¡Descarga Espai vectorial (apunts) y más Diapositivas en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
Tema 1. Espacio vectorial (^) n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Vectores y operaciones en n 2. Base y dimensión de n 3. Subespacios vectoriales de (^) n
n^ a 1 , a 2 , , an / a 1 , a 2 , , an
3
4
(^5) , , 6 3 4, 7,0,^1 5
(^)
Ejemplos:
Los elementos del conjunto (^) ^ n se denominan VECTORES
1.1 Definición de n
1. Vectores y operaciones en n
Consideremos el conjunto:
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
n n n
u v u v n
u^ ^ u 1 , u 2 , , un n
v^ ^ v 1 , v 2 , , vn n
u^ ^ v ^ (^) u 1 (^) v 1 (^) , u 2 (^) v 2 , , un vn n
que se calcula:
1.2 Operación interna o suma en n
1. Vectores y operaciones en n
Definimos:
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
u^ ^ (^) 3,0, (^2) ^3 v^ (^) 8, 5,10 (^) ^3
3 ^ 8,0^ 5 ,^ ^ ^2 ^10 ^ 11,^ 5,8^ ^3
Ejemplo: Sumar los siguientes vectores
u v
u^ ^ (^) 1, 2 (^) ^2 v^ ^ ^ 6,^ ^5 ^ ^2
^1 6, 2^ ^ ^5 ^ ^ ^ 5,^ ^3 ^ ^2
Ejercicio: Sumar los siguientes vectores
u v
1. Vectores y operaciones en n 1.2 Operación interna o suma en n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
u v w^ , , n , ,
1. Conmutativa: (^) u^ ^ v ^ v ^ u 2. Asociativa: (^) u^ ^ v ^ w ^ u ^ (^) v ^ w 3. Existencia de elemento neutro: 0 n
tal que (^) u 0 0 u u
^
1.4 Propiedades del espacio n
1. Vectores y operaciones en n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
4. Existencia de elemento simétrico:
u n
tal que
u u u u 0
5. Existencia de elemento unidad:
1 tal que^1 u^ ^ u ^ 1 u
1. Vectores y operaciones en n 1.4 Propiedades del espacio n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
6. “Asociatividad”: 7. “Distributividad”:
^ ^ ^ ^ u^ ^ ^ ^ u
^ ^ ^ ^ u^ ^ ^ ^ u^ ^ u
En general, cualquier conjunto dotado de una operación interna (suma) y otra externa (producto por escalares) que cumpla estas propiedades se dice que tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL
(^) u v (^) u v
Dado el conjunto de vectores u^ 1^ , u 2^ , , u m n
Diremos que v^ ^ n es COMBINACIÓN LINEAL de los
vectores
1 , 2 , , m tales que^ v^ ^ 1 ^ u 1^ ^ ^ m um
u 1 , u 2 , , um
2.1 Combinación lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejemplo: Dados los vectores
1 2 2 2
3, 0, 1
u u
v^ 3, 2 ^2
u 1 (^) , u 2 Averiguar si el vector se puede poner como combinación lineal de los vectores
3, 2^ ^ 1 ^ 3,5^ ^ 2 ^ 0,^ ^1
Veamos si existen 2 escalares 1 , 2 tales que:
2. Base y dimensión de n 2.1 Combinación lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejercicio: Dados los vectores
1 2 2 2
1, 2, 2
u u
v^ 3, 2 ^2
u 1 (^) , u 2 Averiguar si el vector se puede poner como combinación lineal de los vectores
3, 2^ ^ 1 ^ 1,1^ ^ 2 2,^ ^2
Veamos si existen 2 escalares 1 , 2 tales que:
2.1 Combinación lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1 2 1 2
3, 2^ ^ 1 ^ 1,1^ ^ 2 2,^ ^2
Por tanto, como NO existen los escalares podemos afirmar que el vector (-3,2) no se puede poner como combinación lineal de los vectores (1,1) y (-2,-2)
Conclusión: 1 , 2
2. Base y dimensión de n 2.1 Combinación lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1 2 1 2
(^)
A
, 1 2 3 1 2 2 ^ ^ A C (^) rang A 1 rang A , C 2 ^ Sistema incompatible
Ejercicio: Dados los vectores ^
1 3 2 3 3 3
1, 1, 4 1,0, 5 0,0,
u u u
5,^ 2,6^ ^ 1 ^ 1,^ 1, 4^ ^ 2 ^ 1,0,^ ^5 ^ 3 0,0,7
Veamos si existen 3 escalares (^) 1 , 2 , 3 tales que:
v^ 5, 2,6 ^3
u 1 (^) , u 2 (^) , u 3
Averiguar si el vectorcombinación lineal de los vectores (^) se puede poner como
2.1 Combinación lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1 2 1 1 2 3
5 2 6 4 5 7
1 2
2 3
5,^ 2,6^ ^ 1 ^ 1,^ 1, 4^ ^ 2 ^ 1,0, ^5 ^ ^ 3 0,0,7
6 4 2 5 2 7 3
5 2 2
6 4 2 5 3 7 3 13 7 3 3 13 Puesto que hemos encontrado los escalarespodemos afirmar que el vector (5,-2,6) lo podemos poner como^ ^ 7 combinación lineal de los vectores (1,-1,4), (1,0,-5) y (0,0,7)
1 , 2 , 3
Conclusión:
2. Base y dimensión de n 2.1 Combinación lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
También se puede comprobar viendo si el sistema es compatible
Los vectores u 1 , u 2 , , um n
Es decir, si al poner el vector NULO como combinación lineal de los vectores u^ 1^ , u 2^ , , u m ALGÚN escalar puede ser diferente de 0
son LINEALMENTE DEPENDIENTES (L.D.)
