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Álgebra 3, Semestre B - 2013
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Práctica No. 1
Dr.rer.nat. Prof. Asoc. Glauco Alfredo López Díaz
23 de Octubre de 2013
- Sean S = { a, b, c, d, e } y ∗ la operación binaria definida por medio de la siguiente tabla:
∗ | a | b | c | d | e a | a | b | c | b | d b | b | c | a | e | a c | c | a | b | b | a d | b | e | b | e | d e | d | b | a | d | c
a) Calcule b ∗ d, c ∗ c y [(a ∗ c) ∗ e] ∗ a. b) Calcule (a ∗ b) ∗ c y a ∗ (b ∗ c). ¿Puede Usted decir, sobre la base de estos cálculos que ∗ es asociativa? c) Calcule (b ∗ d) ∗ c y b ∗ (d ∗ c). ¿Puede Usted decir, sobre la base de estos cálculos que ∗ es asociativa? d ) ¿Es ∗ conmutativa?
- Complete la siguiente tabla
∗ | a | b | c | d a | a | b | c | b | b | d | | c c | c | a | d | b d | d | | | a
para que ∗ sea una operación binaria conmutativa sobre S = { a, b, c, d }.
- La siguiente tabla puede ser completada para definir una operación binaria asociativa ∗ sobre S = { a, b, c, d }. Asuma que esto es posible y calcule las entradas faltantes.
∗ | a | b | c | d a | a | b | c | d b | b | a | c | d c | c | d | c | d d | | | |
- En los siguientes ejercicios, determine si la operación binaria ∗ es con- mutativa y si es asociativa.
a) ∗ definida sobre Z considerando a ∗ b = a − b. b) ∗ definida sobre Q considerando a ∗ b = ab + 1. c) ∗ definida sobre Q considerando a ∗ b = ab/ 2. d ) ∗ definida sobre Z+^ considerando a ∗ b = 2ab. e) ∗ definida sobre Z+^ considerando a ∗ b = ab.
- Sea S un conjunto que tiene exactamente un elemento. ¿Cuantas ope- raciones binarias diferentes pueden ser definidas sobre S? Responda la pregunta si S tiene exactamente 2 elementos, exactamente 3 elementos y exactamente n elementos.
- ¿Cuantas operaciones binarias conmutativas diferentes pueden ser de- finidas sobre un conjunto de 2 elementos? sobre un conjunto de 3 ele- mentos? sobre un conjunto de n elementos?
- En los siguientes ejercicios, determine si la definición de ∗ da una ope- ración binaria sobre el conjunto. En el caso que ∗ no sea una operación binaria, indique si la Condición 1, la Condición 2 o ambas no son sa- tisfechas.
a) Sobre Z+^ defina ∗ considerando a ∗ b = a − b. b) Sobre Z+^ defina ∗ considerando a ∗ b = ab. c) Sobre R defina ∗ considerando a ∗ b = a − b. d ) Sobre Z+^ defina ∗ considerando a ∗ b = c, donde c es el entero más pequeño que es más grande que ambos a y b. e) Sobre Z+^ defina ∗ considerando a ∗ b = c, donde c es al menos 5 más que a + b. f ) Sobre Z+^ defina ∗ considerando a ∗ b = c, donde c es el mayor entero menor que el producto de a y b.
Asuma la ley asociativa solo para las ternas como en la definición, esto es, suponga que (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), para todo x, y, z ∈ S.
- En los siguientes ejercicios, pruebe el enunciado o dé un contraejemplo.
a) Toda operación binaria sobre un conjunto consistente de un solo elemento es ambas conmutativa y asociativa. b) Toda operación binaria conmutativa sobre un conjunto que tiene solo dos elementos es asociativa.
- Sea F ( R ) = { f : R → R : f es función }
el conjunto de todas las funciones reales a valores reales. Considere las operaciones binarias +, −, · y ◦ sobre F ( R ), tal como se definieron en el Ejemplo 5 de la Clase 1. En los siguientes ejercicios pruebe o dé un contraejemplo.
a) La función adición + sobre F ( R ) es asociativa. b) La función sustracción − sobre F ( R ) es conmutativa. c) La función sustracción − sobre F ( R ) es asociativa. d ) La función multiplicación · sobre F ( R ) es conmutativa. e) La función multiplicación · sobre F ( R ) es asociativa. f ) La función composición ◦ sobre F ( R ) es conmutativa. g) Si ∗ y ∗′^ son dos operaciones binarias cualesquiera sobre un con- junto S, entonces a ∗ (b ∗′^ c) = (a ∗ b) ∗′^ (a ∗ c), para todo a, b, c ∈ S.
- Suponga que ∗ es una operación binaria asociativa sobre un conjunto S. Sea H = { a ∈ S : a ∗ x = x ∗ a, para todo x ∈ S }
Demuestre que H es cerrado con respecto a ∗. (Vemos a H como el conjunto consistente de todos los elementos de S que conmutan con todos los elementos en S.)
- Suponga que ∗ es una operación binaria asociativa y conmutativa sobre un conjunto S. Demuestre que H = { a ∈ S : a ∗ a = a }.
es cerrado con respecto a ∗. (Los elementos de H son los elementos idempotentes de la operación binaria ∗.)
