estdistica tema8, Apuntes de Botánica y Agronomía

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Carlos Pérez González ([email protected])

Departamento de Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa

8.1.- Introducción

La hipótesis científica que se desea contrastar se ha de formular en

términos estadísticos (hipótesis estadística), es decir, hay que expresar

la hipótesis en función a la forma de una distribución poblacional o al

valor de los parámetros de dicha distribución.

1 º paso de un contraste: Plantear las hipótesis estadísticas

EJEMPLO: Se desea estudiar si un paciente presenta niveles deficitarios de proteínas en sangre. El nivel medio en una persona sana es 7.25 gr./dl. Se realizan una serie de n=8 análisis de sangre a lo largo de varios días. Los niveles observados de proteínas son:

Proteínas: 7.13, 7.15, 7.18, 7.19, 7.22, 7.16, 7.17, 7. Supongamos que el nivel de proteínas se distribuye como una normal de media conocida (𝜎 = 0.05).

En este caso, estamos interesados en hacer una prueba que nos permita comprobar si la media de la variable X=“nivel de proteínas” es igual a 7.25, es decir, la hipótesis bajo estudio es 𝜇 = 7.

8.1.- Introducción

Para el resto de ejemplos, podemos expresar de forma similar las

hipótesis científicas

• Mediante un análisis se mide el promedio total de proteínas en sangre a un paciente, ¿se puede considerar que el nivel observado es el de un individuo sano?
• En un estudio de infecciones parasitarias en perros, ¿existe igualdad entre los tratamiento A y B para curar la enfermedad (o es más apropiado o peor)?
• En la atención primaria a enfermos de asma, ¿hay la misma proporción de consultas en meses calurosos que en meses fríos? - Se asume que el promedio total de proteínas en sangre para un adulto sano es 7.25 gr./dl. y se desea saber si este es el nivel que tiene un individuo 𝜇 = 7. - Se quiere comprobar si el promedio de parásitos en sangre a los perros vacunados con A es equivalente que los vacunados con el tratamiento B 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 - La proporción de consultas médicas por asma en los meses de verano es igual que en los de invierno 𝑝verano = 𝑝invierno

Hipótesis estadísticas

8.2.- Formulación del contraste

Por tanto, el contraste de hipótesis se formula estadísticamente en

términos de dos hipótesis, las cuales están basadas en la hipótesis

científica que se desea comprobar

• Observar que ambas hipótesis se plantean como hipótesis contrarias. Ambas son hipótesis que cubren todas las posibilidades (exhaustivas) y no se solapan (mutuamente excluyentes).
• Por tanto, lo que esto significa es que si asumimos que una hipótesis es verdadera la otra debe ser necesariamente falsa.
• Normalmente, los científicos estamos más interesados en detectar si hay suficientes evidencias a favor de la hipótesis alternativa (el nivel de proteínas del individuo no es habitual si estuviera sano, un tratamiento es más efectivo que el otro, los peces del río presentan tasas elevadas de contaminación, hay más casos médicos de alergias en verano que en invierno, etc…)

Finalmente, se debe establecer una regla de decisión para elegir entre rechazar 𝐻 0 (hay pruebas o indicios significativos en contra, luego se rechaza) y no rechazar 𝐻 0 (no hay pruebas suficientes en contra, se aceptaría).

IMPORTANTE: Con un contraste de hipótesis NO se está demostrando que la hipótesis nula (o alternativa) sea cierta o sea falsa; sólo si hay suficientes pruebas para apoyar o refutar la hipótesis a partir de los datos.

8.2.- Formulación del contraste

𝑋�~𝑁 𝜇, 𝜎/ 𝑛

1 − 𝛼

𝜇 =7.

Para obtener la regla de decisión, vamos a suponer que 𝐻 0 es cierta, es decir, que el promedio de proteínas 𝑋�^ se distribuye como una normal de media 𝜇 = 7.

L

Si el promedio de la muestra de n=8 observaciones cae en esta zona (llamadas zona de aceptación ), la hipótesis 𝐻 0 parece razonable puesto que son valores próximos a 7.25. No se rechaza 𝐻 0. U

𝜇 =7.

α/2 α/

Si el promedio cae en estas zonas (llamada zona crítica o zona de rechazo ), la hipótesis 𝐻 0 no parece razonable ya que son valores alejados de 7.25. Se rechaza 𝐻 0. L (^) U

𝑋�~𝑁 𝜇, 𝜎/ 𝑛

�−𝜇 𝜎/ 𝑛 =^

7 .13+..+7. 14 /8−7. 25

1. 05 / 8 =^ −4.^67

𝑍 ∼ 𝑁(0,1)

1 − 𝛼

α/2 α/

𝐻 1 : 𝜇 ≠ 7.25�^

Recordemos que 𝜎 = 0.05 y la muestra de niveles observados de proteínas es: 7.13, 7.15, 7.18, 7.19, 7.22, 7.16, 7.17, 7.14.

