estructuras algebraicas, Apuntes de Matemáticas

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Universidad Complutense de Madrid

Departamento de Algebra

Estructuras Algebraicas

Julio Castellanos

• Enteros de Gauss (Z[i], +, .), conmutativo y con 1 Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}, i =

• Dados A, B anillos el producto cartesiano A × B es un anillo con las operaciones (a 1 , b 1 )+(a 2 , b 2 ) = (a 1 +a 2 , b 1 +b 2 ), (a 1 , b 1 )(a 2 , b 2 ) = (a 1 a 2 , b 1 b 2 ), el cero es (0, 0), y si hay unidades en A y B, la unidad es (1, 1). El producto hereda propiedades de A y B, aunque no todas.
• Matrices cuadradas Mn(R), Mn(C), operaciones suma y producto de matrices, tiene unidad (la matriz unidad), y no es conmutativo.
• Los polinomios con coeficientes reales R[X], R[X, Y ].
• Los n´umeros naturales N no son anillo, faltan los elementos opuestos (los negativos).

Adem´as en cualquier anillo se verifica: (i) a 0 = 0 a = 0, ∀a ∈ A (ii) (−a)b = a(−b) = −(ab), ∀a, b ∈ A (ii) (−a)(−b) = ab, ∀a, b ∈ A Denotaremos a + (−b) como a − b.

Definimos para a ∈ A y 0 ̸= n ∈ N, na = a+

(n · · · +a, 0a = 0 y (−n)a = (−a)+

(n · · · +(−a), y an^ = a

(n · · · a y ∀a, b ∈ A, ∀n, m ∈ Z se verifica,: n(a + b) = na + nb, (n + m)a = na + ma (nm)a = n(ma) y si ab = ba, entonces (ab)n^ = anbn, y (a + b)n^ =

∑ i=0,...,n

( n i

) an−ibi, ∀n ∈ N − { 0 }

En Zn, si n = mq entonces m · q = n = 0, en este caso diremos que m y q son divisores de 0.

Definici´on 2 Definimos divisores de 0 en un anillo A a los elementos a, b tales que a ̸= 0, b ̸= 0 y ab = 0. Definimos dominio de integridad (DI) a un anillo conmutativo con unidad, con 1 ̸= 0 y tal que no contiene divisores de cero.

ejemplos

• Z, Q son DI.
• Z 6 no es DI, ya que 2 · 3 = 0.
• A × B no es dominio de integridad, ya que (a, 0)(0, b) = (0, 0). En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa.

Proposici´on 1 Sea A dominio de integridad, entonces si a ̸= 0 y ax = ay se verifica x = y.

demostraci´on. ax = ay ⇒ a(x − y) = 0, y por ser dominio de integridad y a ̸= 0, entonces x − y = 0 ⇒ x = y.

Diremos que un elemento a de un anillo tiene inverso respecto del producto (o es unidad) en un anillo unitario si existe a−^1 tal que aa−^1 = a−^1 a = 1.

Nota El conjunto de las unidades de un anillo A, UA, es un grupo respecto del producto.

Definici´on 3 Definimos cuerpo como un anillo conmutativo unitario con 1 ̸= 0 tal que todo elemento distinto de 0 tiene inverso.

ejemplos:

• Los n´umeros racionales Q, los n´umeros reales R, los n´umeros complejos C, son cuerpos.
• Z no es cuerpo.
• Zp con p primo es un cuerpo con p elementos.

Corolario 1 Todo cuerpo es dominio de integridad.

demostraci´on. Si los elementos a ̸= 0, b ̸= 0 verifican ab = 0 ⇒ 1 = (ab)a−^1 b−^1 = 0 (contradici´on).

Definici´on 5 Dado f : A → B homomorfismo de anillos definimos: Imagen de f , im(f ) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A, tal que f (a) = b} N´ucleo de f , ker(f ) = {a ∈ A : f (a) = 0}.

ejemplos: Dado f : Z → Zn como antes, im(f ) = Zn, y ker(f ) = nZ.

Nota. El n´ucleo es un subanillo no necesariamente unitario, en el ejemplo anterior 1 ∈/ nZ. El n´ucleo adem´as tiene la siguiente propiedad: si b ∈ ker(f ) y a ∈ A ⇒ ab ∈ ker(f ), ( f (ab) = f (a)f (b) = f (a)0 = 0).

