exercicis, Ejercicios de Matemática Empresarial

¡Descarga exercicis y más Ejercicios en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!

Llicenciatura en

Administraci´o i Direcci´o d’Empreses

Matem`atiques

Empresarials II

Curs 2007-

Aurelio Fern´andez Jordi Llaurad´o

Programa i Bibliografia

PART I: FUNCIONS D’UNA VARIABLE

Tema 1: Successions i s`eries de nombres reals

1.1 Successions de nombres reals. 1.2 L´ımit d’una successi´o. 1.3 Serie de nombres reals. Successi´o de sumes parcials. 1.4 Condici´o necessaria de convergencia. 1.5 Serie geom`etrica.

Tema 2: Integral indefinida

2.1 Primitiva d’una funci´o. Propietats. 2.2 M`etodes d’integraci´o.

Tema 3: Integral definida i impr`opia

3.1 Definici´o i propietats. 3.2 Teorema fonamental del calcul integral. Regla de Barrow. 3.3 Aplicacions metriques de la integral definida. 3.4 Integrals impr`opies.

PART II: FUNCIONS DE V `ARIES VARIABLES

Tema 4: Funcions de n variables

4.1 Conceptes topol`ogics. 4.2 L´ımits i continu¨ıtat. 4.3 Diferenciaci´o de funcions. 4.4 Elasticitat.

Tema 5: Funci´o composta, impl´ıcita i homog`enia

5.1 Funci´o composta i inversa. 5.2 Derivaci´o de funcions compostes. Regla de la cadena. 5.3 Funcions impl´ıcites. Derivaci´o de funcions impl´ıcites. 5.4 Funcions homog`enies. Teorema d’Euler.

Programa i Bibliografia

Criteris d’avaluaci´o Es realitzara un examen final per convocatoria, en cadascun dels quals es combinaran q¨uestions teoriques (associaci´o de conceptes, demostraci´o de resultats) amb problemes practics, on s’han d’aplicar les tecniques de calcul i algoritmes que s’han estudiat al llarg del curs. S’avaluar`a:

1. L’adquisici´o de les t´ecniques de c`alcul o algoritmes.
2. L’adquisici´o de conceptes i el coneixement dels principals resultats.
3. La resoluci´o de problemes est`andars.
4. La interpretaci´o correcta dels resultats.
5. El domini de l’expressi´o formal.
6. La capacitat de reaccionar davant d’un enunciat, analitzar-lo, interpretar- lo i resoldre’l. Per poder assistir als ex`amens cada alumne ha de portar el DNI.

Horaris d’atenci´o als alumnes Professor Grup Horari Aurelio Fern´andez M1, M2 Dilluns i Dijous, de 11:00 a 13: Dimarts i Dimecres, de 10:00 a 11: Jordi Llaurad´o T0 Dimecres de 15:00 a 19:

Tema 1. Successions i s`eries de nombres reals

1. Estudieu l’expressi´o del terme general de les successions seg¨uents:

(a) { 1 , 3 , 5 , 7 ,... } (b) { 1 , 1 / 3 , 1 / 5 , 1 / 7 ,... } (c) { 1 / 3 , 2 / 5 , 3 / 7 , 4 / 9... } (d) { 3 / 4 , 1 , 7 / 6 , 9 / 7 , 11 / 8 ,... } (e) { 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 ,... }

2. Calculeu la fracci´o generatriu del decimal peri`odic pur 1′^

_ 23= 1′ 232323232323...

3. Calculeu la fracci´o generatriu del decimal peri`odic mixt 1′ 2

_ 34= 1′ 23434343434...

4. Estudieu la convergencia de la serie

10 n^. En cas de ser convergent, calculeu el terme general de la sucessi´o de sumes parcials i el valor de la suma de la s`erie.

