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Tema 11. Formas cuadráticas. Expresiones diagonales. Clasificación respecto a su signo.
11.1 Formas cuadráticas. Expresión matricial y analítica.
Definición ( Expresión matricial )
Una forma cuadrática es una función ᡩ: ጷぁ^ 㘹 ጷ que a cada vector ᡶ 㐄 䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᜐ , ᡶぁ䙧 ᒈ ጷぁ^ le asocia el valor
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᜐ , ᡶぁ䙧 㐄 ᡓ⡩⡩ᡶ⡩⡰^ ㎗ 2ᡓ⡩⡰ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ ᜐ ㎗ 2ᡓ⡩ぁᡶ⡩ᡶぁ ㎗ ᡓ⡰⡰ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᜐ ㎗ 2ᡓ⡰ぁᡶ⡰ᡶぁ ㎗ ᜐ ㎗ ᡓぁぁᡶぁ⡰
que recibe el nombre de expresión analítica de q.
Nota: La forma cuadrática q se puede escribir como:
Con la matriz A matriz simétrica, que recibe el nombre de expresión matricial de q.
Ejemplo 1 Sea ᡩ: ጷ⡱^ 㘹 ጷ dada por ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 2ᡶ⡩⡰^ ㎗ 3ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰^ ㎘ 8ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 4ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎘ 4ᡶ⡰ᡶ⡱
Su expresión matricial es: ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 䙦ᡶ⡩ ᡶ⡰ ᡶ⡱䙧 㐷
Nota:
- En la diagonal principal de la matriz están los coeficientes de ᡶ⡩⡰, ᡶ⡰⡰, ᡶ⡱⡰^ (en este orden).
- En el lugar ij de la matriz está la mitad del coeficiente de ᡶ〶ᡶ〷.
Esta relación entre los elementos de una y otra expresión de la forma cuadrática, permite obtener
fácilmente cada una de ellas a partir de la otra.
Ejemplo 2 Sea ᡩ: ጷ⡱^ 㘹 ጷ dada por ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 䙦ᡶ⡩ ᡶ⡰ ᡶ⡱䙧 㐷
1 ㎘ 7 2⁄^0
Su expresión analítica es ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎘ ᡶ⡰⡰^ ㎗ 2ᡶ⡱⡰^ ㎘ 7ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 4ᡶ⡰ᡶ⡱
11.2 Expresiones diagonales
Definición (E xpresión diagonal ) Sea ᡩ: ጷぁ^ 㘹 ጷ una forma cuadrática, si existe una base respecto de la
cual la forma cuadrática q tenga una expresión matricial en la que la matriz es diagonal, diremos que q viene
expresada en forma diagonal ( expresión diagonal) o que q viene expresada como suma de cuadrados:
〓〨 〨ぇぅ〶こ 〲う 〱〶〨〴あぁ〨〹
㑂 㐄 ᡖ 䕹⡩䖃ᡶ䖃⡩⡰䖃^ ㎗ ᡖ䖃䖃䖃⡰䖃ᡶ⡰⡰䖀^ ㎗ ᜐ ㎗ ᡖ䖃䖃䖃䖃䖃䖃ぁ䖃ᡶ䖁ぁ⡰
〓〨 〲けぃぅ〲う〶 ó ぁ 〨ぁ〨〹 í ぇ〶〰〨 う ó 〹あ 〰あぁぇ〶〲ぁ〲 ぇ é ぅ〶ぁあう 〰え〨〱ぅ á ぇ〶〰あう.
Observación:
Siempre existe una base en la que una forma cuadrática tiene una expresión matricial en la que la matriz
es diagonal. Aunque no vamos a ver como se calcula la base, sí vamos a ver cuáles son las expresiones
diagonales más significativas asociadas a una forma cuadrática.
