¡Descarga Diagonalització y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Cap´ıtol 3
Diagonalitzaci´o
3.1 Valors i vectors propis
Definici´o 1. Donada una matriu quadrada A, es diu que λ (real o complex) ´es un valor propi de A si existeix un vector v ̸= 0 tal que
Av = λv.
En aquest cas es diu que v ´es un vector propi de A associat al valor propi λ.
Observaci´o. Per a cada valor propi λ existeixen infinits vectors propis, ja que si multipliquem un vector propi v per un real α diferent de 0 el resultat tamb´e ´es un vector propi, ´es a dir, si α ̸= 0 y v ´es un vector propi associat a λ, aleshores αv ´es, tamb´e, un vector propi de valor propi la i A(αv) = α · Av = α · (λv) = λ(αv) Denotem per Eλ el subconjunt de tots els vectors que satisfan Av = λv, ´es a dir:
Eλ = {vectors propis} ∪ { 0 }.
Aquest conjunt ´es un subespai propi de valor propi λ. Es important notar que´ λ ´es un valor propi si i nom´es si Eλ ̸= { 0 }.
Exemple. (^)
Per tant, v =
(^) ´es un vector propi de valor propi λ = 5.
Per tant, v =
(^) i λ = 0; llavors v es un vector propi i λ = 0 ´es valor propi.
3.1.1 C`alcul dels valors i vectors propis
Considerem una matriu quadrada real A de dimensi´o n.
Definici´o 2. Definim el polinomi caracter´ıstic de A com:
pA(λ) = det(A − λI)
on I ∈ Mn×n ´es la matriu identitat.
Propietats. El polinomi caracter´ıstic pA(λ) satisf`a les seg¨uents propietats:
- el seu grau ´es n,
- seu coeficient de grau m´es gran ´es (−1)n,
- seu terme independent coincideix amb det(A),
- pA(λ) = pAt^ (λ).
Proposici´o 1. Els valors propis de A s´on les arrels de pA(λ). Per tant com a m`axim hi poden haver n valors propis de A i si n ´es senar sempre hi ha un valor propi real.
Proposici´o 2. Si λ¯ ´es un valor propi de A, els vectors propis associats s´on les solucions no nules del sistema lineal (A − ¯λI)v = 0.
i dim(Eλ¯) = n − rang(A − ¯λI) ≥ 1.
Exemple. Considerem la matriu
A =
Calculem el polinomi caracter´ıstic
pA(λ) = det(A − λI) =
1 − λ 0 − 4 − 1 2 − λ 2 0 0 − 1 − λ
= (− 1 − λ) 1 − λ 0 − 1 2 − λ
= (− 1 − λ)(1 − λ)(2 − λ)
les arrels de pA(λ) s´on {− 1 , 1 , 2 } i per tant els valors propis s´on {− 1 , 1 , 2 }. Per calcular els vectors propis, per a cada valor propi hem de resoldre el sistema (A − ¯λI)v = 0, comencem per:
λ = 1: Hem de resoldre el seg¨uent sistema lineal:
= (A − I)
x y z
x y z
Proposici´o 3. Considerem una matriu A ∈ Mn×n i suposem que el seu polinomi caracter´ıstic ´es
pA(λ) = (λ − λ 1 )m^1 (λ − λ 2 )m^2 · · · (λ − λk)mk
amb λi diferents dos a dos. Llavors s´on equivalents
- A es diagonalitzable
- λi ∈ R i n − rang(A − λiI) = mi per a tot i = 1,... , k
En particular, si tots els valors s´on reals i diferents la matriu ´es diagonalitzable.
3.2.1 Com construir D i P
Sigui A ∈ Mn×n una matriu quadrada diagonalitzable i suposem que el seu polinomi carac- ter´ıstic ´es
pA(λ) = (λ − λ 1 )m^1 (λ − λ 2 )m^2 · · · (λ − λk)mk
on els valors λi s´on diferents dos a dos. Aleshores, la matriu diagonal D est`a formada per els valors propis λi repetits segons la seva multiplicitat
D = diag(
m 1 z }| { λ 1 ,... , λ 1 ,... ,
mk z }| { λk,... , λk ).