5. Considereu la successi´o {an} = {(− 12 )(n−1)}n≥ 1 = { 1 , − 21 , 14 , − 81 , 161 ,... }. Justifiqueu que {an} ´es una progressi´o (successi´o) geom`etrica i doneu la seva ra´o. Calculeu:

(a)

∑^10

n=

an (b)

∑^ ∞

n=

an (c)

∑^ ∞

n=

an

6. Considereu la successi´o donada per:

a 1 =

, a 2 =

, a 3 =

, a 4 =

(a) Quin tipus de successi´o ´es? Quin ´es el seu terme general? (b) Estudieu la convergencia de la successi´o. (c) Calculeu la suma de la serie

an. (d) A partir de la successi´o anterior, definim la nova successi´o donada per

b 1 = a 1 − a 2 , b 2 = a 2 − a 3 , b 3 = a 3 − a 4 , b 4 = a 4 − a 5 ,...

Calculeu els quatre primers termes de la successi´o. Quin ´es el terme general de la successi´o? (e) A partir dels resultats anteriors, estudieu la convergencia de la serie

bn.

NOTA.- Recordeu que si

an ´es convergent,

kan = k

an

Tema 2. Integral indefinida

Taula d’integrals immediates

(a)

C dx = Cx + k

(b)

xn^ dx = {Si n 6 = − 1 } = x n+ n+1 +^ k^

f (x)nf ′(x) dx = {Si n 6 = − 1 } = f^ (x)

n+ n+1 +^ k

(c)

x dx^ = ln^ |x|^ +^ k^

∫ (^) f ′(x) f (x) dx^ = ln^ |(f^ (x))|^ +^ k

(d)

ex^ dx = ex^ + k

ef^ (x)f ′(x) dx = ef^ (x)^ + k

(e)

ax^ dx = a x ln a +^ k^

af^ (x)f ′(x) dx = a f (x) ln a +^ k

(f )

sin x dx = − cos x + k

sin(f (x))f ′(x) dx = −cos(f (x)) + k

(g)

cos x dx = sin x + k

cos(f (x))f ′(x) dx = sin(f (x)) + k

(h)

tan x dx = − ln(cos x) + k

tan(f (x))f ′(x) dx = − ln{cos(f (x))} + k

(i)

cot x dx = ln(sin x) + k

cot(f (x))f ′(x) dx = ln{sin(f (x))} + k

(j)

cos^2 x dx^ = tan^ x^ +^ k^

∫ (^) f ′(x) cos^2 (f (x)) dx^ = tan(f^ (x)) +^ k

(k)

sin^2 x dx^ =^ −^ cot^ x^ +^ k^

∫ (^) f ′(x) sin^2 (f (x)) dx^ =^ −^ cot(f^ (x)) +^ k

(l)

√ 1 −x^2 dx^ = arcsin^ x^ +^ k^

∫ (^) f ′(x) √ 1 −f (x)^2 dx = arcsin(f (x)) + k

(m)

1+x^2 dx^ = arctan^ x^ +^ k^

∫ (^) f ′(x) 1+f (x)^2 dx^ = arctan(f^ (x)) +^ k

Tema 2. Integral indefinida

1.- Calculeu les integrals immediates seg¨uents:

(a)

x^5 dx (b)

x + 3 (x^2 + 6x)^1 /^3

dx (c)

x^2 + 2x (x + 1)^2 dx

(d)

2 x − 3

dx (e)

x^2 1 − 2 x^3

dx (f)

e−x^ dx

(g)

(ex^ + 1)ex^ dx (h)

sin

x 2 dx (i)

sin^2 x cos x dx

Solucions:

(a) x^6 6

• k (b)

(x^2 + 6x)^2 /^3 + k (c) x +

1 + x

• k

(d)

ln | 2 x − 3 | + k (e) −

ln | 1 − 2 x^3 | + k (f) −e−x^ + k

(g)

(ex^ + 1)^2 2

• k (h) − 2 cos

x 2

• k (i)

sin^3 x 3

• k

2.- Calculeu les integrals immediates seg¨uents:

(a)

(x^2 + x−^3 +

x ) dx (b)

x + 5 5

x−^3 6 4

x^7

dx (c)

(3x + 2 4

x) dx

(d)

(x^2 + 7)^2 dx (e)

x + 1

dx (f)

x^2 + 2x + 1

dx

(g)

x + 3 dx (h)

− 7 x + 11 dx (i)

ln x x dx

(j)

x(ln x)^2

dx (k)

e^3 x^ dx (l)

ex 5 + ex^

dx

(m)

x^4 dx (n)

(x − 1)^2 dx (˜n)

(1 − x)^3 dx

Tema 2. Integral indefinida

5.- Calculeu les integrals per parts seg¨uents:

(a)

x^2 ln x dx (b)

x ln(x − 1) dx (c)

x sin x dx

(d)

sin^2 x dx (e)

x^2 sin x dx (f)

x^3 e^2 x^ dx

(g)

xex^ dx (h)

sin(ln x) dx (i)

e^2 x^ cos 3x dx

Solucions:

(a) x^3 3

ln |x| − x^3 9

• k (b) x^2 − 1 2

ln(x − 1) − x^2 4

x 2

• k

(c) −x cos x + sin x + k (d)

− sin x cos x + x 2

• k

(e) −x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + k (f) e^2 x( x^3 2

3 x^2 4

3 x 4

) + k

(g) ex(x − 1) + k (h) x 2 sin(ln x) − x 2 cos(ln x) + k

(i) e^2 x(

sin 3 x +

cos 3 x) + k (j)

6.- Calculeu les integrals per parts seg¨uents:

(a)

ln x x^2 dx (b)

x ln x dx (c)

ln x dx

(d)

ln(1 + x^2 ) dx (e)

x arc tg x dx (f)

arc tg x dx

(g)

x^2 ex^ dx (h)

(x − 1)^2 e^2 x^ dx (i)

cos^2 x dx

(j)

ex^ cos x dx (k)

ex^ sin x dx (l)

e^2 x^ cos 4x dx

Tema 2. Integral indefinida

7.- Calculeu les integrals seg¨uents:

(a)

e^2 x^ − 3 ex^

dx (b)

x

1 + x dx

(c)

(1 + x)^1 /^2 + (x + 1)^1 /^4

dx (d)

sin

x dx

Solucions:

(a)

ln(ex^ − 3) +

3 ex^

x 9

• k (b)

(1 + x)^5 /^2 −

(1 + x)^3 /^2 + k

(c) 2(1 + x)^1 /^2 − 4(1 + x)^1 /^4 + 4ln[(1 + x)^1 /^4 + 1] + k (d) − 2

xcos

x + 2sin

x + k

8.- Calculeu les integrals seg¨uents:

(a)

sin

x + 1 √ x + 1

dx (b)

x + 1 √ x + 2

dx

(c)

ex^ + 1 dx (d)

x − 2 √ x − 2 − 3

x − 2

dx

(e)

x + 2 √ x + 3

dx (f)

x − x^1 /^3 √ (^4) x (^5) + √ (^3) x 4 dx

(g)

9 − x^2 dx (h)

4 − 3 x^2 dx

9.- Comproveu que

∫ (^) f ′(x) a^2 −f 2 (x) dx^ =^

1 2 a ln^ |^

a+f (x) a−f (x) |^ +^ k.