Definici´on 6 Dado A anillo, I ⊂ A es ideal si: I es subanillo de A ∀ x ∈ A, ∀ a ∈ I ⇒ xa ∈ I

Es decir:

I ⊂ A es ideal ⇔

{ ∀ a, b ∈ I ⇒ a − b ∈ I ∀ x ∈ A, a ∈ I ⇒ xa ∈ I

ejemplos:

• { 0 }, A son ideales de A, de hecho si 1 ∈ I ⇒ I = A.
• M´ultiplos de n ∈ Z, nZ son ideal.
• M´ultiplos de p(x) ∈ R[x] son ideal.
• {f : [0, 1] → R continuas : f (1/2) = 0} es ideal.
• f : A → B homomorfismo de anillos, ker(f ) es ideal.

Anillo cociente Sea I ⊂ A ideal, ∼ la relaci´on a, b ∈ A, a ∼ b ⇔ a − b ∈ I es de equivalencia.

Denotamos A/I al conjunto cociente por ∼ y la clase de a ∈ A como a + I = {a + x : x ∈ I}.

Nota. Las propiedades de ideal proporcionan que A/I sea anillo con las operaciones:

• Suma (a + I) + (b + I) = (a + b) + I.
• Producto (a + I) · (b + I) = (ab) + I. A/I con la suma es grupo abeliano (por ser + conmutativa). El producto en A/I est´a bien definido, i.e. no depende de los represen- tantes elegidos: { a + I = a′^ + I b + I = b′^ + I

{ a = a′^ + h, h ∈ I b = b′^ + k, k ∈ I

{ I ideal a′k ∈ I, b′h ∈ I, hk ∈ I

{ a′k + b′h + hk = g ∈ I ab = a′b′^ + g, g ∈ I El producto en el anillo cociente A/I verifica asociativa, conmutativa y distributiva por verificarlas A.

ejemplos:

Z

nZ

≡ Zn,

R[x] (x^2 + 1)R[x]

≡ C

Operaciones con ideales La uni´on de ideales no es ideal en general: 3 + 4 = 7 ∈/ 3 Z ∪ 4 Z.

• Suma de ideales: I + J = {h + k : h ∈ I, k ∈ J} es ideal.
• Intersecci´on de ideales I ∩ J es ideal. ∩ i∈ΓIi (cualquier conjunto de indices Γ) es ideal.
• Producto de ideales I · J = {h 1 k 1 + · · · + hrkr : hi, ∈ I, ki ∈ J} es ideal.

Ideal generado por un subconjunto Sea ∅̸ = S ⊂ A subconjunto, el ideal generado por S en A es:

I(S) = {x 1 h 1 + · · · + xrhr : hi, ∈ I, xi ∈ A} ⇔

Es decir p es primo si I · J ⊂ p ⇒ I ⊂ p o J ⊂ p. M es maximal si es maximal para la inclusi´on.

ejemplos:

• El ideal (p)Z con p primo, es ideal primo e ideal maximal; (n)Z con n no primo, no es ni primo ni maximal.
• La suma de ideales primos no es primo en general, sean I = (x^2 +1), J = (y^2 + 1) ideales primos de C[x, y], su suma I + J = (x^2 + 1, y^2 + 1) no es primo ya que (x^2 + 1) − (y^2 + 1) = x^2 − y^2 = (y − x)(y + x) ∈ I + J, pero x ± y /∈ I + J.

Nota. Se demuestra que todo ideal est´a contenido en uno maximal.

Tenemos las siguientes caracterizaciones:

Proposici´on 3 Dados A anillo, p ⊂ A ideal, p es primo ⇔ A/p es dominio de integridad.

demostraci´on. ⇒) Sea (a + p)(b + p) = 0 + p ⇒ ab ∈ p ⇒ (por ser p primo) a ∈ p ´o b ∈ p, es decir a + p = 0 + p ´o b + p = 0 + p. ⇐) Sea ab ∈ p ⇒ (a + p)(b + p) = 0 + p ⇒ (por ser A/p DI) a + p = 0 + p ´o b + p = 0 + p es decir a ∈ p ´o b ∈ p. Nota. A es dominio de integridad ⇔ (0) es primo.

Proposici´on 4 Dados A anillo, M ⊂ A ideal M es maximal ⇔ A/M es cuerpo.

demostraci´on. ⇒) Sea a + M ̸= 0 + M ⇒ a /∈ M, consideramos el ideal aA + M! M ⇒ (por ser M maximal) aA + M = A ⇒ ∃ m ∈ M, b ∈ A con 1 = m + ab ⇒ ab − 1 ∈ M ⇒

ab + M = 1 + M ⇒ (a + M)−^1 = b + M, luego A/M es cuerpo. ⇐) Sea I ) M, ∃ a ∈ I, a /∈ M ⇒ (por ser A/M cuerpo) ∃ (b + M) con (a + M)(b + M) = 1 + M ⇒ 1 − ab ∈ M ⊂ I (y como ab ∈ I) ⇒ 1 ∈ I y I = A.

