¡Descarga Espai Vectorial y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA 1: Espai vectorial
Material de treball autònom
- Indiqueu quines de les següents operacions són internes i quines no.
(a) La suma de nombres naturals, és operació interna dins del conjunt N? (b) El producte de nombres enters, és operació interna dins del conjunt Z? (c) La resta de nombres naturals, és operació interna dins del conjunt N? (d) El quocient de nombres enters, és operació interna dins del conjunt Z?
- Donats els següents vectors de l’espai vectorial R^3
u = (1, 1 , 3) , v = (2, − 5 , 1) , w = (0, 2 , −3)
calculeu
(a) (u + v) + w (b) 2 u − 3 v (c) u − v + 2 w (d) v + w − u
- Estudiar si el vector u = (2, − 1 , 4) és combinació lineal dels vectors v = (2, 2 , 1) i w = (5, 3 , 2)
- Estudiar si el vector u = (1, − 1 , 3) és combinació lineal dels vectors u 1 = (2, − 1 , 0), u 2 = (3, 1 , 1), u 3 = (0, − 1 , 1).
- Estudiar si el vector u = (4, 2 , 3) és combinació lineal dels vectors u 1 = (1, 1 , 1) , u 2 = (3, 2 , −1) , u 3 = (4, 3 , 0) i u 4 = (7, 5 , −1).
- Estudiar per a quins valors del paràmetre k, el vector u = (k, 2 , 1) és combinació lineal dels vectors u 1 = (5, 2 , 0) i u 2 = (3, 0 , 1).
- Estudiar per quins valors del paràmetre k, el vector u = (4, 2 , −5) és combinació lineal dels vectors u 1 = (1, 0 , 1) , u 2 = (0, 1 , k) i u 3 = (k, 2 , k).
- Estudiar la dependència / independència dels vectors
u 1 = (5, 6 , 2) , u 2 = (2, 3 , 5) , u 3 = (3, 2 , −1)
- Per a quins valors del paràmetre k els vectors
u 1 = (3, 5 , 1) , u 2 = (k, 4 , 7) , u 3 = (2, −k, 0) , u 4 = (k, k, 3)
són linealment independents.
- Si u 1 i u 2 són vectors linealment independents, raonar si les següents afirmacions són sempre certes
(a) Els vectors w 1 i w 2 definits per w 1 = u 1 + u 2 i w 2 = u 1 − u 2 són sempre linealment independents. (b) Els vectors w 1 , w 2 i w 3 definits per w 1 = u 1 i w 2 = u 1 + u 2 i w 3 = u 1 − u 2 són sempre linealment independents.
- Raoneu si les afirmacions següents són sempre certes
(a) A l’espai vectorial R^3 no pot haver-hi conjunts de més de tres vectors que siguin independents (b) A l’espai vectorial R^4 , tot conjunt de 4 vectors és base de R^4 (c) A l’espai vectorial R^4 , tot conjunt de menys de 4 vectors és linealment independent (d) A l’espai vectorial R^4 , tot conjunt amb més de 4 vectors és sistema de generadors de R^4.
- Veure si els vectors u 1 = (2, 3 , 1), u 2 = (5, 4 , 2) i u 3 = (5, 0 , 1) formen un sistema de generadors de R^3.
- Donats els vectors
u 1 = (− 2 , 3 , 2) , u 2 = (a + 2, 0 , 3) i u 3 = (5, 3 , a)
(a) Per quins valors del paràmetre a, aquests vectors formen un sistema de generadors de l’espai vectorial R^3? (b) Per quins valors del paràmetre a, aquests vectors són linealment in- dependents?
- Per quins valors del paràmetre a, els vectors
u 1 = (a, 0 , a) , u 2 = (1, 1 , 1) i u 3 = (2, 5 , a)
son una base de R^3?
- Donats els vectors de R^3
u 1 = (− 1 , 2 , 3) , u 2 = (0, 2 , 2) i u 3 = (5, − 2 , −3)
(a) Veure que formen base de R^3 (b) Calcular els components del vector u = (4, 2 , 2) en aquella base.
- Els vectors
u 1 = (2, −3) , u 2 = (1, 4) , u 3 = (4, 5) i u 4 = (7, 12)
generen un determinat subespai vectorial R^2. Calculeu-ne una base i digueu quina és la dimensió d’aquest subespai vectorial.
- Determineu quina és l’expressió analítica del subespai vectorial de R^2 gen- erat pel vector u = (1, 2)
- Determineu quina és l’expressió analítica del subespai vectorial de R^3 gen- erat pels vectors u 1 = (1, 0 , 2) , u 2 = (2, 2 , −3)
- Si S y V són dos subespais vectorials d’un mateix espai vectorial, demostreu que la seva intersecció també és un subespai vectorial del mateix espai. (La intersecció de S i V es representa per S ∩ V i correspon al conjunt de vectors que pertanyen a S i a V a la vegada)
- Determineu raonadament, la certesa o la falsetat de les afirmacions següents
(a) Tot conjunt de vectors entre els que hi figuri el vector 0 és linealment dependent. (b) Tot subconjunt de Rn^ que no contingui el vector 0 , no és subespai vectorial de Rn. (c) Perquè un subconjunt de Rn^ sigui subespai vectorial, cal que contin- gui el vector 0. (d) Un conjunt de vectors entre els que hi figuri el vector 0 , no pot ser mai sistema de generadors d’un subespai vectorial.
- Determineu raonadament la certesa o la falsetat de les afirmacions següents
(a) En un espai vectorial de dimensió n, totes les bases tenen n vectors (b) En un espai vectorial de dimensió n, qualsevol conjunt de vectors linealment independents té exactament n vectors. (c) En un espai vectorial de dimensió n, qualsevol sistema de generadors no pot tenir més de n vectors (d) En un espai vectorial de dimensió n, no pot haver-hi conjunts amb menys de n vectors que siguin linealment independents.
- En Joan ha calculat una base d’un subespai vectorial de R^3 i ha obtingut els vectors {(3, 2 , 3) , (1, − 2 , 1)}
En Pere ha calculat una base del mateix subespai vectorial i ha obtingut els vectors {(7, 2 , 7) , (2, 4 , 2)}
En Jordi ha calculat una base del mateix espai vectorial i ha obtingut
{(7, 2 , 7)}
Si sabem que la dimensió del subespai vectorial és 2, raona si les afirma- cions següents són falses o certes
(a) La base calculada pel Jordi segur que està mal calculada (b) Les bases calculades pel Joan i el Pere són bases del mateix subespai vectorial, però no podem saber amb certesa si estan ben calculades, ja que desconeixem l’espai vectorial. (c) Les bases calculades pel Joan i el Pere són bases de diferents subespais vectorials i per tant, alguna d’elles (o potser totes dues) estan mal calculades. (d) Les tres bases estan mal calculades.
