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Curso 2011-12. Primer Examen Parcial. 04-05-2012.
NOMBRE : N´umero
- Sea J(n, λ) la matriz cuadrada de orden n con λ en todos los elementos de la diagonal y unos
en la primera subdiagonal superior. Los dem´as elementos son ceros.
Construir una funci´on de Matlab cuyos argumentos de entrada sean n y λ, y cuya salida sea
J(n, λ).
Escriba la funci´on dise˜nada. Puede utilizar el comando diag.
- Considere las matrices por bloques:
A =
J(5, 3) O
5 × 3
O
3 × 5
J(3, 1)
y B =
J(3, 2) O
3 × 5
O
5 × 3
J(5, 3)
donde O m×n denota la matriz nula de dimensiones m × n.
Resolver la ecuaci´on matricial AX = B, es decir, hallar una matriz X tal que AX = B.
Escriba los elementos de la primera fila de la matriz X y el elemento X(3, 6).
(Utilice este folio para contestar a los apartados 1 y 2)
Curso 2011-12. Primer Examen Parcial. 04-05-2012.
NOMBRE : N´umero
- La funci´on f (x) = 1 − e
−x 2
es par (es decir, cumple f (−x) = f (x), para todo x).
Escriba, en formato corto, la forma de Newton del polinomio interpolador de f (x) en los nodos
x 0 = 2, x 1 = − 2 , x 2 = 1, x 3 = − 1 , x 4
A la vista de las diferencias divididas, justifique que el polinomio interpolador P N (x) es tambi´en
una funci´on par.
- Dibuje la gr´afica de f (x), los puntos de interpolaci´on y el polinomio interpolador P N (x) en el
intervalo [− 2 , 2].
Repita el dibujo anterior, pero en lugar del polinomio interpolador P N (x) considere el spline
not-a-knot. A la vista del dibujo: ¿Cree que dicho spline es tambi´en una funci´on par? Escriba
las ´ordenes que ha utilizado y esboce las gr´aficas.
(Utilice este folio para contestar a los apartados 3 y 4)
Métodos Matemáticos. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales
Curso 2011-12. Primera Examen Parcial. 04-05-2012.
NOMBRE : Número
- La función gamma de Euler Γ interpola a los factoriales de los números naturales. En concreto,
Γ(n + 1) = n! (Orden gamma en MATLAB).
Escriba el código de Matlab que:
- Dibuja la gráfica de la función gamma en el intervalo [3, 6], marcando sobre ella los puntos
- proporciona el polinomio de interpolación asociado p que pasa por esos cuatro puntos (si se
usa alguna función de clase basta indicarlo, sin necesidad de copiar su código);
- sobre la misma gráfica anterior superponga la gráfica de p.
Además, escriba la expresión del polinomio p que ha encontrado con la ayuda de Matlab y
esboce la última gráfica obtenida.
- Diseñe una función en MATLAB que, dado n ≥ 2 , dibuje conjuntamente en [3, 6] el spline
not-a-knot (en verde) asociado a n nodos equiespaciados, los nodos (en rojo) y la función
gamma (en azul). Los argumentos de entrada han de ser n y la separación entre los nodos de
la representación gráfica. (Escriba el correspondiente código.)
Determine el spline not-a-knot S N asociado a ocho nodos equiespaciados en [3, 6] y los correspon-
dientes valores de la función gamma. Obtenga una gráfica conjunta de Γ y S N en [3, 6]. (Escriba
los comandos utilizados.)
Dibuje la función g(x) =
Γ(x) + S
2
N
(x)
S
2
N
(x) + 1
, para el caso anterior. (Escriba el correspondiente
código y esboce la gráfica.)
Curso 2011-12. Segundo Examen Parcial. 13-06-2012.
NOMBRE : N´umero
La curvatura de una curva plana definida por la funci´on y = f (x) se define como:
κ(x) =
|f
′′ (x)|
(1 + f
′ (x)
2 )
3 / 2
- Para la funci´on logaritmo neperiano: y = log(x), x ∈ (0, +∞), construya una funci´on de Mat-
lab llamada CurvAnalitica que para un valor (o un vector) x proporcione el (los) valor(es)
que toma su curvatura. Para ello calcule las derivadas primera y segunda del logaritmo
anal´ıticamente.
