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cos
exp cos exp log cos tan
det
det tan det
det min
Sean Los vectores u u u^ u^ v v v^ v^ A a a^ a^ B b b^ b b a b a b a v (^) v v v u (^) uu uu uu es representada por un punto (^) u v
u v u (^) proy v v (^) proy u
u v u v u v
u v es el menor angulo formado entre u y v
u v u v
Sean Los puntos A a a^ a^ B b b^ b^ C c c^ c^ D d d^ d
Sea M ese punto medio M a^ b^ a^ b^ a^ b
Sea G ese punto G a^ b^ c^ a^ b^ c^ a^ b^ c es una piramide triangular Es un poliedro regular formado por equilateros Sea G centro de gravedad G a^ b^ c^ d^ a^ b^ c^ d^ a^ b^ c^ d es representado por X o bien por
w u v quiere decir que w u y w v fuerza de lorentz q v X v y u v u v sen u v el producto vectorial sirve para hallar Area si u^ v^ los vectores son paralelos es decir u v (^) o bien u v
al menos uno de los dos vectores es cero
u v w u v w w w w
v v v
u u u
u v w (^) resa el volumen del paralelepipedo definido por los vectores u v w ver imagen u v w u v (^) w u v w (^) area altura s h el n real u^ v^ resa la area s del parale ramo que definen los vectores u y v y w^ es la altura del paralelepipedo vectores no nulos y no paralelos en el espacio es en el mismo plano o en planos paralelos Ssi el producto mixto entre ellos es cero u v y w son coplanares Ssi u^ v^ w u es combinacion lineal de v w z si y solo si existen no todos nulos tal que u v w z o bien u v w
u v w (^) u v y w es en el mismo plano coplanarios u v w
Vector definido por dos Puntos A y B Modulo del vector v
Vector unitario del vector u
Producto Escalar de u y v
Punto Medio del segmento de extremos A y B
Baricentro de un triangulo ABC
Centro de Gravedad de un tetraedro
Producto Vectorial
u v er ante v v v
u u u
i j k v v v
u u u
i j k es un vector
Producto Mixto
Combinacion Lineal
u v y w son Linealmente Dependiente
u v y w son Linealmente InDependiente
vea la imagen Ejemplo
AB
F B F F B
u
u v
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 12 22 32 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 3
1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
1
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i
i
a b c a b c
= -^ -^ -
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= +^ +^ +
= +^ +^ +^ +^ +^ +
= +^ +^ +^ +^ +^ +^ +^ +^ +
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G
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cos
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k k
Los elementos caracteristi de una Recta son un punto P a b c^ y un vector director v v v^ v x y z a b c v v v (^) siendo
z c k v
y b k v
x a k v siendo k
v
x a v
y b v
z c
A x B y C z D
Ax By Cz D dos planos cuya er cion es una recta
las ecuaciones implicitas son ecuaciones de
su vector director es w A B C
A B C
i j k B C
B C
A C
A C
A B
A B
Los elementos caracteristi de un Plano son un punto P a b c y dos vectores directores u u u u y v v v v x y z a b c u u u v v v siendo
z c u v
y b u v
x a u v siendo
Ax By Cz D v v v
u u u
x a x b x c
el vector normal es n A B C uno de los vectores directores se puede coger como v B A Ecuacion de un plano que pasa por un punto P a b c^ y tiene un vector normal n A B C^ es A x^ a^ B y^ b^ C z^ c
Sean Dos rectas r y s Para estudiar su posicion relativa se considera el punto A a a^ a^ r y el punto B b b^ b^ s y los vectores directores u y v de las rectas r y s se estudia la dependencia lineal de los vectores b a b a b a (^) u u u u (^) y v v v v
Que es lo mismo que estudiar el rango de la matriz M v v v
u u u
b a b a b a
rag M^ independientesM r y s no eslos^ vectoresen el mismo plano^ u y v son r y s se cruzan
