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Algebra Lineal y Geometr
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ıa, Grado en F´ısica, curso 2016-2017
Ejercicios del Tema 6: Espacio af´ın eucl´ıdeo
1. Encuentra las ecuaciones impl´ıcitas del subespacio af´ın de R3generado por los puntos
P0= (1,0,0), P1= (−1,3,−1), P2= (2,1,−2) y P3= (0,−1,2) y determina su dimensi´on.
2. En R3, considera los subespacios afines S1= (0,−1,1) + L({(0,1,1),(1,2,0)}) y
S2=h{(1,2,3),(1,3,5)}i. Determina su posici´on relativa y calcula S1∩ S2.
3. Dados los pares de rectas siguientes, estudia su posici´on relativa. Si se cortan, determina el
´angulo que forman.
a)r1≡x=y,s1≡2x−y= 0. b)r2≡x−y= 1, s2≡(2λ, 1+2λ).
4. Sean A,A0dos espacios afines y f:A → A0una aplicaci´on af´ın. Prueba que si S1yS2son
dos subespacios afines de Atales que S1es paralelo a S2, entonces f(S1) es paralelo a f(S2).
5. Sean A,A0dos espacios afines y f:A→A0una aplicaci´on af´ın. Prueba que si P1, P2, P3son
tres puntos alineados, entonces f(P1), f(P2), f (P3) est´an alineados.
6. Sea Aun espacio af´ın, P∈ A un punto y v∈~
Aun vector no nulo. Prueba que la traslaci´on
tvde vector vno deja ning´un punto fijo, y que deja fija una recta si, y s´olo si, ves un vector
director suyo.
7. Sean Aun espacio af´ın, P∈ A un punto y λ6= 0 un escalar. Estudia los puntos fijos y las
rectas fijas de la homotecia hP,λ de centro Py raz´on λ.
8. Sea Aun espacio af´ın y f:A → A una aplicaci´on af´ın que deja invariante una recta af´ın
r⊂ A. Prueba que todo vector director de res un vector propio de la aplicaci´on lineal ~
f
asociada a f.
9. Estudia los puntos fijos y las rectas fijas de las siguientes aplicaciones afines de R2:
a)f1(x, y) = (y−2, x + 2) b)f2(x, y) = (2 −y, x −2).
10. Sean Aun espacio af´ın, P1, P2∈ A dos puntos y λ1, λ2dos escalares no nulos. Para cada
i∈ {1,2}, llamamos hi=hPi,λila homotecia de centro Piy raz´on λi, y h=h1◦h2. Prueba:
a) Si λ1λ2= 1, entonces hes una traslaci´on.
b) Si λ16=λ2, entonces hes una homotecia de raz´on λ1λ2.
11. Demuestra que si un movimiento r´ıgido de un espacio af´ın eucl´ıdeo Ade dimensi´on nadmite
n+ 1 puntos fijos que son af´ınmente independientes entonces es la identidad. ¿Es cierto el
resultado si los puntos fijos no son af´ınmente independientes?
12. Demuestra que, dadas dos rectas afines de R3, existe un movimiento r´ıgido de R3que lleva
una en otra. (Este resultado es cierto en cualquier espacio af´ın).
13. Clasifica los siguientes movimientos r´ıgidos del plano:
(a) fx
y=1/2−√3/2
√3/2 1/2 x
y+1
2
(b) f(x, y) = −1
2x+√3
2y+ 1 ,√3
2x+1
2y−1
(c) fx
y=3/5 4/5
4/5−3/5 x
y+2
5
