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Asignatura: algebra lineal, Profesor: Philippe Bechouche, Carrera: Arquitecto Técnico en Organización de Obras, Universidad: UGR
Tipo: Apuntes
1 / 48
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-^ DEFINICION
⎧^
⎫
⎪^
⎪
⎨^
⎬
⎪^
⎪
⎩^
⎭
es un espacio afin sobre un espacio vectorial E.Es el conjunto de puntos M talque si O es un punto origen: OM
tal que OM A
E^ {^
}
A cada par de puntos O,M se le asocia elvector OM
-^ PROPIEDADES
∈^
∈
→ =
Para cada A
y cada V
, existe un único
punto B tal que AB
. A^
E V
(^
)^
⎛^
⎞^
⎛^
⎞^ ⎛^
⎞
⎜^
⎟^
⎜^
⎟^ ⎜^
⎟
⎝^
⎠^
⎝^
⎠^ ⎝^
⎠
d(A,B)= AB
En^
d A,B
x^
x B^
y^
y B^
z^
z B^
x^
x^
y^
y^
z^
z
Propiedades^ (^
0 si y solo si A=B d A B −^
: d(A,B)
d(A,C)+d(C,B)
d A B
d B A Desigualdad triangular
{^
}
{^
}^
{^
}
{^
}
c^
1
1
yc
c B^
B' son bases de E.
n^
n u
e^
e^
u
{^
} {^
→ }
1 1
1
1 1^
n^ n
n
Suponemos un punto
En^
x'
En^
O'M=x'
+...+ x'
x' c^
n^ n
n
e u
M x
x e
x
x
u
⎛^
⎞
⎛^
⎞
⎛^
⎞^
⎜^
⎟
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
→^ ⎜
⎟
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^ ⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎝^
⎠^ ⎝^
⎠^
⎝^
⎠
B^
B^
B '
En la base B
x x^
x'
o' 1
x^
x^
x'
n^
n
o'n
B^ B
⎛^
⎞ ⎜^
⎟ ⎜^
⎟
→^
⎜^
⎟ ⎝^
⎠ " 1
n
B'^ B
u
donde:
u P^
⎧^
⎫
⎨^
⎬
⎩^
⎭
Sea
un espacio afin sobre un espacio vectorial
de dimensión n.
Sean
n+1 puntos de A
0
Se dice que
son afinmente dependi
0
A^
An A^
An
entes (resp. independientes) si la familia
{^
} {^
}
⎧^
⎫
⎪^
⎪
⎨^
⎬
⎪^
⎪
⎩^
⎭
0 1
0
y^
son colineal y^
son linealment
de vectores
es dependiente (resp. libre) en
En ,^
son afinmente dependientes si ,^ ,^
son afinmente independientes si
n
AB^
AC AB^
AC
e independientes
(no colineal)
⎧⎪⎨ ⎪⎩ −^
− −
2
3 1
4
, u 3
2 , u 4
x^^1
y
x y
u
Ejemplo enEcuaciones ParamétricasEcuación cartesiana:Ejemplo en
⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎩
⎧⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩
x y z
x y^
z
Ec. Paramétricas^ Ec. Cartesianas ( se elimina λ )
Ec. Cartesiana:2(^
Luego vector director recta
u^2
x^
x
n^
y^
y
x^
y
D -Ecuacion cartesiana con un vector nomal
2x + 3y + 4 =
Nota: Recta de ecuación
normal
vector director recta
u^1
x^
y
vector
n
(^
)^
(^
)
⎛^
⎞ ⎜^
⎟ ⎜^
⎟ ⎜^
⎟ ⎝^
⎠
⎧⎪⎨⎪⎩
x y
Ecuación cartesiana con un vector director :det Ecuación cartesiana:
-3u
5 x-
AM u
x
y
x y
y
x y
Ec Paramétricas
⎛^
⎞^
⎛^
⎞^
⎛^
⎞
⎜^
⎟^
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎝^
⎠^
⎝^
⎠^
⎝^
⎠
y
. cartesiana
x^
x^
x
y^
y^
y^
Ec
z^
x^
z^
x^
y^
z
=x
del plano y el punto
Otro método para obtener la ec. cartesiana plano:
v^
: 1(x-1)+1(y-2)+1(z-3)= 3 x^
y^
z
n^
u
→- Plano con 3 puntos
Como antes: Plano con 1 punto
y un vector normal
n
n AM
n C
