Plano y Espacio geom´etrico.
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Algebra Lineal. Grupo F
Abril de 2009
1. Dado el espacio af´ın R3, indique cu´ales de los siguientes conjuntos son sistemas de
referencia afines:
(a) O(0,1,1) , p1(0,0,1) , p2(1,0,0) , p3(1,1,1).
(b) O(1,−1,1) , p1(0,0,1) , p2(1,0,1) , p3(0,1,1).
Nota: Un sistema de referencia se puede expresar en funci´on de cuatro puntos,
{O, p1, p2, p3}, entendiendo que es el sistema de referencia con origen de coordenadas
Oy base asociada {−−→
Op1,−−→
Op2,−−→
Op3}.
2. En el espacio af´ın R3se tiene el sistema de referencia R= (O, {−→
e1,−→
e2,−→
e3}). Se consi-
dera el sistema de referencia R′= (B, {−→
e1,−→
e2,−→
e3}) donde las coordenadas del punto
Bcon respecto a Rson (2,−4,7). Si el punto xtiene en el sistema de referencia R
coordenadas (3,7,−4) ¿ son (1,11,−11) sus coordenadas en R′?.
3. Responda justificadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
(a) Un plano Pqueda determinado dando tres puntos cualesquiera de R3.
(b) R=n(1,1) ; {(1,2) ,(2,1)}oes un sistema de referencia de R2
(c) Si los puntos medios de los lados de un tri´angulo ABC son M= (1,0,0), N=
(0,1,0) y P= (0,0,1), las coordenadas de A,ByCson A= (−1,1,1), B=
(1,−1,1) y C= (1,1,−1). (Julio 1999)
(d) Hay una ´unica recta en R3que pasa por un punto py es paralela a un plano P.
(e) Hay una ´unica recta rque pasa por un punto py el paralela a una recta s.
4. Determina
(a) La recta rque pasa por los puntos a= (1,1,−1) y b= (2,2,3) .
(b) La recta sque pasa por el punto p= (1,0,1) y tiene a ~v = (1,2,1) por vector
director.
(c) Obt´en unas ecuaciones param´etricas y cartesiana de las mismas.
(d) Expresa dichas rectas como intersecci´on de dos planos.
5. Estudie la posici´on relativa de las rectas de R3ryr′siendo
(a) r:3x−2y= 7
y+ 3z=−2r′:3x−y= 2
x+y+z= 1
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