Proposición 1 (Expresión diagonal por autovalores)
Sea ᡩ: ጷぁ^ 㘹 ጷ y A su matriz asociada, si ’⡩, ’⡰, ᜐ , ’ぁ son los autovalores de A, entonces existe una base B,
respecto de la cual q admite la expresión diagonal:
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᜐ , ᡶぁ䙧〃 㐄 ’⡩ᡶ⡩⡰^ ㎗ ’⡰ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᜐ ㎗ ’ぁᡶぁ⡰
Ejemplo 3 Sea la forma cuadrática ᡩ: ጷ⡱^ 㘹 ጷ dada por: ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 3ᡶ⡩⡰^ ㎗ 3ᡶ⡰⡰^ ㎗ 5ᡶ⡱⡰^ ㎘ 4ᡶ⡩ᡶ⡰
Su expresión matricial es ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 䙦ᡶ⡩ ᡶ⡰ ᡶ⡱䙧 㐷
Buscamos los autovalores de la matriz A: 㘩
㘩 㐄 0 ፲ 䙦5 ㎘ ’䙧 䚘3 ㎘ ’^ ㎘
䙦5 ㎘ ’䙧 䙰䙦3 ㎘ ’䙧䕹䖃䖃䖃䖀䖃⡰^ 䖃㎘ 4䙱䖃䖁
ゐㄘ⡹⡴ゐ⡸⡳
’⡰^ ㎘ 6’ ㎗ 5 㐄 0 ፲ 䙶’ 㐄 1
MM
Una expresión diagonal por autovalores es: ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧〃 㐄 5ᡶ⡩⡰^ ㎗ 5ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰
Proposición 2 (Expresión diagonal de Jacobi)
Sea ᡩ: ጷぁ^ 㘹 ጷ una forma cuadrática y A su matriz asociada. Consideremos los menores angulares ᠰ〶
formados por las i primeras filas de A y las i primeras columnas de A, es decir:
ᡓ⡰⡩ ᡓ⡰⡰䚘^ ᠰ⡱^ 㐄 㘩
Supongamos que ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 ᡰ , y que ᠰ 1 㐅 0 , ᠰ 2 㐅 0 , ᠰ 2 㐅 0 , ᜐ , ᠰぅ 㐅 0 , ᡗᡦᡲᡧᡦᡕᡗᡱ existe una base B, respecto de
la cual q admite la expresión diagonal, que llamamos expresión diagonal de Jacobi de q que viene dada por:
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᜐ , ᡶぁ䙧〃 㐄 ᠰ⡩ᡶ⡩⡰^ ㎗
ᡶ⡰⡰^ ㎗
ᡶ⡱⡰^ ㎗ ᜐ ㎗
Es decir, para que q admita expresión diagonal de Jacobi, se tiene que verificar:
ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 1 ᡕᡧᡦ ᠰ⡩ 㐅 0
ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 2 ᡕᡧᡦ ᠰ⡩ 㐅 0 ᡷ ᠰ⡰ 㐅 0 ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 ᡕᡧᡦ ᠰ⡩ 㐅 0 , ᠰ⡰ 㐅 0 ᡷ ᠰ⡱ 㐅 0 ᡗᡲᡕ
Ejemplo 4 Sea la forma cuadrática ᡩ: ጷ⡱^ 㘹 ጷ dada por ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 3ᡶ⡩⡰^ ㎗ 3ᡶ⡰⡰^ ㎗ 5ᡶ⡱⡰^ ㎘ 4ᡶ⡩ᡶ⡰
(es la misma forma cuadrática del ejemplo 2.6)
㎘2 3 䚘 㐄 5 㐅 0 , ᠰ⡱^
Como ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 ᡷ ᡤᡧᡱ ᡲᡰᡗᡱ ᡥᡗᡦᡧᡰᡗᡱ ᠰ⡩, ᠰ⡰, ᠰ⡱ 㐅 0 , la forma diagonal de Jacobi es
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧〃 㐄 3ᡶ⡩⡰^ ㎗
ᡶ⡰⡰^ ㎗
ᡶ⡱⡰^ 㐄 3ᡶ⡩⡰^ ㎗
ᡶ⡰⡰^ ㎗ 5ᡶ⡱⡰
Autovalores:
㘩 㐄 0 㙂 ㎘’䙦1 ㎘ ’䙧⡰^ ㎘ 䙦1 ㎘ ’䙧 ㎘ 䙦1 ㎘ ’䙧 㐄 0 㙂 ㎘’䙦1 ㎘ ’䙧⡰^ ㎘ 2䙦1 ㎘ ’䙧 㐄 0 㙂
ゐㄘ⡹ゐ⡹⡰⢀⡨
’⡰^ ㎘ ’ ㎘ 2 㐄 0 ፲ 䙶’ 㐄 2
MM 㙂
Los coeficientes son los autovalores: 㐡
M ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡡᡦᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ
