E.P.S. DE JAÉN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AREA DE ÁLGEBRA
CURSO 2003/04
EXAMEN DE ÁLGEBRA I
INGENIERÍA TÉCNICA INFORMÁTICA DE GESTIÓN
14 DE JULIO DE 2004
1.-
Enunciar el teorema de descomposición canónica y aplicarlo si es posible a la terna
( , , G) donde es el conjunto de los números enteros y
G = {(x, | x – 3|) / x ∈ }
(Nota: | x | es el valor absoluto de x).
2.-
(A) Sabiendo:
“La página web de la titulación tiene una errata o bien el examen de
Álgebra I no es el 2 de julio. Si el examen es el 2 de Julio, el manual de
la universidad tiene una errata. El examen de Álgebra I es el 14 de julio
si y solo si el manual tiene una errata y el periodo de exámenes no
termina el 10 de julio. Teniendo en cuenta que le periodo de exámenes
termina el 10 de julio y que el manual tiene una errata.”
Usar la validez o invalidez de las argumentaciones para deducir la veracidad o
falsedad de los siguientes enunciados:
(i) El examen de Álgebra I es el 2 de julio.
(ii) Si la página web de la titulación no tiene una errata, entonces el
examen de Álgebra I es el 14 de julio.
(B) Razonar si (
2
[x], +, .) es un álgebra de Boole.
3.-
(A) Calcular todas las soluciones del siguiente sistema de congruencias:
25 x ≡ -1 mod 8
10 + x ≡ 15 mod 27
29 x ≡ -3 mod 1001
(B) Dados los polinomios
p(x) = 3x
3
+ k x
2
– 5x + 5 y q(x) = -6x + 5,
a) Determinar el valor o los valores de k para los cuales q(x) es divisor de p(x)
en
7
[x].
b) Para el valor k obtenido factorizar p(x) y q(x) en
7
[x] y en [x], calcular el
m.c.d{p(x), q(x)} y el m.c.m{p(x), q(x)}.