¡Descarga ejercicio de espai vectorial y más Ejercicios en PDF de Finanzas Empresariales solo en Docsity!
TEMA 1: Espai Vectorial
Material de treball aut`onom
- Indiqueu quines de les seg¨uents operacions s´on internes i quines no:
(a) La suma de nombres naturals, ´es operaci´o interna dins del conjunt N? (b) El producte de nombres enters, ´es operaci´o interna dins del conjunt Z? (c) La resta de nombres naturals, ´es operaci´o interna dins del conjunt N? (d) El quocient de nombres enters, ´es operaci´o interna dins del conjunt Z?
- Donats els seg¨uents vectors de l’espai vectorial R^3
~u = (1, 1 , 3) , ~v = (2, − 5 , 1) , w~ = (0, 2 , −3)
calculeu:
(a) (~u + ~v) + w.~ (b) 2~u − 3 ~v. (c) ~u − ~v + 2 w.~ (d) ~v + w~ − ~u.
- Estudieu si el vector ~u = (2, − 1 , 4) ´es combinaci´o lineal dels vectors ~v = (2, 2 , 1) i w~ = (5, 3 , 2).
- Estudieu si el vector ~u = (1, − 1 , 3) ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 = (2, − 1 , 0), ~u 2 = (3, 1 , 1), ~u 3 = (0, − 1 , 1).
- Estudieu si el vector ~u = (4, 2 , 3) ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 = (1, 1 , 1) , ~u 2 = (3, 2 , −1) , ~u 3 = (4, 3 , 0) i ~u 4 = (7, 5 , −1).
- Estudieu per a quins valors del par`ametre k, el vector ~u = (k, 2 , 1) ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 = (5, 2 , 0) i ~u 2 = (3, 0 , 1).
- Estudieu per quins valors del par`ametre k, el vector ~u = (4, 2 , −5) ´es combinaci´o lineal dels vectors ~u 1 = (1, 0 , 1) , ~u 2 = (0, 1 , k) i ~u 3 = (k, 2 , k).
- Estudieu la depend
encia / independencia lineal dels vectors
~u 1 = (5, 6 , 2) , ~u 2 = (2, 3 , 5) , ~u 3 = (3, 2 , −1)
- Per a quins valors del par`ametre k els vectors
~u 1 = (3, 5 , 1) , ~u 2 = (k, 4 , 7) , ~u 3 = (2, −k, 0) , ~u 4 = (k, k, 3)
s´on linealment independents?
- Si ~u 1 i ~u 2 s´on vectors linealment independents, raoneu si les seg¨uents afirmacions s´on sempre certes:
(a) Els vectors w~ 1 i w~ 2 definits per w~ 1 = ~u 1 + ~u 2 i w~ 2 = ~u 1 − ~u 2 s´on sempre linealment independents. (b) Els vectors w~ 1 , ~w 2 i w~ 3 definits per w~ 1 = ~u 1 i w~ 2 = ~u 1 + ~u 2 i w~ 3 = ~u 1 − ~u 2 s´on sempre linealment independents.
- Raoneu si les afirmacions seg¨uents s´on sempre certes:
(a) A l’espai vectorial R^3 no pot haver-hi conjunts de m´es de tres vectors que siguin independents. (b) A l’espai vectorial R^4 , tot conjunt de 4 vectors ´es base d’R^4. (c) A l’espai vectorial R^4 , tot conjunt de menys de 4 vectors ´es linealment independent. (d) A l’espai vectorial R^4 , tot conjunt amb m´es de 4 vectors ´es sistema de generadors d’R^4.
- Comproveu si els vectors ~u 1 = (2, 3 , 1), ~u 2 = (5, 4 , 2) i ~u 3 = (5, 0 , 1) formen un sistema de generadors d’R^3.
- Donats els vectors
~u 1 = (− 2 , 3 , 2) , ~u 2 = (a + 2, 0 , 3) i ~u 3 = (5, 3 , a)
(a) Per quins valors del parametre a, aquests vectors formen un sistema de generadors de l’espai vectorial R^3? (b) Per quins valors del parametre a, aquests vectors s´on linealment in- dependents?
- Per quins valors del par`ametre a, els vectors
~u 1 = (a, 0 , a) , ~u 2 = (1, 1 , 1) i ~u 3 = (2, 5 , a)
s`on una base d’R^3?
- Donats els vectors d’R^3 :
~u 1 = (− 1 , 2 , 3) , ~u 2 = (0, 2 , 2) i ~u 3 = (5, − 2 , −3)
(a) Comproveu que formen base d’R^3. (b) Calculeu els components del vector ~u = (4, 2 , 2) en aquella base.
(a) Tot conjunt de vectors entre els que hi figuri el vector ~0 ´es linealment dependent. (b) Tot subconjunt d’Rn^ que no contingui el vector ~ 0 , no ´es subespai vectorial d’Rn. (c) Perqu`e un subconjunt d’Rn^ sigui subespai vectorial, cal que contingui el vector ~ 0. (d) Un conjunt de vectors entre els que hi figuri el vector ~ 0 , no pot ser mai sistema de generadors d’un subespai vectorial.
- Determineu raonadament la certesa o la falsetat de les seg¨uents afirma- cions:
(a) En un espai vectorial de dimensi´o n, totes les bases tenen n vectors. (b) En un espai vectorial de dimensi´o n, qualsevol conjunt de vectors linealment independents t´e exactament n vectors. (c) En un espai vectorial de dimensi´o n, qualsevol sistema de generadors no pot tenir m´es de n vectors. (d) En un espai vectorial de dimensi´o n, no pot haver-hi conjunts amb menys de n vectors que siguin linealment independents.
- En Joan ha calculat una base d’un subespai vectorial d’R^3 i ha obtingut els vectors {(3, 2 , 3) , (1, − 2 , 1)}
En Pere ha calculat una base del mateix subespai vectorial i ha obtingut els vectors {(7, 2 , 7) , (2, 4 , 2)} En Jordi ha calculat una base del mateix espai vectorial i ha obtingut
{(7, 2 , 7)}
Si sabem que la dimensi´o del subespai vectorial ´es 2, raoneu si les afirma- cions seg¨uents s´on falses o certes:
(a) La base calculada pel Jordi segur que esta mal calculada. (b) Les bases calculades pel Joan i el Pere s´on bases del mateix subespai vectorial, pero no podem saber amb certesa si estan ben calculades, ja que desconeixem l’espai vectorial. (c) Les bases calculades pel Joan i el Pere s´on bases de diferents subespais vectorials i per tant, alguna d’elles (o potser totes dues) estan mal calculades. (d) Les tres bases estan mal calculades.
