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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Definición de Variable Aleatoria
Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral Ω, una variable aleatoria es cualquier función, X, X :Ω → que asocia a cada suceso elemental w , un nº real.
Definición de Variable aleatoria Discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores dentro de un conjunto finito o infinito numerable.
Sean x 1 , x2, …,xn los valores de la variable discreta X. El conjunto de probabilidades p 1 , p 2 , … , pn de forma que (^) P X ( = xi )= pi , se denomina masa de probabilidad de la
variable X. Siempre se verifica que (^) i 1 i
∑^ p^ =
La función de distribución de una variable aleatoria es la función:
i
i x x
F x P X x p
≤
Características de una variable aleatoria discreta
Media o esperanza matemática.
Sea X una variable aleatoria discreta con valores x 1 , x 2 ,…,xn , con probabilidades p1, p 2 ,…,pn
La media o esperanza matemática de X: ( ) (^) i i i
μ = E x = ∑ x p
Propiedades: E(aX+b) = aE(x) +b E(X+Y) = E(X) +E(Y) Cuando la v.a. X es simétrica respecto a un valor c, E(X) = c
Varianza
La varianza de una v.a. discreta X se define como:
( ) (^2) X^ ( ) 2 ( (^) i )^2 i i
Var X = σ = E X − μ = (^) ∑ x −μ p
Propiedades:
Var (aX+b) = a^2 Var(X) Fórmula alternativa para el cálculo de la varianza: Var(X) = E(X^2 ) – E(X)^2
La desviación típica de X es la raíz cuadrada de la varianza σ X = + Var X ( )
Moda
La moda es el valor o valores que tienen una mayor probabilidad. En el caso de una única moda la distribución es unimodal y con más de una modas multimodal.
Mediana
La mediana de una variable aleatoria discreta es el valor que divide a la distribución en dos partes de igual probabilidad.
PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Distribución de Bernoulli
Sea X un experimento aleatorio con dos posibles resultados: éxito o fracaso.
Llamaremos p a la probabilidad de éxito y q = 1 – p a la probabilidad de fracaso.
Una variable aleatoria de Bernoulli tomará dos únicos valores: 1 si ocurre éxito y 0 si ocurre fracaso.
Masa de probabilidad: P(X = 1) = p y P(X= 0) = 1 – p = q
Características: E(X) = p Var(X) = p(1 – p) = pq
Distribución de Poisson
La v.a. X = “número de sucesos ocurridos en un intervalo de tiempo o espacio”, sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. Poisson(λ)
Masa de probabilidad: ( ) !
e^ x P X x x
= = x = 0, 1, 2,…
Características: E(X) = λ Var(X) = λ
Observaciones: Si X∈ P(λ 1 ) e Y ∈P(λ 2 ) independ., entonces la variable X + Y∈P(λ 1 + λ 2 )
Distribución Uniforme Discreta
Una v.a. X sigue una distribución Uniforme Discreta sobre n valores, x 1 , x 2 ,…, xn, si todos ocurren con la misma probabilidad 1/n.
Masa de probabilidad: P(X = xi) = 1/n i = 0, 1, 2,…, n
Características: E(X) = 1
n ∑ i =^ x p i i Var (X) =^ (^ )
2 1
n ∑ i =^ x i^^ − X^ pi
