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EstadÌstica II
Grado en ADE y FYCO
RelaciÛn no^ 2: EstimaciÛn puntual y por intervalos de conÖanza
- De una poblaciÛn N (; 2) se obtiene una muestra aleatoria simple de tamaÒo 4. Se consideran los siguientes estimadores del par·metro :
T 1 =
X 1 +
X 2 +
X 3 ;
T 2 =
X 1 +
X 2 +
X 3 +
X 4 ;
T 3 =
X^4
i=
Xi
4
a) Comprobar si los estimadores son insesgados o no, determinando su sesgo. b) Calcular la varianza de cada estimador, indicando cu·l es la menor. c) Determinar si son estimadores eÖcientes para :
- El tiempo de espera (en minutos) por cliente en una caja de un gran supermercado es una variable aleatoria con distribuciÛn exponencial de par·metro ; con funciÛn de densidad dada por:
f (x) = expf xg; x > 0
Una muestra aleatoria de 10 clientes proporciona los siguientes tiempos de espera:
8 : 5 10 : 3 12 : 5 12 : 0 9 : 6 7 : 9 13 : 2 10 : 6 17 : 2 13 : 2
a) Obtener el estimador del par·metro haciendo uso del mÈtodo de m·xima verosimilitud. b) Dar una estimaciÛn puntual para el valor de : c) Comprobar que el estimador m·ximo verosÌmil coincide con el obtenido por el mÈtodo de los momentos.
- Sea la variable aleatoria X, cuya distribuciÛn de probabilidad viene dada por:
P (X = 1) =
P (X = 0) =
P (X = 1) =
Se ha elegido una muestra aleatoria simple de tamaÒo n = 10; con los siguientes resultados:
xi 1 0 1 ni 2 5 3
a) Obtener la estimaciÛn m·ximo verosÌmil de ; en base a dicha informaciÛn muestral.
b) Obtener el estimador de haciendo uso del mÈtodo de los momentos. øEs dicho estimador insesgado?.
- Una m.a.s. de tamaÒo 5 de una B(1; p) ha dado los resultados: x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 1; x 4 = 0; x 5 = 1:
a) Encontrar el estimador de m·xima verosimilitud para el par·metro p: øCu·l es el valor de la estimaciÛn para la anterior realizaciÛn muestral?. b) Comprobar si se cumplen las propiedades de insesgadez, eÖciencia y consistencia. c) Obtener las estimaciones m·ximo verosÌmiles para el par·metro: p(1 p) y (1 p) ^1 :
- Sea X 1 ; X 2 ; :::; Xn una m.a.s. de una variable X que sigue una distribuciÛn N (; ): Se propone como estimador de la varianza, ^2 ; el estadÌstico:
T =
X^ n
i=
X i^2
n Calcular el valor de para que T sea un estimador insesgado de ^2 :
- El n˙mero de clientes que llegan a un banco en determinado intervalo de tiempo es una v.a.X con distribu- ciÛn de Poisson de par·metro desconocido. Una muestra de tamaÒo 100 (observaciÛn durante 100 dÌas) proporciona una media igual a 15.2. Obtener el estimador de haciendo uso de ambos mÈtodos (m·xima verosimilitud y momentos). A partir del resultado muestral, dar una estimaciÛn para el par·metro.
- En un proceso de control de la calidad se realizan 5 mediciones de una car·cterÌstica de calidad de un producto, obteniÈndose los siguientes resultados: 3,1,6,2,5. Supongamos que la distribuciÛn de la caracterÌstica de calidad de dicho producto viene dada por:
f (x) = 0: 5 ^3 x^2 expf x= g; x > 0
con E[X] = 3 ; V ar [X] = 3 2 :
Considerando como estimador de el siguiente ^ =
X 3
a) øCu·l es el valor estimado para la realizaciÛn muestral dada?. b) Comprobar si el estimador de es insesgado. c) Calcular la cota de Cramer-Rao. øPodemos decir que tal estimador es eÖciente?. d ) Comprobar la consistencia del estimador.
- Se desea estudiar el valor de las ventas (en miles de euros) por trabajador en una Editorial. Dicha variable en estudio sigue una distribuciÛn Normal con varianza 2 : Con el Ön de estimar el valor medio poblacional, se ha seleccionado una muestra de 15 vendedores de la Editorial, resultando una media muestral de 5.
a) Obtener un intervalo de conÖanza para la venta media por trabajador en la Editorial al 95 %. b) Determinar el tamaÒo de muestra para que con probabilidad del 90 % el error m·ximo admisible en la estimaciÛn de la media sea de 1 (miles de euros).
- Se desea estimar la demanda diaria de un producto. Para ello se seleccionan 10 dÌas al azar con los siguientes valores en miles: 35 48 39 45 36 53 44 38 47 40
a) Obtener el intervalo de confanza al 95 % para la demanda media diaria. b) Obtener el intervalo de conÖanza al 90 % para la varianza de la demanda diaria.
- Se desea comparar la variabilidad en el consumo de dos determinados productos tras la emisiÛn de dos campaÒas publicitarias distintas, A y B; no simult·neas. La observaciÛn del consumo del producto durante 20 semanas, para cada campaÒa, conduce a los siguientes resultados muestrales: xA = 630; S^2 A = 98; xB = 790 ; S B^2 = 96: Suponiendo que ambas poblaciones son normales e independientes,
