¡Descarga Espai afí y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Cap´ıtol 4
Espai af´ı 2D i 3D
4.1 Punts i vectors
Un espai af´ı ´es un conjunt de punts i vectors, amb una estreta relaci´o entre els dos conjunts i
unes operacions que donen una estructura a tot el conjunt. L’espai af´ı 2D (2 dimensional), que
tamb´e s’anomena pla af´ı, t´e per punts tots els de R
2 , i l’espai af´ı 3D (3 dimensional), els punts
seran totes les tripletes de R
3 .
4.1.1 Definicions
Definici´o 1. Un vector ´es un segment orientat del pla o de l’espai que t´e les caracter´ıstiques
seg¨uents:
(i) Direcci´o: ´es la de la recta que cont´e el segment
(ii) Sentit: cada direcci´o t´e 2 sentits
(iii) Longitud: llargada del segment
Observaci´o. Dos segments orientats s´on iguals si tenen les mateixes caracter´ıstiques: igual
direcci´o i sentit, i la mateixa longitud.
Alguns vectors:
- Donats dos punts P i Q, el vector
P Q ´es el segment orientat que comen¸ca en P i acaba
en Q.
0 , el vector corresponent a un segment orientat de longitud
zero. No t´e ni direcci´o ni sentit.
v , denotem per vector oposat, i escriurem −
v , al vector que t´e la
mateixa direcci´o i longitud, per`o t´e sentit oposat a
v.
Algebra Curs 2013/
4.1.2 Operacions elementals
(i) Suma d’un punt P i un vector
v. El resultat ´es un nou punt Q tal que el vector
P Q
coincideix amb el vector
v. Escrivim que
Q = P +
v.
El vector
v ´es lliure, mentre que el vector
P Q ´es fix.
(ii) Producte per un escalar. Si α ∈ R, α
v ´es un nou vector.
- Si α > 0, el nou vector t´e la mateixa direcci´o i sentit que
v , per`o ´es α vegades m´es
llarg.
- Si α < 0, el nou vector t´e la mateixa direcci´o, per`o sentit contrari que
v , i ´es |α|
vegades m´es llarg.
Observaci´o. Fixem-nos que:
v = −
v ´es el vector oposat.
v i
w tenen la mateixa direcci´o si existeix un valor α ̸= 0 tal que
−→ v = α
w.
(iii) Suma de dos vectors
u i
v. Definim
u +
v , a partir de la regla del paral·lelogram,
com el vector que t´e la direcci´o i longitud de la diagonal principal del paral·lelogram
(figura 4.1, esquerra).
u
v
u +
v −→
u
v
u −
v
v
Figura 4.1: Suma i difer`encia de 2 vectors
La difer`encia es defineix
u −
v =
u + (−
v ) (figura 4.1, dreta).
Propietats de la suma i el producte
Donats A, B, C tres punts, les operacions definides satisfan les propietats seg¨uents:
AB = −
BA;
2. A +
AB = B;
AB +
BC =
AC;
4. A +
0 = A.
Donats
v ,
u i
w tres vectors, i α, β ∈ R, les operacions definides satisfan les propietats
seg¨uents.
Algebra Curs 2013/
e 1 ,
e 2 ).
e 1 ,
e 2 ,
e 3 ).
Les rectes que passen per l’origen i contenen els vectors de la base s’anomenen eixos del
sistema de referencia. Un cop fixat un sistema de referencia, el pla/espai queda reticulat
(figura 4.3).
−→ e (^1)
−→e 2
Figura 4.3: Sistema de refer`encia al pla
Observaci´o. La longitud dels vectors de la base passa a ser la unitat de mesura sobre cada
eix de refer`encia.