Tema 3. Integral definida i impr`opia

11.- Calculeu les integrals definides seg¨uents:

(a)

0

4 − x^2 dx (b)

0

dx √ 4 − 2 x^2

(c)

(^12) ln(

x

) dx

(d)

0

(e^3 x^ + 1) dx (e)

∫ (^) π/ 4

0

tan x + sin x cos x

dx (f)

∫ (^) π/ 4

0

x cos^2 x

dx

(g)

2

x^4 − x^3 − x − 1 x^3 − x^2

dx (h)

0

2 x 2 x + 1

dx (i)

0

ex 1 + e^2 x^

dx

(j)

1

e−^1 /x x^2

dx (k)

− 1

(x + 1)ex^ dx (l)

∫ (^) π/ 2

0

x cos x dx

Solucions:

(a) π (b)

2 π 8 (c)

(1 − ln 2)

(d)

e^3 + 2 3 (e) (

2 − 1) − ln

(f)

π 4

• ln

(g)

− 2 ln

(h) 1 − π 4 (i) arctan e^2 − π 4

(j)

e

e

(k) 1 /e (l) π/ 2 − 1

12.- Calculeu el valor de les integrals impr`opies seg¨uents:

(a)

0

ex^ dx (b)

−∞

dx 1 + x^2 (c)

3

dx x^2 − 1

(d)

0

x^2 e−x

3 dx (e)

2

dx xln^2 x (f)

−∞

dx (4 − x)^2

Tema 3. Integral definida i impr`opia

Solucions:

(a) 1 (b) π (c) ln 2 2

(d)

(e)

ln 2 (f)

13.- Calculeu l’`area dels recintes tancats per les corbes seg¨uents:

(a) y = x^2 + 3 , x = 3 i els eixos de coordenades. Sol.: 18.

(b) Un cercle de radi R. Sol.: πR^2

(c) y = x^3 − 3 x^2 + 3x + 1, y = 3x − 1. Sol.: (^92)

(d) y = e−x, y = e^2 x, x = 2. Sol: e 4 2 +^ e

2 (e) y = 2x − x^2 , y = −x. Sol: (^92)

(f) y = 4 − x^2 , x − y + 2 = 0. Sol: (^92)

14.- Calculeu el valor de m per tal que el recinte limitat per les funcions y = 2x^3 i y = mx tingui una superf´ıcie igual a 64. Sol.: m = 16

15.- Calculeu l’`area de la superf´ıcie que determina la corba y = 2x^2 + 4x + 3 i les tangents a la corba en els punts x = 1 i x = −1. Sol.: A = (^43)

16.- Calculeu la superf´ıcie limitada per la funci´o y = 2x, l’eix OY i la recta tangent a la corba en x = 1. Sol.: A = (^) ln 2^1 − 2 + ln 2

17.- Una empresa sap que la seva funci´o de costos marginals ´es la seg¨uent: CMz (q) = 3q^2 − 6 q + 10. Sabent que els costos fixos s´on 100000 u.m. i que la funci´o de demanda de l’empresa ´es p = 8122 − 3 q, determineu la funci´o de costos totals. Trobeu el nivell de producci´o i el preu que maximitzen el benefici.

18.- La taxa de creixement d’una poblaci´o en funci´o del temps ve donada per la funci´o f (t) = 3e^3 t. Calculeu la variaci´o de poblaci´o que es produir`a entre t = 1 i t = 4.

Tema 4. Funcions de n variables

20.- Considereu el conjunt A = {x^2 + y^2 ≤ 4 , y ≤ 0 } ∪ {(0, 1)}. Trobeu els conjunts interior, exterior i frontera. Es un conjunt obert? I tancat? I´ convex?.

21.- Proveu:

a) La intersecci´o d’una fam´ılia qualsevol de conjunts convexos ´es un con- junt convex.

b) Els hiperplans i semiespais s´on conjunts convexos.

22.- Donat el conjunt D = {(x, y) ∈ R^2 tal que 0 < x^2 + y^2 < 4 }

a) Es un conjunt obert? Tancat? Convex? Compacte?´

b) Trobeu el conjunt Fr(D).

c) Trobeu el conjunt adher`encia de D.