Per a cada valor propi λi calculem mi valors propis vi 1 ,... vimi linealment independents (es a dir, la ´unica soluci´o per el sistema α 1 vi 1 + · · · + αmi vimi = 0 ´es αj = 0 per a tot j = 1,... , mi). Aleshores la matriu P esta formada pels vectors propis posats en columna:
P =
v^11 |v^12 |... |v^1 m 1 | · · · · · · |vk 1 |... |vkm 1
Exemple. Hem vist que els valors propis de la matriu:
A =
s´on { 1 , − 1 , 2 } i els seus vectors propis: (1, 1 , 0)t, (2, 0 , 1)t, (0, 1 , 0)t, respectivament. Aleshores la matriu D ´es
D = diag(1, − 1 , 2) =
i la matriu P ´es:
P =
com que els valors propis no tenen un ordre determinat haurem de tenir en compte l’ordre en que posem els valors propis quan constru¨ım la matriu P. Aix´ı si al construir D posem
D =
llavors P haur`a de ser:
P =
Exemple. Considerem la matriu
A =
que t´e valors propis: { 1 , 1 , − 1 }. Aquesta matriu diagonalitzar`a si i nom´es si 3−rang(A−I) = 2. Calculem A − I i el seu rang:
A − I =
que clarament t´e rang 1 ja que una fila ´es tota de zeros i la tercera es coincideix amb la primera multiplicada per -1. Per tant, la matriu A ´es diagonalitzable: la matriu D ´es
D =
Ara busquem la matriu P. λ = 1: Hem de resoldre el seg¨uent sistema lineal:
= (A − I)
x y z
x y z
Las solucions de aquest sistema s´on de la forma (x, −x, z)t, per tant dos valors propis inde- pendents associats al valor propi λ = 1 s´on (1, − 1 , 0)t^ i (0, 0 , 1)t. λ = −1: Hem de resoldre el seg¨uent sistema lineal:
= (A − I)
x y z
x y z
Las solucions de aquest sistema s´on de la forma (x, 0 , −x)t, per tant un valors propi associat al valor propi λ = −1 ´es (1, 0 , −1)t Per tant, la matriu P v´e donada per:
i wi
1 w 1 = Aw 0 =
2 w 2 = Aw 1 =
3 w 3 = Aw 2 =
4 w 4 = Aw 3 =
5 w 5 = Aw 4 =
6 w 6 = Aw 5 =
Sembla que estem aproximant m´ultiples de
, que ´es un vector propi de A.
Proposici´o 4. Si A ´es una matriu n × n diagonalitzable amb valor propi dominant, aleshores existeix un vector w 0 diferent de 0 tal que la successi´o
w 0 , Aw 0 , A^2 w 0 ,... , Akw 0 ,...
convergeix a un m´ultiple del vector propi dominant de A.
Si v ´es un vector propi de A, el valor propi associat ve donat per:
λ =
(Av) · v v · v
Per tant, si volem calcular directament el valor propi maximal, prenem un vector w 0 diferent de 0, i la iteraci´o ve donada per
wi = Awi− 1 = Aiw 0
λi =
wi · wi− 1 wi− 1 · wi− 1
Exemple. Considerem la matriu
A =
Comencem amb w 0 =
La successi´o {λi} convergeix a −2 que ´es el valor propi associat al vector propi
i wi λi
1 w 1 =
λ 1 = − 7
2 w 2 =
λ 2 = − 2. 758620690
3 w 3 =
λ 3 = − 2. 276018100
4 w 4 =
λ 4 = − 2. 121397380
5 w 5 =
λ 5 = − 2. 057248205
6 w 6 =
λ 6 = − 2. 027832546
3.4 Aplicacions
Moltes vegades ´es mes senzill resoldre un problema quan la matriu ´es diagonal, Existeixen diversos problemes en els que si diagonalitzem la matriu podem resoldre el problema per la matriu diagonal i despr´es resoldre el problema per la matriu original, transformant la solu- ci´o mitjan¸cant la matriu P. Exemples molt senzills s´on: calcular la pot`encia d’una matriu, l’estudi de creixement (simplificat) de poblacions,“matrius de Markov” (probabilitat) oresoldre equacions diferencials. Nosaltres nom´es parlarem dels tres primers.
3.4.1 Pot`encia d’una matriu
Si D = diag(a 1 ,... , an) ´es una matriu diagonal de dimensi´o n, la seva potencia k-´esima Dk^ ´es una altra matriu diagonal i els seus elements s´on les potencies k-´esimes dels elements de D en el mateix ordre: Dk^ = diag(ak 1 ,... , akn) Sigui A una matriu diagonalitzable, aleshores sabem existeixen dues matrius P i D, tals que D ´es diagonal i que es compleix que A = P DP −^1. Llavors,
Ak^ =
P DP −^1
)k = P DP | −^1 P DP{z − 1 · · · P DP −}^1 k
= P DkP −^1 (3.1)
Exemple. Hem vist que la matriu
A =
es pot escriure com A = P DP 1 on:
D =
(^) i P =
per tant,
x(k) = Ax(n) = Aα 1 λk 1 −^1 v 1 + · · · + Aαnλk n− 1 vn = α 1 λk 1 v 1 + · · · + αnλnnvn
= λk 1
[
α 1 v 1 + · · · + αn
λn λ 1
)k vn
]
Com λ 1 ´es el valor propi dominant, tenim que λ λi 1 < 1 per tot i = 2,... , n; per tant
lim k→∞
λi λ 1
)k = 0.
