¡Descarga Espai euclidià y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA 2: Espai Euclidià
Material de treball autònom
- Calculeu, quan sigui possible, el producte escalar dels vectors u i v en els següents casos
(a) u = (2, 5 , 6) i v = (3, 1 , 1) (b) u = (4, 2) i v = (5, 6) (c) u = (1, 3 , 1) i v = (5´ , 2) (d) u = (2, 2 , 0) i v = (3, − 3 , 1)
- Si u = (− 3 , 1 , 2) , v = (5, 0 , 3) , λ = 2 i μ = 4, efectueu les operacions següents
(a) (u + v) · (u − v) (b) (u · u) · v (c) λu + μv (d) λ (u + v) − μv
- Determinar el valor del paràmetre k si volem que el producte escalar dels vectors u = (3, k, k) i v = (1, − 3 , k) valgui 1.
- Analitzeu si els vectors u i v són perpendiculars (ortogonals) en els casos següents
(a) u = (4, 1) i v = (− 4 , 1) (b) u = (2, 1 , 2) i v = (− 2 , − 1 , −2) (c) u = (3, 1 , −2) i v = (1, 5 , 4) (d) u = (3, 5 , 1) i v = (0, 0 , 0)
- Quin ha de ser el valor del paràmetre k si volem que els vectors
u = (k, 4 , 5) i v = (k, −k, −1)
siguin ortogonals.
- Si (a, b) i (c, d) son vectors ortogonals de R^2 , verifiqueu que també són linealment independents.
- Si u = (2, 3 , 5) i v = (3, 3 , 2), calcular
(a) kuk i kvk (b) k 3 uk
(c) k− 3 uk (d) ku + vk
- Donats els vectors u = (1, 3 , 4) i v = (0, − 4 , −3), es demana
(a) Verificar si es compleix |u · v| ≤ kuk · kvk (b) Verificar si es compleix ku + vk ≤ kuk + kvk
- Normalitzar els vectors u = (2, 5) i v = (7, −7)
- Veure si els vectors
u 1 = (1, 0 , 0) , u 2 = (0, 6 , 8) i u 3 = (0, − 8 , 6)
formen una base ortonormal de R^3.
- Determinar per quins valors del paràmetre k, la norma del vector u = (3, − 2 , k) és 20.
- Calcular l’angle determinat pels vectors u = (4, 2 , −6) i v = (0, 3 , −1).
- Calculeu l’angle determinat pels vectors u = (0, 1 , 1) i v = (1, 0 , 1).
- Calcular la distància entre els vectors u = (3, 0 , 5) i v = (7, 2 , 1)
- Per quins valors del paràmetre k, la distància entre els vectors u = (5, k) i v = (8, 1) és 5.
- Donat el conjunt A, de punts de R^2 , definit per
A =
(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 ≤ 4
quines de les afirmacions següents són certes
(a) A és obert (b) A és tancat (c) A és acotat (d) A és compacte (e) A és convex
- Donat el conjunt A, de punts de R^2 , definit per
A =
(x, y) ∈ R^2 | x + y ≤ 1 i x − y > 2
quines de les afirmacions següents són certes
(a) A és obert (b) A no és ni obert ni tancat
(d) Si una forma quadràtica és semidefinida negativa, pot ser que la seva restricció a un subespai, doni lloc a una forma quadràtica semi- definida positiva.
- Estudieu el signe de la forma quadràtica de R^3 definida per
f^ ´ (x, y, z) = 2x^2 + 5xy + 2yz
si la restringim al conjunt
S =
(x, y, z) ∈ R^3 | x = 2y
- Donada la forma quadràtica de R^3 que té per matriu associada
A =
(a) Dertemineu-ne el seu signe (b) Determineu el seu signe si la restringim al subespai definit per
S =
(x, y, z) ∈ R^3 | 2 x + y − z = 0
- Determineu, en funció del paràmetre a, el signe de la forma quadràtica de R^2 definida per f (x, y) = 3x^2 + 2y^2 + axy
- Determineu, en funció del paràmetre a, el signe de la forma quadràtica de R^3 definida per
f (x, y, z) = −x^2 − 4 y^2 − z^2 + xy + ayz
- Al calcular el determinant ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y 5 z x x 2 x 2 1 3
s’obté una forma quadràtica de R^3. Determineu quin és el signe d’aquesta forma quadràtica.
- Una empresa fabrica dos productes A i B, en quantitats x i y respectiva- ment. Si la funció de beneficis vingués donada per l’expressió
B (x, y) = 3x^2 + 5y^2 − 16 xy,
(a) Vegeu que aquesta empresa pot tenir pèrdues. (b) Si la quantitat de producte A que fabriquem és la quarta part de la que fabriquem del producte B, l’empresa tindrà pèrdues?