23.- Justifiqueu quins dels conjunts sig¨uents s´on convexos, oberts, tancats i compactes, i quins no ho s´on:

a) C =

(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 = 1

b) C =

(x, y) ∈ R^2 / − 1 < x ≤ 1 , y < x^2

c) C =

(x, y) ∈ R^2 / 3 x + 2y = 5

d) C =

(x, y) ∈ R^2 / 3 x + 2y < 5

e) C =

(x, y) ∈ R^2 / 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4

f) C =

(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 − 4 x − 2 y + 5 ≤ 3 , x ≤ 2 y

24.- Estudieu les propietats topol`ogiques del domini de les funcions seg¨uents:

a) f (x, y) =

ln(y − x^2 ).

b) f (x, y) =

1 − (x^2 + y^2 )

Tema 4. Funcions de n variables

25.- Estudieu les corbes de nivell de les funcions seg¨uents:

a) f (x, y) = 3x + 2y.

b) f (x, y) = (x − 1)^2 + (y + 2)^2.

26.- Calculeu els l´ımits seg¨uents:

a) l´ım (x,y)→(0,0)

xy xy + (x − y)^2 b) l´ım (x,y)→(0,0)

x^2 y^2 x^4 + y^4

c) l´ım (x,y)→(0,0)

(y − 2 x^2 )(y − 3 x^2 ) y^2 + 6x^4 d) l´ım (x,y)→(1,0)

xy^2 − y^2 + x − 1 x − 1

27.- Estudieu la continu¨ıtat de la funci´o:

f (x, y) =

xy^2 e−(x+y) x^2 + y^4 si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

28.- Donada z = y ln(x^2 − y^2 ) proveu que

x

∂z ∂x

y

∂z ∂y

z y^2

29.- Donada f (x, y, z) = ln(ex^ + exy^ + exyz^ ), trobeu la derivada direccional en (0, 0 , 0) segons la direcci´o OA, essent A = (1, 1 , −1).

30.- Donada f (x, y) = sin(x + y) + cos x, trobeu la direcci´o que maximitza la derivada direccional en ( π 2 , 0).

31.- Sigui f (x, y) diferenciable en a, amb f (^) v′(a) = 1 essent v = (2, 3) i f (^) w′(a) = 2 essent w = (1, 1). Trobeu:

a) Gradient de f (x, y) en a.

b) Els vectors u tals que f (^) u′(a) = 0.

c) El m`axim de la derivada direccional de f (x, y) en a.

Tema 4. Funcions de n variables

38.- Donada

f (x, y) =

4 x^3 x^2 + y^2 si(x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

a) Estudieu la continu¨ıtat de f (x, y).

b) Proveu que existeix la derivada direccional en qualsevol direcci´o en (0, 0). Quant valen en particular les parcials en (0, 0)?

c) Estudieu la diferenciabilitat de f (x, y) en (0, 0).

39.- Donada

f (x, y) =

x sin

1 x^2 +y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

a) Estudieu la continu¨ıtat de f (x, y).

b) Derivades parcials de f (x, y).

c) Diferenciabilitat de f (x, y).

40.- Estudieu la continu¨ıtat, derivabilitat en qualsevol direcci´o i diferenciabilitat de:

f (x, y) =

xy^2 x^2 + y^4 si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

41.- Donada la funci´o:

f (x, y) =

ln

(y − x^3 )(y − 2 x^3 ) 2 x^6 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si(x, y) = (0, 0)

a) Calculeu el l´ımit de f (x, y) en (0, 0) segons la traject`oria y = −x^3. Es´ cont´ınua en (0, 0)?

b) Calculeu 5 f (0, 0). Es diferenciable en (0´ , 0)? Raoneu la resposta.

Tema 4. Funcions de n variables

42.- Donada f (x) =

2 x^2 − 2 x − 1

x^2 − 5 x + 4 x^2 − 1

x + 2 x + 3

a) Trobeu el seu domini.

b) L´ımit quan x tendeix a 1.

c) Continu¨ıtat en x = 1.

d) Matriu jacobiana en x = 2.