4.2.2 Coordenades de vectors i punts
Definici´o 4. Siguin SR un sistema de refer`encia, (O;
e 1 ,
e 2 ) al pla, (O;
e 1 ,
e 2 ,
e 3 ) a l’es-
pai, i
v un vector no nul qualsevol. Portem el vector a l’origen i el projectem sobre els eixos
de coordenades en les direccions dels vectors de la base. Llavors,
- al pla, existeixen v 1 i v 2 tals que
v = v 1
e 1 + v 2
e 2 amb v 1 , v 2 ∈ R.
(v 1 , v 2 ) s’anomenen coordenades de
v respecte el sistema de refer`encia fixat.
- a l’espai, existeixen v 1 , v 2 i v 3 tals que
v = v 1
e 1 + v 2
e 2 + v 3
e 3 amb v 1 , v 2 , v 3 ∈ R.
(v 1 , v 2 , v 3 ) s’anomenen coordenades de
v respecte el sistema de refer`encia fixat.
−→ e (^1)
−→ e (^2)
v 2
−→ e (^2)
−→ v
v 1
−→ e (^1)
Figura 4.4: Coordenades d’un vector respecte una base donada
Algebra Curs 2013/
Observaci´o. Les coordenades depenen del sistema de refer`encia que tinguem. Un mateix
vector tindra coordenades diferents en sistemes de referencia diferents.
Fixada una base, un vector es pot representar per les seves coordenades. En notaci´o matri-
cial, aquestes tamb´e es poden escriure com
v =
v 1
v 2
v =
v 1
v 2
v 3
segons si estem al pla o l’espai, respectivament.
Exemple. Preneu els dos sistemes de refer`encia de la figura 4.5, SR = (O;
e 1 ,
e 2 ) i SR
′
(O
′ ;
v 1 ,
v 2 ), i els vectors
w i
u. Comproveu gr`aficament que:
O
−→ e (^2)
−→ e (^1)
−→ v (^1)
−→ v (^2)
O
′
−→ w
−→ u
Figura 4.5: Exemple de coordenades de vectors al pla respecte dos sistemes de refer`encia
w =
i
u =
′ ,
w =
i
u =
Definici´o 5. Sigui X un punt qualsevol, i O l’origen de refer`encia del sistema. Anomenarem
coordenades del punt a les coordenades del vector
OX.
Exemple. En l’exemple de la figura 4.5, el punt O
′ en el sistema de refer`encia SR t´e coorde-
nades
, mentre que en el sistema SR
′ , t´e coordenades
Propietats. Fixat un sistema de refer`encia, les coordenades d’un vector o un punt s´on ´uniques.
Algebra Curs 2013/
O
e (^2)
e (^1)
v (^1)
v (^2)
P
O
′
w
−→ e
Q
Figura 4.6: Coordenades en dos sistemes de refer`encia
D’aqu´ı es dedueix que y
′ = 1/2 i x
′ = 1/4.
Si fem el mateix amb el vector
e :
e = x
v 1 + y
v 2 = x
′ (2, 0) + y
′ (1, 2) = (2x
′
′ , 2 y
′ ) = (− 1 , 2).
D’aqu´ı tenim que y
′ = 1 i x
′ = −1.
Primer veurem com es troben les coordenades d’un vector en el sistema nou, i despr´es
veurem com es transformen les dels punts.
Prenem les coordenades de l’origen i vectors de la base del sistema nou respecte el sistema
vell:
O
′
o 1
o 2
v 1 =
v
1
1
v
2 1
v 2 =
v
1
2
v
2 2
w = (x, y) en SR (conegudes) i
w = (x
′ , y
′ ) en SR
′ (desconegudes).
Utilitzant les expressions anteriors tenim:
w = x
v 1 + y
v 2 = x
′ (v
1
1
, v
2
1
) + y
′ (v
1
2
, v
2
2
= (x
′ v
1
1
′ v
1
2
, x
′ v
2
1
′ v
2
2
) = (x, y).