Nota. A es cuerpo ⇔ (0) es maximal.

Corolario 2 Todo ideal maximal es primo.

demostraci´on. Todo cuerpo es dominio de integridad.

• Lo contrario no es cierto , ejemplo: Sea (x)Z[x] es ideal primo de (x)Z[x] ya que Z[x]/(x)Z[x] ≡ Z que es DI , y no maximal pues Z no es cuerpo.

Nota. Siempre se tiene que IJ ⊂ I ∩ J y si los ideales I, J son comaximales, es decir, I + J = A entonces IJ = I ∩ J. En efecto, Si I + J = A, ⇒ ∃ h ∈ I, k ∈ J con 1 = h + k, y si b ∈ I ∩ J ⇒ b = bh + bk ∈ IJ.

Tipos de homomorfismos Sea f : A → B homomorfismo de anillos

• f es monomorfismo si es homomorfismo inyectivo.
• f es epimorfismo si es homomorfismo suprayectivo.
• f es isomorfismo si es homomorfismo biyectivo. ejemplos:
• El homomorfismo de inclusi´on i : A ,→ B para A ⊂ B es inyectivo.
• El homomorfismo de proyecci´on para I ⊂ A ideal, sea p : A → A/I, p(a) = a + I es suprayectivo.

Por ´ultimo ∀ a ∈ A, i ◦ f ◦ p(a) = i ◦ f (a + ker(f )) = i(f (a)) = f (a). Nota El teorema anterior nos muestra que los homomorfismos de A en cualquier anillo dependen de los posibles ideales de A.

ejemplo: El homomorfismo f : Z → Zn, f (a) = k, con k < n, y a − k = λn verifica que ker(f ) = (n) y f : Z/ker(f ) ≈ Zn.

Teorema 2 Teorema de la correspondencia: Sea I ⊂ A ideal. Entonces existe una biyecci´on φ Γ = {J ⊂ A ideal, J ⊃ I} φ ↔ Υ = {J ⊂ A/I ideal} y ademas si J ⊃ I: (i) J es primo ⇔ J/I es primo. (ii) J es maximal ⇔ J/I es maximal.

demostraci´on. Definimos para I ⊂ J ⊂ A ideal, φ(J) = J/I que se comprueba facilmente que es ideal de A/I.

φ es inyectiva ya que si J/I = J′/I ⇒ ∀ b ∈ J, ∃ b′^ ∈ J′^ con b + I = b′^ + I ⇒ b − b′^ = h ∈ I ⇒ b = b′^ + h ∈ J′^ ⇒ J ⊂ J′^ (an´alogo J′^ ⊂ J). φ es suprayectiva ya que dado J ideal de A/I, J = {a ∈ A : a + I ∈ J} es ideal de A, I ⊂ J y φ(J) = J.

(i) Sea J ⊃ I primo y (h + I)(k + I) ∈ J/I (como I ⊂ J) ⇒ hk ∈ J (J primo) ⇒ h ∈ J ´o k ∈ J ⇒ h + I ∈ J/I ´o k + I ∈ J/I, y J/Ies primo. (similar en sentido contrario) (ii) Sea J ⊃ I maximal, si J/I no es maximal en A/I, ⇒ ∃ H A ideal y J/I H/I (y si p : A → A/I) ⇒ J = p−^1 (J/I) ⊂ p−^1 (H/I) = H (J maximal) ⇒ J = H ⇒ J/I = H/I (contradici´on) (similar en sentido contrario)

Teorema 3 2 o^ teorema de isomorf´ıa: Sea I, J ideales de A con I ⊂ J. Entonces J/I es ideal de A/I y

A/I J/I

A

J

demostraci´on. Definimos f : A/I → A/J, ∀ a ∈ A, f (a + I) = a + J que es trivialmente homomorfismo suprayectivo.

f est´a bien definido ya que si a + I = a′^ + I ⇒ a − a′^ ∈ I ⊂ J ⇒ a + J = a′^ + J.

como el n´ucleo ker(f ) = {b + I : b + J = 0 + J} = {b + I : b ∈ J} = J/I, ⇒ J/I es ideal de A/I, (por el 1er^ teorema de isomorf´ıa) ⇒

A/I J/I

A

J

ejemplo: En los enteros tenemos: Z/(12) (4)/(12)

Z

Teorema 4 3 er^ teorema de isomorf´ıa: Sea B ⊂ A, subanillo, I ⊂ A ideal. Entonces I es ideal de B + I (subanillo de A), B ∩ I es ideal de B, y

B + I I

B

B ∩ I

demostraci´on. Se comprueba facilmente que I es ideal de B + I (subanillo de A) y B ∩ I es ideal de B.

