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Curso 2007-2008 1
Pr´actica 1
Espacios de Hilbert
Ejemplo 1. La norma ||.||∞ en R^2 no proviene de un producto escalar.
Soluci´on
Es suficiente comprobar que no se cumple la ley del paralelogramo, esto es, que existen x, y ∈ R^2 tales que ||x + y||^2 ∞ + ||x − y||^2 ∞ = 2
||x||^2 ∞ + ||y||^2 ∞
Con este fin, tomamos los puntos x = (1, 0) e y = (0, 1) para los que ||x||∞ = ||y||∞ = ||x + y||∞ = ||x − y||∞ = 1.
Ejemplo 1. En C([− 1 , 2]), (f, g) =
− 1 f g^ define un producto escalar cuya norma^ ||.||^ no es completa.
Soluci´on
Sea gn(x) = 0 en [− 1 , − 1 /n] ∪ [1 + 1/n, 2], gn(x) = 1 en [0, 1] y lineal en el resto. Se tiene que
l´ım n
− 1
(gn − χ[0,1])^2 = 0 de donde se sigue que (gn) es una sucesi´on de Cauchy. Si (gn) es convergente
a g ∈ C([− 1 , 2]) entonces tambi´en l´ım n
− 1
(gn − g)^2 = 0, lo que implica que g = χ[0,1] casi por todas
partes. Esto es una contradicci´on por ser g una funci´on continua. Otra forma de verlo es observar que C([− 1 , 2]) es un subespacio del espacio de Hilbert L 2 [− 1 , 2]. Puesto que (gn) converge a χ[0,1] en L 2 [− 1 , 2], deducimos que C([− 1 , 2]) no es cerrado en L 2 [− 1 , 2] y, en consecuencia, C([− 1 , 2]) no puede ser completo.
Ejercicio 1. Sea (X, ‖.‖) un espacio de Hilbert. Si los vectores u, v ∈ X verifican | < u, v > | = ‖u‖‖v‖, es decir, verifican la desigualdad de Cauchy-Schwartz con igualdad, ¿qu´e podemos saber de estos vectores? Estudiar la misma cuesti´on para la igualdad ‖u + v‖ = ‖u‖ + ‖v‖.
Ejercicio 1. Sea (X, ‖.‖) un espacio de Hilbert. Sean x, y elementos de X con norma uno. a) Si x = y, entonces ‖tx + (1 − t)y‖ < 1 para todo 0 < t < 1. b) Si ‖x − y‖ ≥ ε, acotar la norma del punto medio 12 (x + y).
Ejercicio 1. Probar que en todo espacio X con producto escalar se cumple la llamada identidad de Apolonio:
||x − z||^2 + ||z − y||^2 =
||x − y||^2 + 2
∥z^ −^
x + y 2
2 .
Ejercicio 1. Sea X un espacio vectorial en el cual hay definidos dos productos escalares 〈, 〉 y (, ). Probar que los dos productos coinciden si, y s´olo si, 〈x, x〉 = (x, x) para todo x ∈ X.
Ejercicio 1. En el espacio 2 calcula la intersecci´on de la bola B(x 0 , 1) con la recta {λx 1 : λ ∈ K} donde x 0 =
(1, 12 , 14 ,.. .) y x 1 = (1, 0 ,... , ). ´Idem con el plano generado por x 1 , x 2 siendo x 2 = (0, 1 , 0 ,.. .).
Ejercicio 1. ¿En el espacio 2 la recta generada por (1, √^13 , √^19 ,.. .) corta a la bola B(x 0 , 12 )? x 0 = (0, 1 , 0 ,.. .).
Ejercicio 1. En el espacio L 2 [0, 1] calcula la intersecci´on de la esfera S(x 0 , 1) con la recta {λx 1 : λ ∈ K} donde x 0 (t) = 2t^2 y x 1 (t) = t.
Ejercicio 1. Sean α, β ∈ K, β = 0. En el espacio l 2 consideramos x 1 = (α, β, 0 ,.. .), x 2 = (0, α, β, 0 ,.. .), x 3 = (0, 0 , α, β, 0 ,.. .) etc. y llamamos S = {xn}. Prueba que (a) Si | αβ | ≥ 1 , entonces S⊥^ = { 0 }. (b) Si
| αβ | < 1 , entonces S⊥^ = lin{(1, − αβ , α
2 β^2 ,^ −^
α^3 β^3 ,.. .)}.
Ejercicio 1. Prueba que en un espacio prehilbertiano real, las afirmaciones siguientes son equivalentes, a) x⊥y, b) ‖x + ty‖ = ‖x − ty‖ para todo t ∈ R, c) ‖x + ty‖ ≥ ‖x‖ para todo t ∈ R.
Ejercicio 1. En el espacio real C([0, 1]) con el producto escalar (f, g) =
0 f g, el ortogonal de^ M^ =^ {f^ ∈^ C([0,^ 1]) : f (0) = 0} es M ⊥^ = { 0 }.