Ejemplo 7 Clasificar la forma cuadrática del ejemplo 4 ( ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 3ᡶ⡩⡰^ ㎗ 3ᡶ⡰⡰^ ㎗ 5ᡶ⡱⡰^ ㎘ 4ᡶ⡩ᡶ⡰ )
utilizando la expresión diagonal de Jacobi, que como ya comprobamos en dicho ejemplo admite dicha
expresión. La expresión diagonal de Jacobi para dicha forma cuadrática, obtenida en el citado ejemplo 4 fue:
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧〃 㐄 3ᡶ⡩⡰^ ㎗
ᡶ⡰⡰^ ㎗ 5ᡶ⡱⡰
Los coeficientes son:
ᝉ
々ㄘ 々ㄗ^ 㐄^
⡳ ⡱ 㐈 0 々ㄙ 々ㄘ^ 㐄 5 㐈 0
M ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ ᡨᡧᡱᡡᡲᡡᡴᡓ
Nota: También se puede utilizar la siguiente tabla que está basada en la expresión de Jacobi, salvo el
apartado 3) que utiliza el apartado b) de la proposición 4
Proposición 6 ( Criterio de los menores angulares )
Sea ᡩ: ጷぁ^ 㘹 ጷ una forma cuadrática, A su matriz asociada y ᠰ⡩, ᠰ⡰, ᜐ , ᠰぁ los menores angulares de A
䙦1䙧 ᡅᡡ ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 ᡦ ᡷ ᠰ⡩ 㐈 0, ᠰ⡰ 㐈 0, ᠰ⡱ 㐈 0, ᜐ , ᠰぁ 㐈 0 ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ ᡨᡧᡱᡡᡲᡡᡴᡓ
䙦2䙧 ᡅᡡ ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 ᡦ ᡷ ᠰ⡩ 㐇 0, ᠰ⡰ 㐈 0, ᠰ⡱ 㐇 0 , ᜐ , ᠰぁ 㐠
M
M
,^ ᠰぅ⡸⡩^ 㐄 0^ , ᜐ ,^ ᠰぁ^ 㐄 0 ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡱᡗᡥᡡᡖᡗᡘ. ᡦᡗᡙᡓᡲᡡᡴᡓ
En el resto de los casos el criterio no es válido
Ejemplo 7 Clasificar la forma cuadrática ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡰⡰^ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 2ᡶ⡰ᡶ⡱ utilizando el criterio de
los menores angulares.
La matriz asociada es ᠧ 㐄 㐷
ᠰ⡰ 㐄 䚘^1
M
Como: ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 ᡷ ᠰ⡩ 㐈 0, ᠰ⡰ 㐈 0 ᡷ ᠰ⡱ 㐇 0 ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡡᡦᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ (Caso 3)
Ejemplo 8 Clasificar la forma cuadrática ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡱⡰^ ㎗ 4ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 2ᡶ⡰ᡶ⡱ utilizando el criterio
de los menores angulares.
La matriz asociada es ᠧ 㐄 㐷
ᠰ⡰ 㐄 䚘^0
M
El criterio de los menores angulares no afirma nada en este caso.
Ejercicio 1 Sea la forma cuadrática ᡩ: ጷ⡱^ 㘹 ጷ dada por
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ 3ᡶ⡱⡰^ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 4ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎘ 2ᡶ⡰ᡶ⡱
a) Expresión matricial. b) Expresión diagonal por autovalores. c) Si es posible, expresión diagonal de Jacobi.
d) Clasificar la forma cuadrática.
Solución
㘩 㐄 0 㙂 ᡧᡨᡗᡰᡓᡦᡖᡧ 㙂 ㎘’⡱^ ㎗ 4’⡰^ ㎗ 3’ 㐄 0 ፲ ’䙦㎘’⡰^ ㎗ 4’ ㎗ 3䙧 㐄 0 ፲ 䚈
M
Una expresión diagonal por autovalores es ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 㐵2 ㎗ √7䕹䖃䖃䖀䖃䖃䖁㐹 㐆⡲,⡴