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1 u 1 2 u 2 m um 0 con algún^ ^ j ^0
Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores son linealmente independientes
0,0,0^ ^ 1 ^ 0,^ 1,6^ ^ ^ 2 ^ 4,0,0^ ^ 3 ^ 3,^ 8,0
Se debe comprobar si la solución del sistema de ecuaciones
es únicamente 1 2 3 0
1 3 2 3 3 3
0, 1, 4,0, 3, 8,
u u u
2. Base y dimensión de n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Es decir, si el sistema es compatible determinado
2 3 1 3 1
0 4 3 0 8 0 6
(^) 1 ^0
3 0
0 8 3 0 ^4 2 2 0
0,0,0^ ^ 1 ^ 0,^ 1,6^ ^ ^ 2 ^ 4,0,0^ ^ 3 ^ 3,^ 8,0
Conclusión: Por tanto, los vectores son linealmente independientes
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejercicio: Averiguar si los siguientes vectores son linealmente independientes
0,0^ ^ 1 ^ 4,0^ ^ 2 ^ 1,^ ^1 ^ ^ 3 2,6
Se debe comprobar si la solución del sistema de ecuaciones
es únicamente 1 2 3 0
1 2 2 2 3 2
4, 1, 1 2,
u u u
2. Base y dimensión de n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Es decir, se debe comprobar si el sistema es compatible determinado
Ejercicio: Como hemos visto que los vectores siguientes son linealmente dependientes
4,0^ ^ 1 ^ 1,^ ^1 ^ ^ 2 2,6
Comprobemos, por ejemplo, si es cierto que
1 2 2 2 3 2
4, 1, 1 2,
u u u
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
comprobar que alguno de ellos es combinación lineal de los restantes
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Para ello basta con comprobar si el sistema es compatible
1 2 1 2
4 2 0 6
(^)
Conclusión: El vector (4,0) es combinación lineal de los otros dos
4,0^ ^ 1 ^ 1, ^1 ^ ^ 2 2,6
2. Base y dimensión de n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1 2 1 6 A ^
, 1 2 4 1 6 0 A C ^ rang A 2 rang A , C 2 ^ Sistema compatible
Además también se cumple que: (1,-1) es combinación lineal de (4,0) y (2,6) (2,6) es combinación lineal de (1,-1) y (4,0)
En particular: (^) 4,0 (^) 3 1, (^1) (^1) 2,6 2
Ejercicio: Dados los vectores
4, 2^ ^ 1 ^ 2,1^ ^ 2 3,5
a)
1 2 2 2 3 2
4, 2 2, 3,
u u u
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
a) Comprobar si son linealmente dependientes o independientes b) ¿Es posible escribir cualquiera de ellos como combinación lineal de los restantes?
Por tanto los tres vectores son linealmente dependientes, ya que ALGUNO de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Obsérvese que (^) 4, 2 2 (^) 2,1 0 3,5
Puede comprobarse resolviendo el sistema de ecuaciones o aplicando la propiedad anterior. Por ejemplo, comprobemos si
Además (^) 2,1 (^1) 4, 2 (^) 0 3,5 2
1 2 1 2
3 4 2 5 2
(^)
Conclusión: El vector (3,5) no es combinación lineal de los otros dos
3,5^ ^ 1 ^ 4, 2^ ^ 2 2,1
2. Base y dimensión de n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
b) Comprobemos si
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Bastará con ver si el sistema es compatible 4 2 2 1 A ^ , 4 2 3 2 1 5 A C ^ rang A 1 ^ rang A , C 2 ^ Sistema incompatible
Ejemplo: Estudiar si son linealmente independientes los vectores
1, 4,3 , ^ 3,0,1^ ^ y 2,^ 1,^ ^5
Como hemos visto que el determinante
podemos asegurar que los tres vectores son linealmente independientes
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.3 Relación con el rango de una matriz
Ejercicio: Estudiar si los vectores siguientes son linealmente independientes:
1,^ 1,0,3 , 2, 2,^ 1,1^ ^ y 3,1,^ 1,5
La matriz que podemos formar con estos vectores es: Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.3 Relación con el rango de una matriz
2. Base y dimensión de n
Calculemos determinantes de submatrices cuadradas de orden 3 :
Hay que comprobar otros determinantes de orden 3
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.3 Relación con el rango de una matriz
Conclusión: Como existe una submatriz de orden 3 con determinante distinto de 0 , podemos asegurar que los 3 vectores son linealmente independientes
Ejercicio: Estudiar cuáles de los vectores siguientes son linealmente independientes
1,^ 1,3 , 2,^ 2,6^ y 1,0,1
La matriz que podemos formar con estos vectores es: Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.3 Relación con el rango de una matriz
Como el determinante de orden 3
es nulo, resulta que los 3 vectores son linealmente dependientes
2. Base y dimensión de n
Propiedad:
el rango de la matriz que forman es igual a n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1 ,^2 ,^ ,^
n
u u u m
son un SISTEMA GENERADOR de
Los vectores
2.4 Sistema de generadores de n
^ n
Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores forman un sistema generador de
Para ello, debemos estudiar el rango de la matriz (^)
1 2 2 2 3 2
3, 2, 2 0,
u u u
^2
2. Base y dimensión de n 2.4 Sistema de generadores de n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Como
el rango de la matriz es 2 y, por tanto, son un sistema generador de ^2
Los vectores u 1 , u 2 , , um n
son UNA BASE de n
- Son vectores linealmente independientes
2) Son un sistema generador de n
2.5 Base de n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores forman una base del espacio vectorial
Se debe comprobar si:
- Son vectores linealmente independientes
- Forman un sistema generador de
1 2 2 2
4, 1, 2
u u
^2
^2
2. Base y dimensión de n 2.5 Base de n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