Definimos el homomorfismo f : B → B + I/I por ∀ b ∈ B, f (b) = b + I. (I * B en general) ⇒ la imagen im(f ) = (B + I)/I. El n´ucleo ker(f ) = {b ∈ B : b + I = 0 + I} = {b ∈ B : b ∈ I} = B ∩ I,

1.3 Anillos de polinomios

Dado un anillo A vamos a construir el anillo de polinomios en una indeter- minada con coeficicentes en A, A[x].

Definici´on 10 Definimos A[x] = {(a 0 , a 1 ,... , an, 0 ,.. .) : ai ∈ A}, es decir el conjunto de las sucesiones de elementos de A con todos los elementos 0 salvo un n´umero finito. Diremos que ai es el coeficiente de grado i del polinomio.

Definimos en A[x] las siguientes operaciones:

• Suma: (a 0 , a 1 ,... , an, 0 ,.. .) + (b 0 , b 1 ,... , bm, 0 ,.. .) = = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 ,... , am + bm, am+1,... , an, 0 ,.. .) si m ≤ n.
• Producto: (a 0 , a 1 ,... , an, 0 ,.. .)(b 0 , b 1 ,... , bm, 0 ,.. .) = = (c 0 , c 1 ,... , cn+m, 0 ,.. .), con ck =

∑i=k i=0 aibk−i con 0 = (0, 0 ,... , 0 ,.. .), 1 = (1, 0 ,... , 0 ,.. .), y −(a 0 , a 1 ,... , an, 0 ,.. .) = (−a 0 , −a 1 ,... , −an, 0 ,.. .)

Proposici´on 6 A[x] es un anillo conmutativo y con unidad

demostraci´on. Se sigue de las propiedades del anillo A.

Nota. Con esta definici´on es claro que dos polinomios son iguales si y solo si lo son todos los coeficientes del mismo grado de ambos.

Para obtener la notaci´on usual, denotamos: a ≡ (a, 0 ,... , 0 ,.. .), para a ∈ A x ≡ (0, 1 , 0 ,... , 0 ,.. .) (llamaremos a x indeterminada). Entonces xk^ = (0, 0 ,... , 1 (k+1, 0 ,.. .), axk^ = (0, 0 ,... , a(k+1, 0 ,.. .) y por tanto (a 0 , a 1 ,... , an, 0 ,.. .) = ao + a 1 x + · · · + anxn Y tenemos ao + a 1 x + · · · + anxn^ = bo + b 1 x + · · · + bmxm^ ⇔ n = m y ai = bi ∀ i Llamaremos a a 0 t´ermino constante y a an coeficiente principal.

Grado de un polinomio Sea 0 ̸= p(x) ∈ A[x], p(x) = ao + a 1 x + · · · + anxn, definimos grado de p(x), deg(p(x)) = n, si n es el m´aximo de los i con ai ̸= 0.

Consideraremos deg(0) = −∞, donde −∞ verifica ∀ n ∈ N, −∞ < n, −∞ + n = −∞, y (−∞) + (−∞) = (−∞).

El grado verifica: Sean p(x) = ao + a 1 x + · · · + anxn, q(x) = bo + b 1 x + · · · + bmxm

• deg(p(x) + q(x)) ≤ max{deg(p(x)), deg(q(x))}
• deg(p(x)q(x)) ≤ deg(p(x)) + deg(q(x)), y la igualdad deg(p(x)q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)) se da si anbm ̸= 0

Nota. Obs´ervese que en un dominio de integridad se tiene siempre la igualdad anterior para el grado del producto.

Teorema 5 Si D es dominio de integridad ⇒ D[x] es dominio de integridad, y las unidades de D[x] son las de D.

demostraci´on. Sea p(x)q(x) = 0 ⇒ −∞ = deg(p(x)q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)) ⇒ deg(p(x)) = −∞ ´o deg(q(x)) = −∞ ⇒ p(x) = 0 ´o q(x) = 0 ⇒ D[x] es DI. Sea p(x)q(x) = 1 ⇒ deg(p(x)) = deg(q(x)) = 0 ⇒ p(x) = a ∈ D y q(x) = b ∈ D, y a, b son unidades en D. En Z 4 [x] (no dominio de integridad) 2x + 1 es unidad, ya que (2x + 1)(2x + 1) = 4x^2 + 4x + 1 = 1.