rag M^ las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales^ r y s son^ antes las coordenadas de los vectores directores son proporcionales r y s son paralelas rag M Las coordenadas de losque las dos rectas r y s son coincidentes^ vectores^ u y v son proporcionales^ a decir
Ecuaciones de una RECTA
Ecuaciones de un
POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion Continua
Ecuacion General
Implicita
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion General
Implicita
Metodo
Plano
o bien
o bien
pueden darse dos casos
AB
AB
AB
R
R
R
R
1 2 3 1 2 3
3
2
1
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2
3 3
2 2
1 1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 2 2
1 2 2
1 1 2 2 3 3
a b a b
a b
a b
a b a b
r
- = -^ = -
= +^ +
l l l l
l l l l^ l^ l^ l^ l^ l
c c
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T Q Q V V V
V
V
V
V
V
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V
V
V
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V V
V
V
V
V V
V
V
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V
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G
G
G
G
G
G
sec
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Posicion relativa de un una recta y un Plano Sea la recta r de la cual conocemos su vector director v y un punto A y un plano P del cual conocemos su vector normal n si el producto escalar de v n v n entonces hay dos posibilidades
si A P Plano^ la recta es paralela al plano P
si A P Plano^ la recta esta contenida en el plano P
si el producto escalar de v n v n recta r y Plano P son antes vea las imagen de abajo
Posicion relativa de dos Planos Sean los planos P Ax By Cz D y P A x B y C z D A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B o bien C
C
D
D
Los Planos son Coincidentes Los Planos son Paralelos Los Planos son antes
b !
l l l l l
l l l l l l l l l l l l
Q
Q
V
G V
sec
sec
min
tan
min
tan sec sup
Posicion relativa de una recta y un plano
r (^) A xAx B yBy^ CzC z^ DD^ y P A x B y C z D
Matriz coeficientes M A B C
A B C
A B C
Martiz Ampliada M A B C D
A B C D
A B C D
si ragM ragM la recta y el plano son antes r^ P si ragM y ragM la recta es paralela al plano r^ P si ragM ragM la recta esta incluida en el plano r^ P Posicion relativa de Dos plano P Ax By Cz D P A x B y C z D
M (^) AA BB^ CC^ M (^) AA BB^ CC DD
Si ragM ragM P y P son antes P^ P Si ragM y ragM P y P son paralelas P^ P Si ragM ragM P y P son coincidentes P^ P Posicion relativa de Tres plano P Ax By Cz D P A x B y C z D P A x B y C z D A B C A B C A B y C son llamados coeficientes de las variables D D y D son llamados ter os independientes
A x B y C z D
A x B y C z D
Ax By Cz D M A B C
A B C
A B C
M
A B C D
A B C D
A B C D
Si ragM ragM sistema compatible los planos se cor en un punto
Si ragM y ragM sistema incompatible pueden darse dos casos los coeficientes de las variables de dos planos los coeficientes de las variables son proporcionales y no lo son sus ter os no son proporcionales independientes los coeficientes de las variables del tercer plano no son proporcionales a los otros los tres planos se cor dos a dos planos paralelos y otro es ante formando una erficie prismatica
l l l l ll^ ll^ ll^ ll
ll ll ll
l l l ll ll ll ll
l l l l
l l l l l
l l l l l l l l l l l l l
l l l l l ll ll ll ll ll l l l ll ll ll l ll
ll ll ll ll
l l l l ll ll ll
l l l ll ll ll ll
l l l l
T T
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tan
mod
mod
tan
mod
mod
tan
tan
tan
tan
Modulo del
Dis cia entre dos Puntos sean los puntos A a a a y B b b b dist A B b a b a b a Dis cia entre un Punto y una Recta Hallar la dis cia entre el punto B y la recta r es calcular
dist B r^ v v v producto vectorial v
A r
v vector director de la recta r
Dis cia entre dos rectas paralelas
Sean las rectas r v vector directorA un punto a r^ s (^) B un puntov vector director a s