Represente κ(x) en el intervalo [0. 5 , 10].
NOTA: Escriba en el papel la funci´on de Matlab que ha dise˜nado as´ı como las ´ordenes
empleadas para dibujarla. Esboce tambi´en en el papel la gr´afica de la funci´on curvatura.
- Utilizando las f´ormulas centrales para las derivadas primera y segunda, construya una funci´on
de Matlab llamada CurvNumerica que proporcione num´ericamente la curvatura. Los argu-
mentos de entrada han de ser la funci´on f a la que se quiere calcular la curvatura, el valor o
vector x y el tama˜no h del paso en el c´alculo aproximado de las derivadas, y el de salida κ.
Construya una tabla que proporcione, utilizando format short y h = 0. 001 , los valores que
toma la funci´on en los puntos [0.2 : 0.1 : 3.5] y calcule el error m´aximo cometido en dichos
puntos.
NOTA: Escriba en el papel la funci´on dise˜nada y las dem´as ´ordenes que haya utilizado. Escriba
los valores que toma la funci´on en los puntos [0.5 : 0.1 : 1.0]. Anote tambi´en el m´aximo de los
errores cometido en los puntos [0.2 : 0.1 : 3.5] y el punto donde se alcanza dicho m´aximo.
(Utilice este folio para contestar a los apartados 1 y 2)
Curso 2011-12. Examan Final (Primer Parcial) 29-06-2012.
NOMBRE : N´umero
P1 Considere la sucesi´on
x k
1 − cos(α k
α
2
k
, donde α k
k ,
de la que se sabe que
lim k→∞ x k
- Elabore una funci´on de Matlab que, dado un valor N , devuelva un vector con los N primeros
elementos de la sucesi´on
x = (x 1 ,... , x N
NOTA: Escriba la funci´on de Matlab. Escriba en formato largo los valores que obtenga de
x 2 y x 14 , tras ejecutar la funci´on. ¿Qu´e observa? Exponga d´onde se produce un fen´omeno de
cancelaci´on num´erica. ¿Por qu´e ocurre?
- Dise˜ne otra funci´on de Matlab que devuelva el vector con los N primeros elementos de la
sucesi´on, utilizando una expresi´on alternativa de x k que evite dicho fen´omeno de cancelaci´on.
NOTA: Escriba la funci´on. Escriba en formato largo los nuevos valores que obtenga de x 2 y
x 14 , tras ejecutar la funci´on. ¿Qu´e observa?
(Utilice este folio para contestar a los apartados 1 y 2)
Curso 2011-12. Examen Final (Primer Parcial). 29-06-2012.
NOMBRE : N´umero
P2 Considere el sistema:
- 0000001 x − 2 y = 2
x + y + z = 3
2 x + 4 y + 3 z = 10
x − y = 0
- ¿Es compatible? (Utilice el teorema de Rouch´e-Frobenius y Matlab.) Resolver las ecuaciones
normales de Gauss. ¿Es fiable el resultado? Calcular el n´umero de condici´on de A
T A, donde
A es la matriz de coeficientes del sistema.
NOTA: Conteste razonadamente a las preguntas anteriores. Escriba las ecuaciones normales
en formato largo. Escriba el n´umero de condici´on y todos los comandos que haya utilizado.
- Calcular la factorizaci´on QR de la matriz A. Resolver las ecuaciones normales de Gauss del
sistema Ax = b resolviendo el sistema Rx = Q
T b.
NOTA: Escriba la factorizaci´on QR, la soluci´on obtenida en formato largo y todos los coman-
dos que haya utilizado.
(Utilice este folio para contestar a los apartados 3 y 4)
Curso 2011-12. Examen Final (Segundo Parcial). 29-06-2012.
NOMBRE : N´umero
P4 Considere la funci´on
f (x, y) = [10 − (x − 1)
2 − (y − 1)
2 ]
2
2
2 .
- Utilizando los comandos meshgrid y contour, dibuje las curvas de nivel correspondientes
a los valores c = 1, 2 , 3 , 4 , 5 y c = 10, 15 , 20 ,... , 120 de la funci´on anterior en el rect´angulo:
[− 4 , 6] × [− 3 , 6].