ᡶ⡩⡰^ ㎗ 㐵2 ㎘ √7䕹䖃䖃䖀䖃䖃䖁㐹
㐆⡹⡨,⡴
Estudiamos los menores angulares: ᠰ⡩ 㐄 1 㐅 0 ᠰ⡰ 㐄 䚘 1 ㎘ ㎘1 0
Como el rango de la matriz es 2 y los dos primeros menores angulares no son nulos, la forma diagonal de Jacobi
es: ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᠰ⡩ᡶ⡩⡰^ ㎗ 々 々ㄘ ㄗ
ᡶ⡰⡰^ 㐄 1ᡶ⡩⡰^ ㎗
䙦⡹⡩䙧 ⡩ ᡶ⡰
d) Vamos a clasificar la forma cuadrática:
- 1ª forma: Utilizando el criterio de los autovalores 䚈
M ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡡᡦᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ
- 2ª forma: Utilizando la expresión diagonal por autovalores ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 㐵2 ㎗ √7䕹䖃䖃䖀䖃䖃䖁㐹 㐆⡲,⡴
ᡶ⡩⡰^ ㎗ 㐵2 ㎘ √7䕹䖃䖃䖀䖃䖃䖁㐹
㐆⡹⡨,⡴
ᠸᡓ ᡗᡶᡨᡰᡗᡱᡡóᡦ ᡖᡡᡓᡙᡧᡦᡓᡤ ᡲᡡᡗᡦᡗ ᡕᡧᡗᡘᡡᡕᡡᡗᡦᡲᡗᡱ ᡨᡧᡱᡡᡲᡡᡴᡧᡱ ᡷ ᡦᡗᡙᡓᡲᡡᡴᡧᡱ ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡡᡦᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ
- 3ª forma: Utilizando la expresión diagonal de Jacobi ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎘ ᡶ⡰⡰
ᠸᡓ ᡗᡶᡨᡰᡗᡱᡡóᡦ ᡖᡡᡓᡙᡧᡦᡓᡤ ᡲᡡᡗᡦᡗ ᡕᡧᡗᡘᡡᡕᡡᡗᡦᡲᡗᡱ ᡨᡧᡱᡡᡲᡡᡴᡧᡱ ᡷ ᡦᡗᡙᡓᡲᡡᡴᡧᡱ ፲ ᡩ ᡗᡱ ᡡᡦᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ
- 4ª forma: Utilizando el criterio de los menores angulares
Mᡷ ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 2 ፲ ᠩᡧᡥᡧ ᡩ ᡗᡱ ᡡᡦᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ 䙦Caso 6䙧
Ecuaciones paramétricas: 㐡
ᡕᡧᡦ ᡷ ‐ ᒈ ጷM
- Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática:
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 2ᡶ⡩⡰^ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 3ᡶ⡰⡰ Mᡩ|〆䙦 , ‐䙧 㐄 2䙦 ㎘ ‐䙧⡰^ ㎘ 2䙦 ㎘ ‐䙧 ㎗ 3 ⡰^ 㐄 2䙦 ⡰^ ㎘ 2 ‐ ㎗ ‐⡰䙧 ㎘ 2 ⡰^ ㎗ 2 ‐ ㎗ 3 ⡰^ 㐄
㐄 2 ⡰^ ㎘ 4 ‐ ㎗ 2‐⡰^ ㎘ 2 ⡰^ ㎗ 2 ‐ ㎗ 3 ⡰^ 㐄 3 ⡰^ ㎗ 2‐⡰^ ㎘ 2 ‐
- Se clasifica la forma cuadrática restringida:
Mᡩ|〆䙦 , ‐䙧 㐄 䙦 , ‐䙧 䙲 3 ㎘ ㎘1 2
䙳 䙲‐䙳 Expresión matricial de la forma cuadrática restringida
䙳 㐄 2 y ᠰ⡩ 㐄 3 㐈 0, ᠰ⡰ 㐄 䚘 3 ㎘ ㎘1 2
䚘 㐄 5 㐈 0 ፲ Mᡩ|〆 ᡗᡱ ᡖᡗᡘᡡᡦᡡᡖᡓ ᡨᡧᡱᡡᡲᡡᡴᡓ 䙦ᠩᡓᡱᡧ 1䙧
Ejercicio 3 Clasificar la forma cuadrática ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 2x⡰x⡱ ᡰᡗᡱᡲᡰᡡᡦᡙᡡᡖᡓ ᡓᡤ
ᡱᡳᡔᡗᡱᡨᡓᡕᡡᡧ: ᠲ 㐄 ᜱ䙦0,1,1䙧ᜲ
Solución:
·Buscamos las ecuaciones paramétricas de F
ᠲ 㐄 ᜱ䙦0,1,1䙧ᜲ^ ፲ Tenemos un sistema generador, un solo vector es l.i., luego 䙦0,1,1䙧^ es una base de F
㑁 ᒈ ጷ ፲ ᠱᡕ. ᡨᡓᡰᡓᡥéᡲᡰᡡᡕᡓᡱ ᡖᡗ ᠲ 㐡
M
· Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática:
Mᡩ|〇䙦 䙧 㐄 2 ⡰
· Se clasifica la forma cuadrática restringida:
Tenemos la forma cuadrática escrita como suma de cuadrados, para clasificarla sólo tenemos que mirar el
signo de los coeficientes. Mᡩ|〇䙦 䙧 es definida positiva.
