Variables Aleatorias.
Sea E el espacio muestral asociado a un
experimento, se llama variable aleatoria a
toda aplicación del espacio muestral E en el
conjunto de los números reales.
Cuando los valores que toman es uno
entero finito o infinito se denomina
discreta, si toma valores en un intervalo R
es continua.
Función de Probabilidad 𝒇(𝒙):
La función probabilidad 𝑓(𝑥) de la variable
aleatoria 𝑋 es la función que asigna a cada
valor 𝑋𝑖 de la variable su correspondiente
probabilidad 𝑝𝑖.
𝑃(𝑋=𝑥𝑖)=𝑝𝑖
Función de distribución 𝑭(𝒙):
Probabilidad de que tome valores menores
o iguales a un cierto valor 𝑋𝑖, en estos casos
es necesario acumular los distintos valores
de la función probabilidad hasta el valor
deseado.
Propiedades:
𝐹(𝑥) es una probabilidad: 0≤𝐹(𝑥)≤1
𝐹(𝑥)=0 para todo 𝑥<𝑥1
𝐹(𝑥)=1 para todo 𝑥≥𝑥𝑛
Es constante en cada intervalo [𝑥𝑖,𝑥𝑖+1⟩
Es continua por la derecha en cada punto.
Es creciente 𝑝(𝑎<𝑥≤𝑏)=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)
Esperanza matemática (media):
𝜇=∑𝑥𝑖 . 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
Varianza matemática: Medida de
dispersión.
𝜎2=∑𝑥𝑖2 . 𝑝𝑖−𝜇2=
𝑛
𝑖=1 ∑(𝑥𝑖−𝜇)2 . 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑉(𝑥)=𝐸(𝑥2)−[𝐸(𝑥)]2
Desviación típica: Medida de dispersión.
𝜎=+√∑𝑥𝑖2 . 𝑝𝑖−𝜇2
𝑛
𝑖=1
Variable aleatoria continua:
La variable 𝑋 es continua si su conjunto de
posibles valores es todo un intervalo (finito
o infinito) de números reales.
La función de densidad de una variable
aleatoria continua:
• 𝑓(𝑥)≥0 ∀𝑥∈ 𝑅
• ∫𝑓(𝑥)
∞
−∞ 𝑑𝑥=1
• 𝑃(𝑎≤𝑋≤𝑏)=∫𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎(𝑥) 𝑑𝑥
• 𝑃(𝑋=𝑐)=0
La probabilidad de que X tome un valor en
el intervalo [𝑎,𝑏] es el área bajo de la
gráfica de la función de densidad (curva de
densidad).
Función de distribución acumulada:
La función acumulada 𝐹(𝑥) de una variable
aleatoria continua 𝑋, con una función de
densidad 𝑓(𝑥) es:
𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)=∫ 𝑓(𝑠)
𝑥
−∞ 𝑑𝑠
Para −∞≤𝑥≤∞
Propiedades:
• 𝐹(−∞)=0
• 𝐹(∞)=1
• 𝑃(𝑥1≤𝑋≤𝑥2)=𝐹(𝑥2)−𝐹(𝑥1)
• 𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥 =𝑓(𝑥)
La función de densidad acumulada también
es utilizada para calcular probabilidades.
Sea 𝑋 una variable aleatoria continua don
fdp 𝑓(𝑥) y fda 𝐹(𝑥), entonces para cualquier
número a:
𝑃(𝑋>𝑎)=1−𝐹(𝑎)
Y para dos números reales a y b, tal que a<b
𝑃(𝑎≤𝑋≤𝑏)=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)
Esperanza Matemática: Sea 𝑋 una variable
aleatoria continua con función de densidad
𝑓(𝑥). Se llama la esperanza matemática o
calor esperado, valor medio o media de 𝑋
al numero real.
𝐸(𝑥)=𝜇=∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
Significa: como valor medio teórico de
todos los valores que puede tomar l
variable. Representa una medida de
centralización.
Varianza:
Medida del cuadro de la dispersión
promedio entre la media y cada elemento
de la población.
𝜎2=𝐸[(𝑋−𝜇)2]=∫ 𝑥2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥−𝜇2
∞
−∞
Desviación estándar:
Es una medida de dispersión de la misma
dimensión física de la variable, medida de
dispersión, expresa las mimas unidades de
la muestra.
𝜎𝑥=√𝑎𝑥
2=√𝑉(𝑥)