dist r s^ dist A s^ v v ulo del vector director vulo del producto vectorial^ v
Dis cia entre dos rectas que se cruzan
dist r s (^) v v^ v v ulo del producto vectorialulo del producto mixto
otra manera de calcular las dis cias r s dist r s^ r s dist r s^ r s dist r s^ dist A s
Dis cia de un punto a un plano Sea A a a^ a^ ese punto y el plano P Ax By Cz D
dist A P A B C
A a B a C a D (^) Valor absoluto
Dis cia de una recta a un plano Sea r la recta y P el plano r P dist r P^ r corta al P dist r P^ r P dist r P^ dist A P
Dis cia entre dos Planos Sean P y P dos planos P P dist P P^ P corta P dist P P^ P P dist P P^ dist A P
AB
AB
AB AB
AB AB
AB
r
r r r
r
r s
s
s s
s
r s
r s
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 2 2 3 32
1 2 3 2 2 2
1 2 3
= = -^ + -^ + -
= +^ + +^ + +
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
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Q Q
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V
V
V
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V V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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G
G
G
cos cos
tan cos
Angulo formado por dos rectas r de vector director u^ y s de vector director v
r s Angulo r s Angulo r s (^) uu v v^ r y s (^) uu v v
Angulo formado por una recta y un plano r de vector director u y P de vector normal n
r P Angulo r P Angulo r corta P sen (^) uu nn
Angulo formado por dos Planos Plano P con vector normal n y P con vector normal n
P P Angulo P P Angulo P P se cor (^) nn n n
se cruzan & & & &
a a a a
a a a
a a a
c c
c c
c c
R
R
W
W
M
tan
tan tan
det
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n Sean los vectores u n v y w m a para que valores de m y n los vectores u v y w son linealmente dependientes y que u sea a w Respuesta
u v y w son linealmente dependientes m
n n m u w u w n m m n n m y nn^ mm^ nn^ mm^ m m n n n
Ejercicio n Halla la ecuacion Implicita del plano que pasa por los puntos A B y C Respuesta Antes de nada hay que averiguar que los puntos no es alineados para eso calculemos los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales por lo to los puntos A B C no es alineados que si se puede hallar el plano que contenga los puntos Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto y un vector normal n vea la imagen
n
i j k
k k k
La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D siendo A B C su vector normal asi que el plano P es de la forma z D por estar el punto A en el plano D D y por ultimo P z P z Otra manera de hallar la ecuacion cartesiana del plano A
sea M x y z^ P plano
x y z z
por ultimo la forma cartesiana del plano P z
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
=- + = -^ = -
= -^ -^ -^ -^ = -^ = -^ -^ -^ = -
c
c
l l l l l l l (^) l l l
Q
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Q Q
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V
V
V
V
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V
G G
... ,^ ,
int sec
tan
tan tan
unt
Ejercicio n Deducir la ecuacion parametrica y cartesiana del plano P que contiene los tres puntos A B y C Halla el Punto de er cion entre el plano y la recta r xx^ yy^ zz Respuesta Antes de nada hay que averiguar que los puntos no es alineados para eso calculemos los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales por lo to los puntos A B C no es alineados que si se puede hallar el plano que contenga los puntos Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto y un vector normal n vea la imagen A
n
i j k
i k j k j i i j k La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D siendo A^ B^ C^ su vector normal asi que el plano P es de la forma x y z D por estar el punto A en el plano D D y por ultimo P x y z es la ecuacion implicita del plano Otra forma de hallar la ecuacion implicita del plano y es la mas directa es A sea M x y z^ P