Supongamos que el nivel de significación es 𝛼 = 0.

Vemos que 𝑍 = − 4. 67 < −𝑧 0. 05 / 2 = − 1. 96

El estadístico Z cae en la zona crítica, entonces se rechaza 𝐻 0

RESOLUCIÓN DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS:

Rechazar 𝐻 0 Aceptar 𝐻 0 Rechazar 𝐻 0

8.2.- Formulación del contraste

𝑍 ∼ 𝑁(0,1)

1 − 𝛼

• 𝑧𝛼/ 2 𝑧𝛼/ 2

α/2 α/

Rechazar 𝐻 0 Aceptar 𝐻 0 Rechazar 𝐻 0

INTERPRETACIÓN DEL CONTRASTE DE HIPÓTESIS:

8.2.- Formulación del contraste

Si Z cae en la zona crítica (de rechazo) Si Z cae en la zona de aceptación Se rechaza la hipótesis nula 𝐻 0 No se puede rechazar 𝐻 0 El valor de Z es estadísticamente significativo El valor de Z no es estadísticamente significativo Existen evidencias a favor de la hipótesis alternativa (en contra de la hipótesis nula 𝐻 0 )

No hay pruebas suficientes a favor de la hipótesis alternativa Los datos muestrales no son compatibles con la hipótesis nula 𝐻 0

Los datos observados son compatibles con la hipótesis nula 𝐻 0

8.2.- Formulación del contraste

α/2 α/

ELEMENTOS QUE DEFINEN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS:

𝑍 = 𝑋� − 𝜇 𝜎/ 𝑛 ∼ 𝑁(0,1) Estadísticode contraste

1 − 𝛼 =0.

1 − 𝛼 : nivel de confianza 𝛼: nivel de significación

Valor crítico

Hipótesis nula

Hipótesis alternativa

𝑋�−𝜇 𝜎/ 𝑛 >^ 𝑧𝛼/^2

𝑋�−𝜇 𝜎/ 𝑛 ≤ 𝑧𝛼/^2 =^ 𝑍:^ 𝑍^ =^

𝑋�−𝜇 𝜎/ 𝑛 ≤ 𝑧𝛼/^2

Región de aceptación

Región crítica o de rechazo

8.3.- Consecuencias del proceso de decisión

Al finalizar el estudio del contraste de hipótesis, se pueden producir

varias situaciones que se describen a continuación

Estado real

Decisión tomada

𝑯𝟎 es cierta 𝑯𝟎 es falsa Aceptar 𝑯𝟎 Decisión correcta Error de tipo II Rechazar 𝑯𝟎 Error de tipo I Decisión correcta

𝜇 =7.

𝐻 0 es cierta

α/2 α/

α=Pr(rechazar 𝐻 0 |𝐻 0 es cierta)=Pr(error tipo I)

8.3.- Consecuencias del proceso de decisión

Al finalizar el estudio del contraste de hipótesis, se pueden producir

varias situaciones que se describen a continuación

Estado real

Decisión tomada

𝑯𝟎 es cierta 𝑯𝟎 es falsa Aceptar 𝑯𝟎 Decisión correcta Error de tipo II Rechazar 𝑯𝟎 Error de tipo I Decisión correcta

El experimentador escoge el nivel de significación

𝛼=Pr(rechazar 𝐻 0 | 𝐻 0 es cierta), es decir, controlar la probabilidad de

cometer error tipo I.

A continuación, aunque no trataremos este aspecto, se intentará

buscar un test o contraste que tenga menor probabilidad 𝛽

=Pr(aceptar 𝐻 0 |𝐻 0 es falsa).

Al valor definido como 1 − 𝛽=Pr(rechazar 𝐻 0 |𝐻 0 es falsa) se le llama

potencia del contraste. Por tanto, buscar un test con menor 𝛽 equivale

a buscar el contraste con mayor potencia.

8.3.- Consecuencias del proceso de decisión

Al finalizar el estudio del contraste de hipótesis, se pueden producir

varias situaciones que se describen a continuación

Estado real

Decisión tomada

𝑯𝟎 es cierta 𝑯𝟎 es falsa Aceptar 𝑯𝟎 Decisión correcta Error de tipo II 𝛽 =Pr(aceptar 𝐻 0 |𝐻 0 es falsa) Rechazar 𝑯𝟎 Error de tipo I 𝛼=Pr(rechazar 𝐻 0 | 𝐻 0 es cierta)

Decisión correcta