın eucl´ıdeo

Teorema

Todo movimiento en R^3 tiene por matriz ortogonal asociada, en cierta base ortonormal {u 1 , u 2 , u 3 }, una de los tipos

, siendo el movimiento:

a) la aplicaci ´on identidad si tiene puntos fijos, o b) una traslaci ´on en caso contrario.

, siendo el movimiento

a) una simetr´ıa con respecto al plano paralelo a < u 1 , u 2 > si el movimiento tiene alg ´un punto fij, o b) una simetr´ıa con respecto al plano paralelo a < u 1 , u 2 > seguida de una traslaci ´on de vector paralelo a dicho plano, simetr´ıa deslizante, si el movimiento no tiene puntos fijos.

0 cos α sen α 0 −sen α cos α

, siendo el movimiento

a) una rotaci ´on de ´angulo α alrededor de un eje paralelo a < u 1 >, si el movimiento tiene alg ´un punto fijo, o b) una rotaci ´on de ´angulo α alrededor de un eje paralelo a < u 1 > seguido de una traslaci ´on de vector paralelo al eje de rotaci ´on, movimiento helicoidal, si no tiene puntos fijos.

, siendo el movimiento

a) una simetr´ıa axial del eje determinado por u 1 ,si el movimiento tiene alg ´un punto fijo, o equivalentemente como el caso anterior con α = π b) una simetr´ıa axial del eje determinado por u 1 seguida de una traslaci ´on de vector paralelo a dicho eje si el vector no tiene puntos fijos, o equivalentemente como el caso anterior con α = π.

Corolario

Todo movimiento en R^3 es (^1) Directo: identidad, traslaci ´on, rotaci ´on alrededor de un eje o movimiento helicoidal. (^2) Indirecto o inverso: simetr´ıa respecto de un plano, simetr´ıa deslizante o la composici ´on de un giro y una simetr´ıa.