z
y
x
z
y
x del plano P
Parametrica
Ecuacion
Ecuacion Implicita es
x y z P x y z
hallar el p o de entre la recta r xx^ yy^ z^ z y el plano P x y z
x y z
x y z
x y z utilizando la regla de Cramer
x y z
El punto de entre la recta y el plano es I
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
14 8 9 14 8^9
R^2
a b (^) a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
= -^ = -^ -
= -^ = -^ -^ -
= -^ = -^ -^ -
= +^ -
= -^ = -^ -
c
l l l l l l l l l l
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Q Q Q
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V
V
V
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V
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V
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V
V
V
V
V
V
V
V
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V V
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G
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a
bb bb bb bb
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tan
Ejercicio n Sean los puntos A B y C deducir la ecuacion cartesiana y parametrica del plano P que contiene los puntos Hallar la ecuacion parametrica y continua de la recta r ortogonal al plano P y que pasa por el punto A hallar la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D calcula la entre la recta r y el plano P Respuesta antes de nada los puntos A B C no deben estar alineados para eso lo calculemos y A B y C como sus coordenadas no son proporcionales A B C no es alineados sabemos que A B y C pertenecen a P A se puede escoger cualquiera de los puntos Vea la imagen sea M x y z P
z
y
x
z
y
x del plano P
Parametrica
Ecuacion
Implicita es
x y z P x y z cartesiana Ecuacion parametrica y continua de la recta r P y que pasa por el punto A la ecuacion vectorrial de una recta r que pasa por A y de vector director v x y z v vea la imagen vector normal coincide con vector director v n A sea M x y z P v Ec Vect
r z
y
x Parametrica
Ecuacion z
y
x r x^ y (^) z Ec continua
la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D vea la imagen como se ve n n n n asi que P x y z D y como P pasa por D entonces D D luego P x y z calcular la entre la recta r y el plano P
r z
y
x P x y z x y z d
z c
y b
x a
d remplazando en la ecuaciones anteriores x y z r P I
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
OA
OM OA
0 1 2 1 0 1^ 2 5 2
1 1 1 2 6 0^0 1 2 1 0 1^ 2 5 2
3 3 1 2 2^2 9 0 14 14 0
R
r r
r r
2
a b a b
a b
a b
a b
a
a b
a b
a
a
a
a
a
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a
a
a
a
a a
a
a
a a a (^) a a a
- = -^ +
= -^ +^ -^ =
= = -^ -
=-^ -
= - +^ = -
= = -^ - + + =
- + -^ + = =
=-^ = = = -
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Q Q
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Q
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
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V
V
V
V
V
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V
V
V V
V
V
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V
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G
G
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a
bb b bb b
’ ’^3.
, ,^ ,
det
tan
b
a
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
Sean dos plano P z B
y
x P x y z
Ecuacion Vectorial y Implicita de P punto de y el vector director de la recta r P P deduzca la ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r Respuesta
P z B
y
x
z
y
x dos vectores directores u y v del plano
de aqui podemos deducir un punto A y
A u v sea M x y z^ P u v Ecuacion Vectorial
Ecuacion Implicita u v
x y z
P x y z la recta r P P (^) PP x^ x y^ y zz x^ x y^ y zz consistema de incognitas^ Ec