Ejercicio 4 Dadas las formas cuadráticas:
䙦ᡓ䙧 ᡩ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐄 ㎘2ᡶ⡰^ ㎘ 2ᡶᡷ ㎗ 5ᡷ⡰ 䙦ᡔ䙧 ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 ᡶ⡰^ ㎗ ᡷ⡰^ ㎘ ᡸ⡰^ ㎗ 2ᡶᡷ
䙦ᡕ䙧 ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 ᡶ⡰^ ㎘ 2ᡷ⡰^ ㎗ ᡸ⡰^ ㎘ 4ᡶᡷ ㎘ 2ᡶᡸ ㎘ 4ᡷᡸ
Calcular: La expresión matricial, una expresión diagonal por autovalores y, siempre que sea posible, una
expresión diagonal de Jacobi. Clasificarlas.
Solución :
䙦ᡓ䙧 ᡩ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐄 ㎘2ᡶ⡰^ ㎘ 2ᡶᡷ ㎗ 5ᡷ⡰^ ፲ ᠱᡶᡨᡰᡗᡱᡡóᡦ ᡥᡓᡲᡰᡡᡕᡡᡓᡤ ᡩ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐄 䙦ᡶ ᡷ䙧 䙲㎘2^ ㎘ ㎘1 5
·Expresión diagonal por autovalores:
䚘㎘2 ㎘ ’^ ㎘
䚘 㐄 0 ፲ 䙦㎘2 ㎘ ’䙧䙦5 ㎘ ’䙧 ㎘ 1 㐄 0 ፲ ’⡰^ ㎘ 3’ ㎘ 11 㐄 0 ፲
M
㐆⡳,⡩⡲⦗⡨
ᡶ⡰^ ㎗ 䙲䕹⡱⡹√⡳⡱䖃䖀 ⡰ 䖃䖁䙳
㐆⡹⡰,⡩⡲⦖⡨
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
M
ᡰᡙ 䙲㎘2^ ㎘
ᠰ⡩ 㐄 ㎘2, ᠰ⡰ 㐄 䚘㎘2^ ㎘
䚉 ፲ ᡩ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐄 2ᡶ⡰^ ㎗
ᡷ⡰^ 㐄 2ᡶ⡰^ ㎘
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
䙦ᡔ䙧 ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 ᡶ⡰^ ㎗ ᡷ⡰^ ㎘ ᡸ⡰^ ㎗ 2ᡶᡷ ፲ ᠱᡶᡨᡰᡗᡱᡡ ó ᡦ ᡥᡓᡲᡰᡡᡕᡡᡓᡤ ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐷
·Expresión diagonal por autovalores:
㘩 㐄 0 ፲ 䙦㎘1 ㎘ ’䙧 䚘1 ㎘ ’^1
䚘 㐄 0 ፲ 䙦㎘1 ㎘ ’䙧 䙰䙦1 ㎘ ’䙧䕹䖃䖃䖃䖀䖃⡰^ 䖃㎘ 1䙱䖃䖁
ゐㄘ⡹⡰ゐ
M
ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 ㎘ᡶ⡰^ ㎗ 2ᡸ⡰
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
M
ᠰ⡩ 㐄 1 ᡨᡗᡰᡧ ᠰ⡰ 㐄 䚘^1
䙦ᡕ䙧 ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 ᡶ⡰^ ㎘ 2ᡷ⡰^ ㎗ ᡸ⡰^ ㎘ 4ᡶᡷ ㎘ 2ᡶᡸ ㎘ 4ᡷᡸ ፲ ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 䙦ᡶ ᡷ ᡸ䙧 㐷
·Expresión diagonal por autovalores:
㘩 㐄 0 ፲ ㎘’⡱^ ㎗ 12’ ㎘ 16 㐄 0 ፲ ᡄᡳᡘᡘᡡᡦᡡ ፲ 㐡
M
ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 2ᡶ⡰^ ㎗ 2ᡷ⡰^ ㎘ 4ᡸ⡰
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
·Expresión diagonal de Jacobi
M
ᡩ䙦ᡶ, ᡷ, ᡸ䙧 㐄 ᡶ⡰^ ㎗
ᡷ⡰^ ㎗
ᡸ⡰^ 㐄
㐄 ᡶ⡰^ ㎘ 6ᡷ⡰^ ㎗
Como en la expresión diagonal hay coeficientes tanto positivos como negativos, q es indefinida.