Equivalentment, la relaci´o entre les coordenades noves (x
′ , y
′ ) i les velles (x, y) es pot
escriure com
x
′ v
1 1
′ v
1 2
= x,
x
′ v
2
1
′ v
2
2
= y.
v
1 1
v
1 2
v
2
1
v
2
2
x
′
y
′
x
y
Aix´ı doncs, podem escriure el canvi de coordenades de forma matricial com
A · X
′ = X o tamb´e X
′ = A
− 1 · X,
Algebra Curs 2013/
on X =
x y
)t
´es el vector en coordenades velles, X
′
x
′ y
′
)t
el vector en coordenades
noves, i A ´es la matriu que cont´e les coordenades dels vectors de la base nova respecte la
vella:
A = (
v (^1)
v 2 ) =
v
1 1
v
1 2
v
2 1
v
2 2
Esquem`aticament,
SR(O;
e 1 ,
e 2 ) A
− 1
−−−−−−−→
SR
′ (O
′ ;
v 1 ,
v 2 )
X =
x
y
A
X
′
x
′
y
′
Observaci´o. Observem que, en el cas del pla, com que (
v 1 ,
v 2 ) ´es una base, els dos
vectors s´on no proporcionals, i per tant la matriu A t´e inversa. En el cas de l’espai,
succeeix el mateix: tres vectors formant una base s´on vectors no coplanaris, i aix`o permet
assegurar que A t´e inversa.
Exemple. Prenem de nou l’exemple de la figura 4.6. Fem el canvi usant la relaci´o que
hem vist: (
x
′
y
′
− 1
x
y
x
y
Per tant el vectors
w i
e en el nou sistema tenen coordenades:
w =
e =
- Punts. Siguin P (a, b) en SR (conegudes) i P (a
′ , b
′ ) en SR
′ (desconegudes). Llavors
podem considerar els vectors
O
′ P =
a − o 1
b − o 2
a SR,
O
′ P =
a
′
b
′
a SR
′ ,
(recordem que O
′ ´es l’origen del segon sistema, per tant t´e coordenades (0,0) en el seu
sistema de refer`encia).
Ara podem aplicar el canvi de coordenades entre vectors que hem vist abans
a
′
b
′
= A
− 1
a − o 1
b − o 2
Observaci´o. En el canvi de coordenades dels punts, fixem-nos que tamb´e intervenen les
coordenades del nou origen de coordenades.
Exemple. Siguin P i Q els punts de la figura 4.6. En el sistema de refer`encia SR tenen
coordenades P (2, 5) i Q(5, 5). Llavors
P =
, Q =
Algebra Curs 2013/
4.4 Angles, norma i producte escalar
4.4.1 Angle orientat i no orientat
Definici´o 6. Donats dos vectors
v i
w (al pla o l’espai), definim angle no orientat a la
longitud de l’arc (en radiants) delimitat pels dos vectors (pla o l’espai) situat a dist`ancia 1 de
l’origen com´u dels vectors. El denotem per ∠(
v ,
w ).
Observaci´o. L’angle no orientat sempre pren un valor entre 0 i π. En el cas de vectors a
l’espai af´ı 3D, l’arc delimitat pels dos vector est`a sobre el pla que els cont´e.
Definici´o 7. Donats dos vectors
v i
w al pla, definim angle orientat entre els dos vectors, i
el denotem per ^(
v ,
w ), a l’angle ∠(
v ,
w ) si
w est`a a l’esquerra de
v (mirant en la direcci´o
i sentit de
v ), i a −∠(
v ,
w ) en cas contrari.
Exemple. Siguin
v = (1, 0) i
w = (0, −1) en el sistema de refer`encia (O;
e 1 ,
e 2 ) de la
figura 4.6. Llavors
v ,
w ) =
π
, ^(
v ,
w ) = −
π
Propietats. De l’angle no orientat:
(i) ∠(
v ) = 0.
(ii) Si
v i
w tenen la mateixa direcci´o i sentit ∠(
v ,
w ) = 0.