sea x (^) b a^ b^ y z^ zy
Ecuacion parametrica de r z
y
x vector director v y el punto I
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r el vector director v de la recta r es a la vez el vector normal del plano P asi que P x y z D pero como sabemos que P pasa por B B P D D luego P x y z
Ejercicio n Halla las ecuaciones vectorial parametrica y continua una recta que pasa por los puntos A y B Respuesta Sea r esa recta buscada y M x y z^ un punto cualquiera de r el vector un vector represen te del vector direccion de la recta r M x y z^ r siendo es la ecuacion vectorial de r
z
y
x z
y
x Ecuacion Parametrica de r
z
y
x
z
y
x x y^ z (^) Ecuacion continua de r
AM
AM
AB
AM AB
R
r
r
( & &^ +&
a
b
a b
a
b
a b
a b
a b
a b
a b
m (^) m m^ m m m
m
m
m
a a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
=-^ +
= - -^ + +^ - - +^ == - -^ + +^ - ==-
=-^ +
=-^ +
- = -^ =
c
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m m m m m m m m m
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G G
G
G
G
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G
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Ejercicio n Calcula el angulo que forma la recta r x^ y^ z^ con el plano P x y z Respuesta r x^ y^ z^ v P x y z n angulo formado entre r P vea la imagen n v n^ v^ n v n v n^ v n v n^ v^ sen sen (^) nn v v
sen arcsen
Ejercicio n
Dado el punto P calcula la ecuacion de la recta r simetrica de r z
y
x
respecto al punto P en forma continua Respuesta
hallaremos dos puntos A y B de la recta r a los cuales les calcularemos sus semetricos A y B respecto al punto P una vez hallados podemos calcular la ecuacion de la recta r ya que conocemos dos puntos suyos
r z
y
x x y z (^) B
x y z (^) A P
fijandonos en la imagen sea A a b c^ B a^ b^ c A P PA a^ b^ c^ a b c A B P PB a^ b^ c^ a b c B r pasa por A y B su vector director es cogiendo el punto A
sea M x y z^ r r z
y
x Ec parametrica
la ecuacion Continua de r su forma general es x^ va^ y^ vb z^ vc
r z
y
x z
y
x x y^ z^ r x^ y^ z
A B
A M A B
0 2 1 0^1 2 2
R
r
r r r r r r r
r
r
2 2 2 2 2 2
1 2 3
a
a a a
a a
m
m
m
m
m
m m
m
a a a
a
a
a
a
a a
a
a a
- = +^ =
- = +^ =
+ -^ + + +
= -^ = -^ = -
= -^ -^ -^ -^ = -^ = =- = -
= -^ -^ -^ -^ = = =- = -
= -^ -^ -
- = -^ = -
= = - +^ = - -^ -^ = - +^ = - -
c
c
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l l l^ l^ l l l l l l l l l l l l l l
l l l l l
l
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Q Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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V
V
V
V
V
V
V
V V
V
V
V
V
V
V
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V
V
V
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G
G
G
G
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. ,^ ,
5 ,^ ,^ ,^ ,
3 ,^ ,^?
, , ,^ ,
tan
sec int sec
sec int sec
sec
det
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
dada la recta r z
y
x y un punto A
Hallar la ecuacion parametrica del plano P que contiene la recta r y pasa por A Hallar la ecuacion del plano P a la recta y pasa por el punto A Respuesta vea la imagen
r z
y
x y un vector director v
podemos despejar un pt B
para hallar la ecuacion de un plano se necesi puntos no alineados o bien vectores directores un punto o bien un vectro normal y un punto de la recta hemos despejado v que es a la vez un vector director del plano es otro vector director del plano y un punto A sea M x y z P v Ecuacion vectorial
z
y
x Parametrica
Ecuacion (^) Ec cart x^ y^ z P y z
P r vector normal de P es v y A P vea la imagen P x y z D P y z D A P D D P y z P y z
Ejercicio n sea P x y z y la recta r contiene los puntos A y B halla la ecuacion parametrica de la recta r demostrar que la recta r es ante al plano P halla el punto I de er cion Ecuacion cartesiana del plano CIA sabiendo que C Respuesta recta r contiene A y B el vector es el vector director de r