Algoritmo de divisi´on Al dividir dos polinomios p(x), q(x) sobre un anillo, en general, no pode- mos anular el coefeciente principal de p(x) con el de q(x), ejemplo:

En Z[x], para 3x + 2 dividido entre 2x + 3, no existe a entero con a · 2 = 3, i.e. 3x + 2 ̸= a(2x + 3) + r para todo entero a.

El siguiente algoritmo corrige en parte esta situaci´on.

demostraci´on. Como bm tiene inverso, tenemos p(x) = c(x)q(x) + r(x), y si p(x) = c(x)q(x) + r(x) = c′(x)q(x) + r′(x) ⇒ (c(x) − c′(x))q(x) = (r′(x) − r(x)), y si c(x) ̸= c′(x) (F es DI) ⇒ deg((c(x) − c′(x))q(x)) ≥ deg(q(x)) ⇒ deg((r′(x) − r(x)) ≥ deg(q(x)) contradici´on, salvo que r′(x) = r(x), y c′(x) = c(x).

Teorema 7 Si F es cuerpo entonces F [x] es dominio de ideales principales.

demostraci´on. Sea (0) ̸= I ⊂ F [x] ideal ⇒ ∃ q(x) ̸= 0 con deg(q(x)) m´ınimo para I. Sea p(x) ∈ I por el algoritmo de divisi´on, ∃ c(x), r(x) ∈ D[x] con deg(r(x)) < deg(q(x)) y p(x) = c(x)q(x) + r(x), ⇒ r(x) = p(x) − c(x)q(x) ∈ I y deg(r(x)) < deg(q(x)) (por la definici´on de q(x), su grado es m´ınimo en I) ⇒ r(x) = 0, p(x) = c(x)q(x) y entonces I = (q(x))F [x].

• Si el anillo base A de los polinomios no es cuerpo, entonces A[x] no es dominio de ideales principales en general:

ejemplo: Sea Z[x], el ideal (2, x)Z[x], no es principal. Si (2, x) = (p(x)), 2 = c(x)p(x), y por los grados, p(x) = a ∈ Z ⇒ x = aq(x) contradici´on, salvo a = ±1, i.e. (2, x) = (1) = Z, pero Z[x]/(2, x) ≈ Z 2 , ⇒ (2, x) ̸= (1).

Ra´ıces de un polinomio Sean A ⊂ B anillos, llamaremos homomorfismo de sustituci´on a: sea u ∈ B, fu : A[x] → B, con fu(p(x)) = p(u) = a 0 + a 1 u + · · · + anun, que es trivialmente homomorfismo.

Definici´on 11 Sean A ⊂ B anillos, y p(x) ∈ A[x], a ∈ B es ra´ız de p(x) , si p(a) = 0.

Teorema 8 Sea p(x) ∈ A[x], a ∈ A, entonces p(x) = c(x)(x − a) + p(a)

demostraci´on. Por el algoritmo de divisi´on a p(x) y x − a con coeficiente principal 1 ⇒ p(x) = c(x)(x − a) + r, r ∈ A, (ya que deg(r) < 1) y p(a) = c(x)(a − a) + r = r.

Corolario 4 a ∈ A es ra´ız de p(x) ∈ A[x] ⇔ x − a es factor de p(x),i.e. (x − a)|p(x) (divide).

Diremos que α ∈ A ra´ız de p(x) tiene multiplicidad mult(α) = m si p(x) = c(x)(x − a)m, con m m´aximo.

Teorema 9 Sean D dominio de integridad, p(x) ∈ D[x] de grado n, y sean α 1 ,... , αr las ra´ıces de p(x) en D. Entonces

∑^ r

i=

mult(αi) ≤ n

demostraci´on. Consideramos inducci´on en deg(p(x)). Sea n = 1 p(x) = a 0 + a 1 x si α ∈ D es ra´ız de p(x), entonces por el corolario anterior p(x) = a(x−α), y a 0 +a 1 x ̸= a(x−α)^2 (por el grado), luego mult(α) = 1, y no existe otra ra´ız β ∈ D, α ̸= β, ya que p(β) = a(β − α) ̸= 0. Supongamos cierto para deg(p(x)) < n y α 1 ra´ız de p(x), mult(α 1 ) = m 1 por el corolario anterior aplicado m 1 veces p(x) = (x − α 1 )m^1 q(x), donde α 1 no es ra´ız de q(x), ya que mult(α 1 ) = m 1 , y si q(x) no tiene mas ra´ıces en D, entonces α 1 es la ´unica ra´ız de p(x) y

mult(α 1 ) ≤ deg(p(x)),