(iii) Si
v i
w tenen la mateixa direcci´o i diferent sentit ∠(
v ,
w ) = π.
(iv) Si ∠(
v ,
w ) = π/2, diem que
v i
w s´on perpendiculars i ho denotem per
v ⊥
w.
(v) ∠(
v , λ
w ) = ∠(
v ,
w ) si λ > 0.
(vi) ∠(
v , λ
w ) = π − ∠(
v ,
w ) si λ < 0.
Propietats. De l’angle orientat:
(i) Angle orientat: importa l’ordre en qu`e agafem els vectors.
(ii) L’angle orientat entre
v i
w = - angle orientat entre
w i
v.
(iii) ∠(
v ,
w ) = |^(
v ,
w )|.
4.4.2 Norma d’un vector
Definici´o 8. Anomenem norma d’un vector a la seva longitud. Es denota per ||
v ||.
Observaci´o. La longitud d’un vector dep`en de les unitats que haguem fixat inicialment.
Definici´o 9. Direm que una base d’un SR ´es ortonormal, si tots els seus vectors s´on de
norma 1 i perpendiculars entre si.
Algebra Curs 2013/
Exemple. En la figura 4.6, el sistema de refer`encia (O;
e 1 ,
e 2 ) ´es un sistema de refer`encia
ortonormal. En canvi, el sistema (O
′ ;
v 1 ,
v 2 ) no ´es ortonormal (no satisf`a cap de les dos
condicions).
Propietats. Si
v = (v 1 , v 2 ) (al pla) o
v = (v 1 , v 2 , v 3 ) (a l’espai), s´on coordenades respecte
una base ortonormal, llavors la seva norma es pot calcular com
v || =
v
2 1
2 2
, al pla, ||
v || =
v
2 1
2 2
2 3
, a l’espai.
(Veure la figura 4.7.)
e (^1)
e (^2)
v
v 1
v 2
Figura 4.7: Norma d’un vector de coordenades (v 1 , v 2 ) en un sistema de refer`encia ortonormal
Exemple. Prenem el vector de coordenades (1, 1) en el sistema de refer`encia (O;
v 1 ,
v 2 ) de
la figura 4.6. Dibuixeu-lo sobre la graella i observeu que la seva longitud ´es
4.4.3 Producte escalar
Definici´o 10. Donats dos vectors
v i
w , el seu producte escalar
v ·
w es defineix com
v ·
w = ||
v || · ||
w || · cos(∠(
v ,
w ))
Observaci´o. El signe del producte escalar ens indica si l’angle entre els dos vectors ´es agut o
obt´us.
Propietats. Es satisfan les propietats seg¨uents:
(i)
v ·
w =
w ·
v ;
(ii)
v ·
v = ||
v ||
2 ;
(iii) ||λ
v || = |λ| ||
v ||;
(iv)
v ·
(v)
v ·
w = 0 ⇔
v ⊥
w ;
(vi) el vector
v ||
v t´e norma 1.
Exemple. Sigui
v un vector de norma 3. Llavors, 3
v tindr`a longitud (norma) 9, i
1
3
v tindr`a
longitud 1.
Propietats. Altres propietats s´on:
Algebra Curs 2013/
e (^2)
e (^1)
e (^1)
e (^2)
SR+ SR−
O
O
v
v
v
⊥
v
⊥
Figura 4.8: Base orientada positivament (esquerra) i negativament (dreta) i vector perpendi-
cular compatible amb l’orientaci´o.
- Si el sistema est`a orientat positivament,
(i)
w est`a a l’esquerra de
v ,
(ii) ∠(
w ,
v
⊥ ) ´es agut,
(iii)
w ·
v
⊥ > 0.
- Si el sistema est`a orientat negativament,
w est`a a l’esquerra de
v si i nom´es si ∠(
w ,
v
⊥ )
´es obt´us.