sea el punto M x y z^ r z
y
x parametrica de r
es la ecuacion
la recta r es ante al plano P y calcular el punto I de er cion
P x y z vectro normal n r z
y
x v
n v r y P son antes r P remplazando los valores de x y z de la recta en la Ec del plano x y z asi que I Sea el plano que pasa por los puntos C I y A x y z M x y z^ es combinacion lineal de y
z
y
x x y z x y z
AB
AM AB
AB
AM AB
AB
AM AC AI
AM AC AI AM AC AI
2 0 2 2^ 3 0^2
2 3 0 1 2 3^3 2 1
1 1 2 3^3 2 1^2 4
3 1 2 0^ 3 10 7^ 1 2 3
r r r r r r
a
a
a
a
a b
a b
a b
a b
m m
m
m
m
m
m
m m
r
r
r r
=-^ -
=-^ +^ +
=-^ = = = -
= +^ -^ +^ = +^ -^ +^ =
c
l
l l l l l l l l
c
Q
Q
Q
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
W
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
G
G
G
G
tan
sec det min
sec
tan
sec
int
tan
r P
Ejercicio n a Estudia la posicion relativa del plano P y la recta r
P x y z r z k
y k
x k siendo k
b calcula la dis cia que hay entre la recta y el plano c Halla la ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P Respuesta Recuerda si la Ec de la recta r esta en forma Parametrica y Plano P en cartesiano k n de cero r P k cte r y P son antes k k in er ado r P
recta r y pasa por el punto A
de vector director v
Ec Parametrica plano P de vector normal nEc cartesiana
si n v n v si Asi A^ PP^ r^ r PP si n v r y P son antes recta r en forma implicita y el plano en forma implicita cartesiana se jun las ecuaciones de la recta con la del plano M matriz d coeficientes M matriz ampliada si ragM ragM r y P son antes si ragM y ragM r P si ragM ragM r M
a asi que para responder a esta pregunta se puede hacer de maneras dist as
r z k
y k
x k (^) P x y z k k k (^) k
Metodo
r z k
y k
x k r v^ A P x y z P n
v n v n veamos si A pertenece o no al plano A P por lo to r P Metodo
r z k
y k
x k la pasaremos a implicita para ello necesitamos pasarla antes a continua
k x^ y^ z^ r x^ y^ z^ y (^) z
x y y z
x y
r (^) yx yz^ P x y z ahora hagamos el estudio del sistema
x y z
x y z
x y z M M
R R * * * * *
r
r
r r rr r
r
r
r r r r
b !
b
r
= -^ + - + = - + + - - + = =-
= -^ -^ -^ =-^ +^ +^ =
= - -^ = -^ = - - -^ = -^ = - -
c
c
c c
c
Y
Q Q
Q
U
Q
Q
U
Q
Q
Q
Q
V V
V
V
Z
V V V
Z
V
V
Z
[
\
]]
]]
]]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
G
G
G
G
G
G
G
: ,^...
, , , , , ,.^.^.
tan tan min log sec
tan
det
M ragM
M ragM
como ragM y ragM r P b la dis cia que hay entre la recta r y el plano P cuando nos referimos a la dis cia nos referimos a la disnacia ima que hay por ica si r P dist r P^ si la r y P son antes dist r P
Recuerda si r P dist r P n
A a B b C c D (^) siendo n es la normal del plano
dist un punto a b c^ de la recta^ P Ax^ By^ Cz^ D
r z k
y k
x k P x y z
dist r P^ dist u c Ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P vea la imagen el vector normal n de P representa un vector director del plano y com r el punto A y el vector director v de la recta tambien es del plano por lo to ya conocemos un punto y dos vectores directores del plano
sea M x y z^ tal que n v Ecuacion vectorial de
z
y
x
z
y
x ecuacion parametrica
Ecuacion Implicita es n^ v x y z x z y z x y y z
y z
A M
A M
R
mod
p
r r
r p r
r p r
ulo
valor absoluto
la recta
punto de del plano
la normal
2 2 2
2
z
r
r r r
r
r a b^ a b r
r a b
a b
a b r a b
a b
a b
r
= -^ = ++^ - + -^ +^ = =
= +^ +
= +^ -
U
U
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
Q
Q R
Q
Q
R
Q
R
Q
V
V
Z
V
V
Z
V
V
V
V
V
W
V
V W
V
V
W
W
"
"
%
%
Z
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Z
[
\
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Z
[
\
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]]
]]
G
P
