¡Descarga mates 2 y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
Tema 2: Funcions de diverses variables
2.1 Continuïtat de funcions
Conceptes bàsics
t'VODJØFTDBMBSPSFBMEFn variables reals: És una aplicació tal que:
R R
t'VODJØWFDUPSJBMEFn variables reals: És una aplicació tal que:
R R
on és un vector de i són un conjunt de funcions escalars que anomenarem funcions components.
Exemples:
R R
Aquesta funció és escalar, ja que la imatge de qualsevol vector de R 2 és un escalar. Per exemple, si busquem la imatge dels vectors (1, 2) i (4, –3):
Llúcia Mauri Masdeu
R R
Aquesta funció és vectorial, ja que la imatge de qualsevol vector de R 2 és un vec- tor. Per exemple, si busquem la imatge dels vectors (1, 2) i (4, –3):
A més, aquesta funció vectorial conté tres funcions components:
Domini: Definim el domini d’una funció de diverses variables (^) , com la in- tersecció dels dominis de cadascuna de les funcions components.
Dom f = { x ∈ Rn^ | ∃ f ( x )} ⊆ Rm on
Exemple:
Per tant, tenim que:
Llavors,
Llúcia Mauri Masdeu
Exemple:
- f ( x , y ) x^2 y^2
Imatge 5
Corbes de nivell: Donada una funció escalar i una constant kDR. Anomenem corba de nivell k de la funció f i la denotarem per C (^) k , al conjunt:
R |
Imatge 6 Imatge 7 Nota: En l’àmbit econòmic alguns exemples de corbes de nivell són les corbes d’in- diferència, les isoquantes...
Matemàtiques II
Recordem: t Recta , on m és el pendent i n l’ordenada a l’origen. t Circumferència: (x–a)^2 +(y–b) 2 =r^2 , on (a, b) és el centre i r el radi.
Exemples:
Imatge 8 Imatge 9 Imatge 10
Igualem la funció a k i aïllem la y:
Donem valors a la k i observem que obtenim rectes:
- f ( x , y ) x^2 y^2
Imatge 11 Imatge 12 Imatge 13
Igualem la funció a k i observem que obtenim una circumferència de radi k :
Matemàtiques II
Llavors, si les formes d’aproximar-nos a un punt són infinites, per tal que existeixi el límit han d'existir tots els límits sobre qualsevol trajectòria i, a més, aquests han de coincidir. Però no és possible calcular-los tots! Llavors, donarem una eina per assegurar la no-existència de límit, o en cas que existeixi ens donarà una idea de quin seria el seu valor. Podem aproximar-nos de moltes maneres a un punt, ja sigui mitjançant rectes, paràboles,... Però ho farem amb coordenades polars. Coordenades polars:
Imatge 15
Les coordenades polars de- fineixen una posició a partir d’un angle e i d’un mòdul (o norma) r. Vegem quina rela- ció hi ha entre coordenades cartesianes i coordenades polars:
on i
Nota: Recordem sin^2 e+cos^2 e=
Exemples:
(1) Canvi amb coordenades polars: (2) Utilitzem la propietat:
Aquest límit no existeix, ja que depèn del paràmetre e
Llúcia Mauri Masdeu
(1) Canvi amb coordenades polars: (2) Utilitzem la propietat:
Continuïtat de funcions
Direm que una funció ^ ^ éés contínua si ho és en cada funció component; és a dir, si les funcions f (^) i, on i=1,...,m són contínues. Direm que una funció ^ ^ és contínua en un punt x 0 DA, si el límit quan x tendeix a x 0 i el valor de la funció en el punt x 0 coincideixen, és a dir:
Per tant, una funció fi serà contínua si ho és en tots els punts x 0 DRn^.
Exemple:
- Considerem la funció:
La funció f(x, y) està definida a trossos, per a (x, y)&(0, 0) correspon la funció , que és contínua en tots els punts menys els que anul·len el denominador, però
el punt (0,0) no pertany al domini de definició, llavors és contínua. Per a (x, y)(0, 0) és la funció constant 0 que sempre és contínua. Ara sols ens cal estudiar què passa al punt de tall, vegem si el límit de la funció quan tendeix a (0,0) coincideix amb el valor f(0, 0):
Llúcia Mauri Masdeu
Gradient:
Sigui una funció de diverses variables i , definim el vec- tor gradient de f , i el denotarem per com:
Exemple:
Matriu jacobiana:
Sigui una funció vectorial de diverses variables i , de- finim la matriu jacobiana de f com la matriu dels vectors gradients de les funcions com- ponents i ho denotarem per com:
Exemple:
Matemàtiques II
Derivades parcials successives:
Igualment com les funcions d’una variable on hi havia la derivada de la derivada, i així successivament, el mateix passa amb les funcions de diverses variables. Per tant, podem definir la derivada parcial segona respecte la j-èsima component,
o respecte la variable x (^) j, de la funció amb j = 1,...,n, com la derivada de la derivada
parcial considerant com a variable x (^) j i la resta de variables com a constants. Ho
denotarem per:
Altres notacions: , , ,
Nota: Denotarem la propera expressió de la manera següent:
Matriu hessiana:
Sigui una funció de diverses variables i , definim la ma- triu hessiana de f, i ho denotarem per com:
Matemàtiques II
Exemple:
- Calculem l’elasticitat parcial respecte la variable y de la funció següent, en el punt (2,1):
Necessitarem calcular:
i