(i)
w est`a a l’esquerra de
v ,
(ii) ∠(
w ,
v
⊥ ) ´es obt´us,
(iii)
w ·
v
⊥ < 0.
w
SR+
SR−
v −→ v
v
⊥
v
⊥
w
Figura 4.9: Posici´o relativa de dos vectors
Algebra Curs 2013/
Propietats. Sigui SR un sistema de refer`encia ortonormal i
v i
w vectors del pla. Llavors
- si
v = (v 1 , v 2 ), llavors
v
⊥ = (−v 2 , v 1 ).
Exemple. En els exemples de la figura 4.10 hi ha un vector
v i el seu perpendicular (en
vermell) en dos sistemes de refer`encia:
- en el sistema orientat positivament
v = (2, 1) i
v = (− 1 , 2);
- en el sistema orientat negativament
v = (2, −1) i
v = (1, 2).
e 1
e 2
e 1
e 2
SR+
SR−
v
v
Figura 4.10: Coordenades del vector perpendicular en sistemes de refer`encia ortonormals.
- | det(
v ,
w )| = |
w ·
v
⊥ | = `area del paral·lelogram determinat per
v i
w.
Demostraci´o. La demostraci´o d’aquest fet ´es f`acil a partir de la figura 4.11.
v
w
w || sin(α)
Figura 4.11: Calcul de l’area del paral·lelogram a partir del determinant de dos vectors al pla.
`
Area = ||
v || · ||
w || · sin(α) = ||
v
⊥ || · ||
w || · cos(β) = |
v
⊥ ·
w | = | det(
v ,
w )|.
Algebra Curs 2013/
i calculant la matriu inversa, tindem que les solucions s´on:
x =
z(u 2 v 3 − u 3 v 2 )
u 1 v 2 − u 2 v 1
, y =
−z(u 1 v 3 − u 3 v 1 )
u 1 v 2 − u 2 v 1
Com que hi ha infinites solucions, si prenem z = u 1 v 2 − u 2 v 1 , obtenim un vector perpendicular
concret.
Definici´o 14. Sigui (O;
e 1 ,
e 2 ,
e 3 ) un sistema de refer`encia ortonormal, i
v = (v 1 , v 2 , v 3 )
i
u = (u 1 , u 2 , u 3 ) en coordenades respecte el sistema de refer`encia anterior. Definim producte
vectorial com
u ×
v = (u 2 v 3 − v 2 u 3 , −u 1 v 3 + v 1 u 3 , u 1 v 2 − v 1 u 2 )
u 2 u 3
v 2 v 3
u 1 u 3
v 1 v 3
u 1 u 2
v 1 v 2
i
j
k
u 1 u 2 u 3
v 1 v 2 v 3
Propietats. Siguin
u i
v vectors en un sistema de refer`encia ortonormal.
- L’ordre del producte vectorial importa:
u ×
v = −
v ×
u.
u ×
u =
u ×
v ) ⊥
u i (
u ×
v ) ⊥
v ;
u ×
v || = ||
u || · ||
v || · sin(∠(
u ,
v )) = `area del paral·lelogram determinat per
u i
v ;
- Si el sistema est`a orientat positivament,
u ×
v segueix la regla de la ma dreta.
4.5.3 Determinants i vectors a l’espai
Donats
u ,
v i
w vectors a l’espai respecte un SR , denotem per det(
u ,
v ,
w ) el determinant
de la matriu que t´e per columnes les coordenades dels 3 vectors.
Propietats. (i) | det(
u ,
v ,
w )| =volum del paral·lep´ıped determinat pels 3 vectors.
(ii) Si det(
u ,
v ,
w ) > 0, els 3 vectors tenen la mateixa orientaci´o que el sistema de refer`encia.
(iii) Si det(
u ,
v ,
w ) < 0, els 3 vectors tenen l’orientaci´o contraria que el sistema de referencia.