Ejercicio 1. Prueba que en un espacio prehilbertiano real la intersecci´on de las esferas S(a, R) y S(b, R) con ‖a‖ = ‖b‖ es una esfera contenida en {a − b}⊥. Halla su centro y su radio.
Ejercicio 1. Probar que si M es un subconjunto de un espacio de Hilbert entonces M ⊥^ = M ⊥ .
Ejemplo 1. Sean X un espacio de Hilbert e Y un subespacio cerrado de X. Demostrar que si P es la proyecci´on ortogonal de X sobre Y entonces ‖P x‖ ≤ ‖x‖ para todo x ∈ X.
Soluci´on
Sea P la proyecci´on ortogonal de X sobre Y. Puesto que para cada x ∈ X el vector P x es ortogonal a x − P x se deduce del teorema de Pit´agoras que ‖x‖^2 = ‖x − P x‖^2 + ‖P x‖^2 ; de donde ‖P x‖ ≤ ‖x‖.
Ejercicio 1. Sean X un espacio prehilbertiano y sea v ∈ X con ||v|| = 1. Si M = {v}⊥, encontrar una f´ormula expl´ıcita para la proyecci´on ortogonal sobre M.
Ejercicio 1. En el espacio l 2 describir el conjunto M = {v, w}⊥^ siendo v = ( √^12 , √^122 , √^123 ,.. .) y w = (1, 0 , 0 ,.. .).
Estudiar previamente si se cumple la igualdad {v}⊥^ ∩ {w}⊥^ = {v, w}⊥.
Ejercicio 1. Sea Ω un subconjunto medible de Rn^ y sea χA la funci´on carater´ıstica de A ⊂ Ω. Demostrar que PAf = χA f es una proyecci´on en el espacio L 2 (Ω). ¿Qu´e condiciones deben cumplir los subconjuntos A y B para que PA + PB sea tambi´en una proyecci´on?
Ejemplo 1. Sea Y el subespacio de L 2 (0, 2 π) constitu´ıdo por aquellas funciones f tales que
∫ (^2) π 0 f^ (x)^ dx^ = 0. Probar que Y es cerrado y calcular el punto de Y m´as cercano a f 0 (x) = 3 cos^2 5 x.
Soluci´on
Sea g una funci´on continua en [0,1] que no sea un polinomio y consideremos la forma lineal continua Φ : P → R, Φ(f ) :=
0 f^ (t)g(t)dt.^ Supongamos existe^ h^ ∈^ P^ tal que Φ(f^ ) = (f, h) para cualquier f ∈ P ; es decir,
0 f^ (t)(g(t)−h(t))dt^ = 0 para toda^ f^ ∈^ P.^ Por el teorema de Weierstrass real podemos encontrar una sucesi´on de polinomios (fn) que converge a la funci´on continua h − g uniformemente en [0,1] y por tanto (^) ∫ 1
0
(h(t) − g(t))^2 dt = l´ım n→∞
0
fn(t)(h(t) − g(t))dt = 0
de donde se sigue que g = h ∈ P, lo que es una contradicci´on.
Ejercicio 1. Sea Φ : 2 → C definida por Φ(x) =
n=
xn 2 n−^1 ,^ siendo^ x^ =^ {x}
∞ n=1 ∈^ ^2. (a) Demostrar que Φ es lineal y continua. (b) Calcular el vector y ∈ 2 que representa a Φ.
Problemas Complementarios
Ejercicio 1. ¿La elipse x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1^ es la esfera unidad para una norma de espacio de Hilbert en^ R
Ejercicio 1. En R^2 se considera el producto escalar
〈(a, b), (c, d)〉e := ac + bd −
ad + bc 2
Probar que, efectivamente, < .,. >e es un producto escalar y dibujar la bola cerrada unidad de R^2 asociada al la norma ‖x‖e :=
< x, x >e. Demostrar que esta norma es equivalente a la norma eucl´ıdea ordinaria.
Ejercicio 1. Sea (X, ‖ ‖) un espacio normado real cuya norma verifica la ley del paralelogramo. Demostrar que
existe un producto escalar en X tal que ‖x‖ =
(x, x) para todo x ∈ X. (Utilizar la identidad polar.)
Ejercicio 1. Sea (H, ‖.‖) un espacio de Hilbert real,. Sean u, v ∈ H dos vectores ortogonales y con norma 1. Calcular para cada x ∈ H a) d(x, ru), es decir, la distancia entre el punto x y la recta ru := {tu : t ∈ R}. b) d(x, πu,v ), es decir, la distancia entre el punto x y el plano πu,v := {tu + sv : t, s ∈ R}.
Ejercicio 1. En el espacio l 2 se considera el conjunto M = {x ∈ l 2 :
n=1 xn^ = 0}.^ Probar que^ M^ es un subespacio vectorial denso en l 2. ¿Es M cerrado? ¿Se cumple l 2 = M
M ⊥?
Ejercicio 1. Aproximar por m´ınimos cuadrados la funci´on exponencial et^ por medio de polinomios de grado menor o igual que 1 en el intervalo [− 1 , 1].