Es a dir, despr´^ ´ es de moltes iteracions (k gran) tenim
x(k) ≈ α 1 λk 1 v 1 (3.2)
i es preserva la relaci´o entre iteracions consecutives:
x(k + 1) ≈ α 1 λk 1 +1 v 1 ≈ λ 1 x(k)
En aquest cas podem dir:
- La composici´o x de la poblaci´o ´es proporcional al vector propi associat al valor propi dominant λ 1 : v 1 defineix la distribuci´o estable d’edats (o de mides) de la poblaci´o.
- D’una iteraci´o a la seg¨uent, la poblaci´o creix amb una taxa igual a λ 1 (taxa de creixe- ment asimpt`otic de la poblaci´o): - Si λ 1 > 1, la poblaci´o creix indefinidament; - si λ 1 < 1, la poblaci´o tendeix a 0 (s’extingeix); - si λ 1 = 1, la poblaci´o tendeix a estabilitzar-se.
- Si la matriu no t´e un valor propi dominant, la composici´o de la poblaci´o va oscil·lant a mesura que fem iteracions (onades de naixements).
Exemple. Considerem un model de poblaci´o de joves i adults donat per la matriu:
A =
Els valors propis de A s´on:
λ 1 =
≈ 1 .06394 i λ 2 =
Clarament, λ 1 ´es el valor propi dominant, i un vector propi seu ´es
v 1 =
)t ≈ (1. 87980 , 1)t
La distribuci´o estable d’edats ´es 1.88 joves per cada adult. Com el valor propi dominant ´es major que 1, la poblaci´o creix indefinidament.
Exemple. Considerem ara una poblaci´o donada por la matriu
A =
i una poblaci´o inicial x(0) = (0, 0 , 100)t. Les primeres iteracions del model s´on:
x(1) =
(^) x(2) =
(^) x(3) =
Per tant, cada 3 iteracions tornem al comen¸cament. Es a dir, per moltes iteracions que fem,´ les freq¨uencies (relatives) de les components del vector x(k) no s’estabilitzen sin´o que oscil·len indefinidament. Aixo ´es el que hauria de passar ja que els seus valors propis s´on:
λ 1 = 1, λ 2 =
i i λ 3 =
i
Els tres valors propis tenen m`odul 1, per tant no hi ha valor propi dominant.
3.4.3 Matrius de Markov
Definici´o 5. Un vector es diu de probabilitats si totes les seves components son no negatius i sumen 1. Una matriu es diu de probabilitats si totes les seves columnes s´on vectors de probabilitats.
Exemple. La matriu (^) ( − (^1 ) (^0 )
no ´es de probabilitats ja que hi ha un element negatiu. La matriu (^) ( 3 2
1 2 (^0 )
no ´es de probabilitat perqu`e la suma d’els elements de la primera columna no ´es 1: 32 + 0 = (^32)
Proposici´o 5. El producte de matrius de probabilitats ´es una altra matriu de probabilitats.
Considerem un experiment amb espai mostral S = {E 1 , E 2 ,... , En} (´es a dir, els diferents resultats que podem obtenir al realitzar l’experiment s´on {E 1 , E 2 ,... , En})
Definici´o 6. La matriu de transici´o de una cadena de Markov ´es una matriu de probabilitats T = (pi,j )i=1,...,n j=1,...,n
tal que la seva component pi,j ´es la probabilitat de que el sistema
passi de l’estat Ei a l’estat Ej en intents successius de l’experiment.
Proposici´o 6. La component i, j de la matriu T k^ ens d´ona la probabilitat de que el sistema passi de l’estat Ei a l’estat Ej en k intents successius del experiment.
`es regular ja que:
B^2 =
1 2
1 4
1 1 4 4
1 2
1 1 4 4
1 4
1 2
Proposici´o 7. Sigui A una matriu de probabilitats regular, llavors es compleix:
- 1 ´es un valor propi de A.
- 1 t´e un ´unic vector propi associat, v, ´es un vector de probabilitat i se l’anomena distri- buci´o estacionaria de A.
- Donat qualsevol vector de probabilitat w, es verifica que Akw tendeix a v quan k creix.
- Les files de la matriu Ak^ tendeixen a v quan k creix.
Exemple. Considerem l’experiment d’abans, que tenia per matriu de transici´o
T =
Volem saber el percentatge de dies que una persona estar`a sana. El que hem de calcular ´es el vector propi associat al valor propi 1 de manera que les seves components sumen 1. ´es a dir, hem de resoldre el sistema:
(T − I)
x y
x + y = 1
i ens quedem amb la primera component, que ´es la que correspon a les persones sanes. Els vectors propis associats al valor propi 1 s´on de la forma (15y, y)t. Si ara afegim la condici´o x + y = 1 obtenim y = 0.0625, x = 0.9375. Per tant, el percentatge de dies que una persona estar`a sana es 93.75%.