NOTA: Esboce la grfica obtenida. No es necesario copiar todas las curvas de nivel, pero s´ı
que el dibujo sea representativo. Escribir asimismo todas las instrucciones de Matlab que
se utilicen. A la vista del plano de contornos anterior, ¿es f convexa en todo el plano?
- Partiendo de los puntos (± 1 , ±1) aplique la orden fminsearch para estimar el m´ınimo de
f , primero sin imponer opciones y despu´es exigiendo que la terminaci´on por tolerancia en la
funci´on sea 10
− 8 .
NOTA: Escriba el punto final obtenido y el valor de la funci´on en dicho punto en formato
largo exponencial. Escriba todos los comandos de Matlab que haya utilizado.
(Utilice este folio para contestar los apartados 3 y 4)
Curso 2011-12. Examen de Septiembre 19-09-2012.
NOMBRE : N´umero
P
Eval´ue num´ericamente la cantidad
y =
x + 1 −
x,
para x = 10
k , tomando los valores de k = 0, 1 , 5 , 10 , 15 , 20.
Determine para qu´e valores de x se produce cancelaci´on num´erica.
En este caso, proporcione una expresi´on alternativa que no presente dicha inestabilidad num´erica.
Determine cu´antos d´ıgitos err´oneos produce la cancelaci´on num´erica, evaluando
x + 1 y
x, para
los valores anteriores.
NOTA: Escriba todas las instrucciones Matlab que utilice y los resultados en formato largo.
Curso 2011-12. Examen de Septiembre. 19-09-2012.
NOMBRE : N´umero
P 3
De una funci´on peri´odica f (t), de periodo T = 8, se conocen sus siguientes valores:
f (0) = 5, f (1) = 7, f (2) = 6, f (3) = 7, f (4) = 7, f (5) = 6, f (6) = 7, f (7) = 5, f (8) = 5, f (9) = 7,...
(a) Encontrar el polinomio trigonom´etrico equilibrado P (t) que interpola a f. Dibujar la gr´afica de
dicho polinomio en el intervalo [0, 8], marcando sobre ella los puntos de interpolaci´on.
(b) Dibujar sobre la gr´afica anterior, la recta tangente a P (t), para t = 4.3.
(c) Obtener, con una tolerancia de 10
− 8 , el volumen V del s´olido de revoluci´on que se obtiene al
girar la gr´afica de P (t) en el intervalo [0, 800], evaluando num´ericamente
V = π
b
a
P
2 (t) dt,
donde a y b son los extremos del intervalo.
(d) Obtener el ´area A de la superficie lateral de dicho s´olido, con la misma tolerancia, evaluando
num´ericamente
A = 2π
b
a
P (t)
dP
dt
(t)
2
dt.
Indicaci´on: Para aproximar num´ericamente el valor de las derivadas que necesite, utilice la
f´ormula de la diferencia central, con h = 10
− 5 .
NOTA: Escriba en el papel todas las instrucciones que utilice y, adem´as, los valores num´ericos
que obtenga de V y A.
Curso 2011-12. Examen de Septiembre. 19-09-2012.
NOMBRE : N´umero
P 4
Considere la funci´on:
f (x, y) = x
2
2
- 7 − 0 .3 cos(3πx) − 0 .4 sen(4πy).
- Utilizando los comandos meshgrid y mesh, dibuje dicha superficie en el cuadrado [− 3 , 3] ×
[− 3 , 3] primero, y en [− 0. 5 , 0 .5] × [− 0. 5 , 0 .5] despu´es. Haga un dibujo del plano de contornos
(curvas de nivel) para los valores c=0:0.1:3 en ambos casos.
Nota: Escriba TODAS las instrucciones que utilice. Adem´as, dibuje en el papel s´olo el plano
de contornos del ´ultimo caso.
- Partiendo del punto (1. 9 , 2), aplique la orden fminsearch para estimar el m´ınimo de la funci´on,
primero sin imponer vector de opciones y despu´es exigiendo que la terminaci´on por tolerancia en
el vector sea 10
− 8
. Determine el error absoluto que se comete. Repita el proceso pero partiendo
ahora del punto (0. 9 , 0 .9). ¿Qu´e observa?
Nota: Escriba TODAS las instrucciones que utilice, los resultados que obtiene con la tolerancia
− 8 , y, por supuesto, sus observaciones.
